рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Устойчивость формы упругого равновесия центрально сжатого стержня.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Устойчивость формы упругого равновесия центрально сжатого стержня.

Устойчивость формы упругого равновесия центрально сжатого стержня. - раздел Образование, КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З дисципліни «Опір матеріалів» На Рис. 9.2 Изображен Шарнирно Опёртый Прямой Стержень, Нагру...

На рис. 9.2 изображен шарнирно опёртый прямой стержень, нагруженный на одном из концов силой P приложенной вдоль его оси и реакцией R = P на другом конце.

Рис. 9.2 Центрально-сжатый стержень в отклонённом неустойчивом равновесии.

В определённом диапазоне сжимающих сил 0 < P < P_кр его прямолинейная форма устойчива, т.е. будучи отклонённым от положения равновесия (пунктирная кривая) стержень после устранения возмущающей силы вернётся к исходной (прямой) форме (совершив ряд затухающих колебаний). С ростом сжимающей силы период колебаний будет возрастать и при достижении сжимающей силой т.н. критической величины P_кр стержень не вернётся в первоначальное положение (период колебаний станет бесконечно большим). Необходимо отыскать P_кр.

Существует несколько подходов к отысканию критических сил:

- статический (исторически первый - Эйлера, который его применил впервые);

- динамический (о сути которого можно догадаться, учитывая упомянутое изменение периода собственных колебаний с ростом сжимающей нагрузки);

- энергетический;

- начальных несовершенств (существующие у реальных конструкций малые отклонения от идеальных устойчивых форм растут в зависимости близкой к экспоненциальной с приближением внешней нагрузки к критической, т.е. в качестве критической принимается нагрузка, при которой резко растут деформации).

Для решения поставленной задачи применим тот подход, который применил к ней Эйлер. Вплоть до потери устойчивости (P < P_кр), стержень работает на центральное сжатие и его напряженно – деформированное состояние описывается зависимостями раздела 4.

Отклонённые неустойчивые с искривлённой осью формы равновесия соответствуют изгибу стержня, который описывается дифференциальным уравнением изогнутой оси балки (7.10):

d²w/dx² = M_y/ EI_y,

где как следует из рис.9.2 M_y= - Pw. (9.1)

Знак минус в (7.1) обусловлен тем, что положительным моментам и, соответственно кривизнам, на расчётной схеме центрально сжатого стержня соответствуют отрицательные изгибающие моменты и наоборот. Подставляя (7.1) в (6.10) получим

d²w/dx²+ k²w=0 (9.2)

- дифференциальное уравнение продольного изгиба (устойчивости) стержня, где

k=(P/EI)^0.5 (9.3)

Решение обыкновенного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (7.2)

w=Asin kx + Bcos kx , (9.4)

где постоянные интегрирования A и B находят из граничных условий, которые при данном способе закрепления концов стержня имеют вид

w(x=0) = 0 ; w(x=l) = 0 .(9.5)

Из первого граничного условия следует, что B = 0 и

w = Asin kx (9.6)

Из второго с учётом, что в отклонённом положении A ≠ 0

sin kl = 0 откуда kl = nπ или (P/EI)^0.5l = nπ (n=0,1,2…) или

P_n= n²π²EI/l² . (9.7)

В последнем выражении n = 0 соответствуют нулевые прогиб и сжимающая сила, что не представляет интереса. Из множества отклонённых форм неустойчивого равновесия в природе реализуется форма при n = 1 соответствующая минимальному значению силы из ряда (9.7), т.е. критическая сила в задаче Эйлера

P_кр= π²EI/l² . (9.8)

Соответствующая форма потери устойчивости (по одной полуволне синусоиды)

w = Asin πx/l (9.9)

Эта критическая сила найдена в предположении о малых отклонениях из уравнения (7.2) построенного в предположении линейной упругости материала (материал следует закону Гука) и носит название Эйлерова сила.

