Основные гипотезы, принципы и методы сопротивления материалов.

 

При разработке теории сопротивления материалов используется метод анализа и синтеза, феноменологический и аксиоматический подход:

-результаты экспериментов обобщаются, но объяснения оставляют другим разделам механики деформируемого тела (явление - феномен);

-на основании анализа свойств твёрдых тел (строго говоря, их бесконечно много) вводится ограниченное количество предположений (гипотез) описывающих физическую модель. Физическая модель лишь приближенно отражает наиболее существенные свойства реального объекта, и её использование имеет границы, за которыми модель даёт недопустимые искажения. Далее, в процессе синтеза, модель подвергается математическому описанию и решению с использованием соответствующего математического аппарата. На последнем этапе также вносятся дополнительные погрешности.

Рассмотрим основные гипотезы, принимаемые в курсе сопротивления материалов:

1 Гипотеза о сплошности материала. Предполагается, что вещество непрерывно распределено по всему объему, занимаемому телом. Это противоречит атомно-молекулярному строению тел, но несущественно для макрообъектов и позволяет применять математический аппарат, разработанный для непрерывных функций.

2 Гипотеза об однородности. Считается, что в любой точке тела механические свойства одинаковы.

3 Гипотеза об изотропности. Механические свойства материала в каждой точке по любому направлению одинаковы. Это оправдано и для поликристаллических тел, когда их размеры существенно превышают размеры отдельных кристаллов, а последние ориентированы по объёму хаотично. Реальные материалы в той или иной степени обладают анизотропией - фанера, стекло и углепластики ортотропны (три плоскости упругой симметрии в симметричных направлениях к которым механические свойства одинаковы).

Следует отметить, что существуют (в рамках определенных масштабов и погрешностей) как однородные изотропные тела (сталь), так и однородные анизотропные (фанера, армированные пластики), неоднородные изотропные (биметалл), а также неоднородные анизотропные (насыпной грунт).

4 Гипотеза о малости деформаций. Предполагается, что рассматриваемые материалы настолько жестки, что при действии эксплуатационных нагрузок их относительные деформации малы по сравнению с единицей.

5 Гипотеза об идеальной упругости. Упругими называются деформации, исчезающие после устранения вызвавшей их нагрузки. Пластические – сохраняются полностью. Таким образом, после разгрузки идеально-упругого тела все деформации исчезают.

6 Гипотеза о линейной зависимости между деформациями и механическими напряжениями, т.е. считается, что материал подчиняется закону Гука.

 

Перечисленные предположения являются общими и для сопротивления материалов и для классической теории упругости. Теория упругости рассматривает тело произвольной формы - массив. Однако математическая модель оказывается весьма сложной и не имеет общего решения выраженного через конечное число элементарных функций. Использование аппарата теории упругости требует в общем случае специальной подготовки, затрат времени и средств (если не удаётся подыскать готовое решение).

Поэтому для дальнейших упрощений вводятся дополнительные ограничения – специфические гипотезы сопротивления материалов.

 

7 Гипотеза о форме тела. Рассматриваются лишь такие упругие тела (брус, стержень) у которых два поперечных размера малы по сравнению с третьим - длиной (если L -длина, а B -больший поперечный размер, то L/B>=5).

8 Гипотеза плоских сечений. Считают, что сечения плоские и нормальные к оси бруса до деформации остаются плоскими и нормальными к оси после деформации.

Конечно, далеко не все элементы конструкций могут быть сведены к расчётной схеме бруса. Но нередко даже если L/B=2 – 3 удаётся, используя простые формулы сопромата, хотя бы грубо оценить напряжения и назначить прочные размеры в первом приближении с последующей экспериментальной доводкой.

Кроме перечисленных гипотез в линейной (классической) теории упругости и в сопротивлении материалов имеют место принципы Сен-Венана и суперпозиции (наложения) нагрузок.

Сущность последнего состоит в том, что для линейно - деформируемых систем окончательное напряженно-деформированное состояние не зависит от порядка нагружения силами, а зависит лишь от конечной нагрузки. Например, при измерении общего веса нескольких предметов с помощью пружинного динамометра (упругая система) его окончательные показания (деформация) не будут зависеть от порядка навешивания этих грузов.

Принцип Сен-Венана гласит.

Если в некоторой локальной области упругого тела приложена нагрузка, то напряженно-деформированное состояние, вызванное указанной нагрузкой за пределами этой области на расстоянии, превышающем 2 – 3 её размера, будет мало зависеть от характера распределения нагрузки внутри области, а будет зависеть главным образом от главного вектора и главного момента этой нагрузки, причём по мере удаления от области нагружения расхождения (при разных законах распределения) быстро убывают.

На рис.1.1а изображен процесс резания на гильотине. Главный вектор системы усилий резания равен нулю, а главный момент относительно мал из-за малости плеча в кососимметричной системе сил. Как видно на эпюре (рис. 1.1б) касательные напряжения в срединной плоскости разрезаемого листа за пределами приложения нагрузки быстро стремятся к нулю по закону близкому к экспоненциальному.

 

а)

 

б)

 

 

Рис. 1.1 а) –резание на гильотине; б) – эпюра касательных напряжений.

Предполагается также, что выполняются законы классической механики (статическая сторона задачи*):

-для деформируемого упругого тела в целом и любых его конечных частей (интегрально);

-для всех малых, в пределе бесконечно малых, частей (дифференциально).