рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Образование
- /
- Теоретико-множественный смысл произведения
Реферат Курсовая Конспект
Теоретико-множественный смысл произведения
Теоретико-множественный смысл произведения - раздел Образование, Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы Определение Умножения Натуральных Чисел В Аксиоматической Теории Основывается...
Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определение умножения, оно связано со сложением одинаковых слагаемых. Покажем, что оно вытекает из первого.
Теорема 4. Если b > 1, то произведение чисел а и b равно сумме b слагаемых, каждое из которых равно а.
Доказательство. Обозначим сумму b слагаемых, каждое из которых равно а, через а o b. И, кроме того, положим, что а o 1 = а. Тогда выражение а o (b + 1) будет означать, что рассматривается сумма b + 1 слагаемого, каждое из которых равно а, т.е. а o (b+ 1) = 
. Сумму а + а + …+ а + а можно представить в виде выражения (
) +а, которое равно а o b + а. Значит, операция а o b обладает теми же свойствами, что и умножение, определенное в аксиоматической теории, а именно, а o 1 = а и а o (b + 1) = а o b + а. В силу единственности умножения получаем, что a o b = а × b.
Итак, если а и b - натуральные числа и b > 1, то произведение а × b можно рассматривать как сумму b слагаемых, каждое из которых равно а.
Умножение на 1 определяется так: а × 1 = а.
Если умножение рассматривается на множестве целых неотрицательных чисел, то к этим двум случаем надо добавить третий - определение умножения на нуль: а× 0 = 0.
Таким образом, получаем следующее определение умножения целых неотрицательных чисел.
Определение.Если а, b - целые неотрицательные числа, то произведением а × b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:
1) а × b = , еслн b > 1;
2) а × b = а, если b = 1;
3) а × b = 0, если b = 0.
Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множественную трактовку. Если множества А1, А2, ..., Аb, имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А1 È А2 È ...È Аb , содержит а × b элементов.
Таким образом, с теоретико-множественных позиций а × b (b > 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.
а × b = п (А1 È А2 È ...È Аb) , если п (А1) = п (А2) = ... = п (Аb ) = а и А1, А2, ..., Аb попарно не пересекаются.
Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.
Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.
В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если n(А1) = n(А2) = n(А3) = 4, то n(А1 È А2 È А3) = n(А1) + n (А2) + n(А3) = 4 + 4 + 4 = 4 ×3. Произведение 4×3 является математической моделью данной задачи. Так как 4 ×3 = 12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.
Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.
Теорема 5. Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство: п(А´В) = п(А) × п(В).
Доказательство. Пусть даны множества А = (а1, а2, ..., ап), В = (b1, b2, …, bk), 741 ,причем k > 1. Тогда множество А´ В состоит из пар вида (аi, bj), где 1 £ i £ n, 1 £ j £ k. Разобьем множество А ´ В на такие подмножества А1, А2, ..., Аk, что подмножество Аj, состоит из пар вида (а1, bj), (а2,, bj),…, (аn, bj).Число таких подмножеств равно k, т.е. числу элементов в множестве В. Каждое множество Аj состоит из n пар, и никакие два из этих множеств не содержат одну и ту же пару. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении А´ В равно сумме k слагаемых, каждое из которых равно n, т.е. произведению чисел п и k. Таким образом, равенство n(А´ В) = n(А) × n(В) доказано при k > 1. При k = 1 оно тоже верно, так как в этом случае В содержит один элемент, например, В = {b}, а тогда А ´ В состоит из пар вида (а1, b), (а2,, b),…, (аn, b),число которых равно п. Поскольку n(А) = n, n(В) = 1, то и в этом случае имеем: n(А´ В) = n(А)×n(В)= n×1 = n.
При k = 0 данное равенство также верно, поскольку В =Æ и n(А´Æ)= n(А)× n(Æ) = а × 0 = 0.
Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественной точки зрения произведение а × b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b.
а × b = п(А) × п(В) = п(А ´ В ).
Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоретико-множественный смысл свойств умножения. Например, смысл равенства а × b = b × а состоит в том, что хотя множества А ´ В и В ´ А различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множества А ´ В можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества В ´ А, и каждая пара из множества В ´ А сопоставляется только одной паре из множества А ´ В. Значит, n(А ´ В) = n(В ´ А) и поэтому а × b = b × а.
Аналогично можно раскрыть теоретико-множественный смысл ассоциативного свойства умножения. Множества А ´ (В ´ С) и (А ´ В) ´ С различны, но они являются равномощными: каждой паре (а, (b, с)) из множества А ´ (В ´ С) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b), с) из множества (А ´ В) ´ С, и каждая пара из множества А ´ (В ´ С) сопоставляется единственной паре из множества (А ´ В) ´ С. Поэтому n(А ´ (В ´ С)) = n((А ´ В) ´ С) и, следовательно, а(bс) = (а b)с.
Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А ´ (В È С) = (А ´ В) È (А ´ С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания - из равенства А´ (В С)= (А ´ В) (А ´ С).
В начальных курсах математики произведение целых неотрицательных чисел чаще всего определяют через сумму. Случаи а ´ 1 = а и а ´ 0 = 0 принимаются по определению.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы
При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом Поэтому к системе аксиом предъявляются... Система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически... Если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теоретико-множественный смысл произведения
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.021 сек.
Новости и инфо для студентов