Для других случаев закрепления концов стержня (см. расчётные схемы в табл.7.1), т.е. иных граничных условий получим другие постоянные интегрирования A и B, а следовательно иные формы потери устойчивости (7.4) и значения критических (Эйлеровых) сил. Однако и в этих случаях представляется возможным из формы потери устойчивости выделить одну полуволну синусоиды, т.н. приведенную длину l_пр =ν l , (9.10)

где ν носит название коэффициент приведения длины.

Соответственно участок длиной l_пр находится в тех же условиях, что и рассмотренный выше шарнирно опёртый стержень и для него, а следовательно и для всего стержня

P_кр= π²EI / l_пр ² или P_э= π²EI/(ν l)² (9.11)

Вплоть до потери устойчивости центрально сжатый стержень испытывает чистое сжатие. Его закритическое поведение в рассмотренной постановке задачи не может быть определено. Известно лишь, что потеряв устойчивость, он через промежуточные неустойчивые формы равновесия устремится к новому устойчивому положению, которое может соответствовать его разрушению.

Таким образом пока не произошла потеря устойчивости напряжения в стержне σ = P/A и в момент потери устойчивости σ_кр = P_кр/A .

Если потеря устойчивости происходит в пределах применимости закона Гука, то имеет место (9.11) и можно записать

σ_э= π²E /λ² , (9.12)

где безразмерная λ = νl / i (9.13)

т.н. гибкость стержня,

i=(I/A)^0.5 (9.14)

- радиус инерции площади поперечного сечения.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З дисципліни «Опір матеріалів»

Херсонська державна морська академія... ФАКУЛЬТЕТ СУДНОВОЇ ЕНЕРГЕТИКИ... Кафедра технічної механіки інженерної та комп ютерної графіки...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Устойчивость формы упругого равновесия центрально сжатого стержня.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Курс другий,
форма навчання: денна і заочна Херсон – 2011 Конспект лекцій розробив у відповідності з робочою навчальною програмою ст. викладач кафедри технічн

Лекция 1
Введение. Понятие прочности, науки о прочности и место среди них сопротивления материалов. Основные гипотезы, принципы и методы сопротивления материалов. Внешние и внутренние силы, классификация

Основные гипотезы, принципы и методы сопротивления материалов.
При разработке теории сопротивления материалов используется метод анализа и синтеза, феноменологический и аксиоматический подход: -результаты экспериментов об

Определение внутренних сил методом сечений
Внешние силы, действуя на деформируемые тела, наводят в них поля внутренних сил упругости, которые являются надбавками к существующим в ненагруженном состоянии межмолекулярным силам

Интенсивность внутренних сил. Механические напряжения.
Для определения интенсивности внутренних сил в окрестности точки С рассмотрим малую площадку Δ А, её включающую (рис. 2.1). На площадку Δ А придется некоторая час

Элементы теории напряженного состояния
Пусть задано твёрдое деформи

Понятие о деформированном состоянии.
Деформация - буквально изменение формы. Деформации связаны с взаимными перемещениями точек тела, но не эквивалентны им. На деформации приходится только та часть перемещений о

Лекция 3
Общий случай действия сил на брус, система главных центральних осей, внутренние силовые факторы. Простые и сложные деформации, использование принципа суперпозиции. Статическая неопр

Общий случай действия сил на брус.
Напомним, что брусом (стержнем) называется геометрическое тело, два поперечных размера которого малы по сравнению с третьим – длиной. Осью бруса называется геометрическое мес

Простые и сложные деформации, использование принципа суперпозиции.
Деформация бруса называется простой, если в его поперечных сечениях возникает только один из вышеперечисленных внутренних силовых факторов. Здесь и далее силовым фактором буд

Статическая неопределимость задачи сопротивления материалов.
Рассмотрим поперечное сечение бруса (рис. 3.2). Рис. 3.2 Иллюстрация к

Лекция 4
Деформация чистого растяжения – сжатия, условия возникновения. Анализ задачи, основные зависимости, определение напряжений и деформаций, условие прочности. Примеры решения задач.

