рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Образование
- /
- Отношение делимости и его свойства
Реферат Курсовая Конспект
Отношение делимости и его свойства
Отношение делимости и его свойства - раздел Образование, Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы Определение.Пусть Даны Натуральные Числа А И B. Говорят, Чт...
Определение.Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq.
В этом случае число b называютделителем числа а, а число а - кратным числа b.
Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8×3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.
В том случае, когда а делится на b, пишут: а M b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».
Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 - делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.
Из определения отношения делимости и равенства a = 1 × а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.
Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.
Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т. е. если а M b, то b £ а.
Доказательство. Так как а M b, то существует такое qÎ N, что а = bq и, значит, а - b = bq - b = b ×(q - 1). Поскольку qÎ N, то q ³ 1. . Тогда b ×(q - 1) ³ 0 и, следовательно, и b £ а.
Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1,2,3,4,6,9, 12, 18,36}.
В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.
Определение.Простым числом называется такое натуральное число, большее 1, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.
Например, 13 – простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.
Определение.Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.
Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4. Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.
Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, -их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, .... и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,... .
Нам известно, что отношение делимости на множестве N обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.
Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.
Доказательство. Для любого натурального а справедливо равенство а = а×1. Так как 1 Î N то, по определению отношения делимости, аMа.
Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если а M b и а ¹ b, то 
.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что bMа. Но тогда а£ b, согласно теореме, рассмотренной выше.
По условию а M b и а ¹ b. Тогда, по той же теореме, b £ а.
Неравенства а £ b и b £ а.будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и теорема доказана.
Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если аM b и b M с, то а M с.
Доказательство. Так как а M b, то существует такое натуральное число q, что а = b q , а так как bM с, то существует такое натуральное число р, что b = ср. Но тогда имеем: а = b q = (ср)q = с(рq). Число рq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а. M с.
Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а1,а2,…ап делится на натуральное число b, то и их сумма а1 + а2 +… + ап делится на это число.
Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 +915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.
Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа а1 и а2 делятся на b и а1 ³ а2 , то их разность а1 - а2 делится на b.
Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х е N. делится на b.
Из теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.
Например, произведение 24×976×305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.
Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.
Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на числоb, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.
Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34:2,376:2,124:2,но 125 не делится на 2.
Теорема 9. Если в произведении аb множитель а делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число п то а b делится на тп.
Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.
Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и а делится на b.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы
При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом Поэтому к системе аксиом предъявляются... Система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически... Если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Отношение делимости и его свойства
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.021 сек.
Новости и инфо для студентов