Условия, при которых брус подвергается чистому растяжению - сжатию.
Как отмечено в разделе 3.2, в этом случае не равно нулю единственное внутреннее усилие – продольная сила N. Данная ситуация возможна при следующих условиях: - брус прямой; - равно

Анализ задачи.
Статическая сторона задачи. В поперечном сечении бруса (рис. 4.1а) с координатой x действует продольная сила, определяемая методом сечений:

Обобщение результатов анализа задачи (синтез).
Из кинематики деформаций (рис.4.2) следует, что каждое продольное волокно работает на растяжение – сжатие как отдельный стержень и поперечные силы, приходящиеся на сечение волокна с

Решение.
Реакция в точке закрепления R=γAl. Продольная сила N(x)= γA(l-x), её график на рис. 4.6б. Рис. 4.6 Брус под действием собственного

Лекция №5
Статическая неопределимость в курсе сопротивления материалов. Методические рекомендации по изучению темы. Общий подход к решению статически неопределимых задач. Решения в усилиях

Анализ задачи
1 Статическая сторона Уравнения равновесия узла О можно представить в виде (1)

Синтез полученных зависимостей
а) решение в усилиях Предварительно преобразуем геометрическое условие (2) включающее и абсолютные деформации стержней и перемещения узла к виду, где перемещения исключены

Лекция 6
Сдвиг, основные зависимости, условие прочности. Деформация чистого кручения, условия возникновения. Анализ задачи, основные зависимости. Примеры решения задач на сдвиг и кручение

Чистый сдвиг
Рассмотрим случай плоско напряженного состояния (см. разд. 2.3) изображенный на рис.5.1а при котором главные напряжения σ1=- σ3= σ.

Чистое кручение
Как отмечено в разделе 3.2, в этом случае не равно нулю единственное внутреннее усилие – крутящий момент Mk (Mx). Данная ситуация возможна при следующих

Лекция 7
Прямой поперечный изгиб, статическая сторона задачи, дифференциальные зависимости при изгибе, анализ задачи. Чистый изгиб, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, формула нормальных напр

Прямой поперечный изгиб.
Постановка задачи и общие замечания. Рассмотрим прямой брус обладающий плоскостью симметрии (рис.7.1).

Определение касательных напряжений при поперечном изгибе. Формула Журавского - Шведлера
Как следует из вышесказанного, гипотезы плоских сечений и отсутствия давления продольных волокон при поперечном изгибе, строго говоря, не работают. Однако при изгибе балок, у которых отношение длин

Условия прочности при поперечном изгибе.
И при чистом растяжении – сжатии и при чистом кручении каждое из напряженных состояний полностью характеризуется одним параметром. В первом случае это единственное ненулевое главное напряжение, во

Лекция 8
Использование статически неопределимых основных систем к задачами изгиба балок. Метод сил и метод перемещений. Примеры. Цель:На примере сравните

Лекция 9
Устойчивость в механике абсолютно твёрдого и в механике деформируемого тела. Критическая сила. Дифференциальное уравнение продольного изгиба стержня. Формула Эйлера и Эйлерова си

Устойчивость в механике.
Рассмотрим простую систему из двух твердых тел - цилиндрической поверхности и шарика, на который действует сила веса (рис. 9.1).

Устойчивость стержней конечной гибкости
Задача определения напряженно-деформированного состояния стержней из нелинейно упруго-пластического материала представляет значительные математические и вычислительные трудности. По

Визначення критичних напруг
Жорсткі стрижні розраховують на стиск за умовою σ = P/A ≤ [ σ-], (2) де P – стискаюча сила, A – площа поперечного перерізу с

Список рекомендованной литературы
Основная 1 Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Изд. 9. – М.: Гостехиздат, 1954. 2 Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1975. – 654 с.