Теоретико-множественный смысл суммы - раздел Образование, Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы Сложение Целых Неотрицательных Чисел Связано С Объединением Конечных Непересе...
Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В - 4 элемента и пересечение множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5+4.
Теорема. Пусть А и В — конечные множества, не имеющие общих элементов. Тогда их объединение тоже конечно, причем п(А È В) =п(А) + п(В).
Доказательство. Докажем сначала, что если а и b - натуральные числа, то существует взаимно однозначное отображение отрезка натурального ряда Nb на множество Х таких чисел, что а + 1 £ х £ а + b. Действительно, если поставить в соответствие числу сÎ Nb число с + а, то в силу монотонности сложения этим будет задано взаимно однозначное отображение отрезка Nb на множество X.
Например, если а = 3, b = 5, то соответствие между множествами N5 и Х = {4, 5, 6, 7, 8} может быть установлено так: числу с Î N5 сопоставим число х = 3 + с: числу 1 - число 3 + 1 = 4, числу 2 - число 3 + 2 = 5 и т.д., числу 5 - число 3+5=8.
Пусть п(А) = а, п(В) = b. Тогда существуют взаимно однозначные отображения А на Nа и В на Nb. Но, согласно доказанному выше, отрезок Nb можно взаимно однозначно отобразить на множество Х таких чисел, что а + 1 £ х £ а + b. Тем самым множество В взаимно однозначно отображается на Х. Отображая взаимно однозначно множество А на Nа, множество В - на X, получаем взаимно однозначное отображение множества А È В на отрезок Nа+b. Поскольку нет элементов, одновременно принадлежащих А и В, то это отображение определено на всем множестве А È В. Значит, в множестве А È В имеется а + b элементов, что и требовалось доказать.
Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = п(А), b = п(В): а + b = n(А) + n(В) = n(А È В), если А ÇВ = Æ.
Выясним теперь, каков теоретико-множественный смысл равенства а+0=а. Если а = n(А), 0 = n(Æ), то, согласно теореме, а + 0 = n(А) + n(Æ) = n(А È Æ). Но, как известно, А È Æ = А, следовательно, n(А È Æ) = n(А), откуда а + 0 = а.
Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения. Так, коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство А È В = = В È А. Действительно, если а =n(А), b = n(В) и А Ç В =Æ,то а + b = = n(А È В) = n(В È А) = b + а.
Аналогично можно показать, что ассоциативность сложения вытекает из равенства: (А È В) È С = А È (В È С). Действительно, если а =n (А), b = n (В), с = n(С) и А Ç В = Æ , А Ç С = Æ, В Ç С = Æ, то (а+b)+с= = n((А È В) È С) = n (А È (В È С)) = n (А) + n (В È С) = а + (b + с).
Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет обосновывать выбор действий при решении текстовых задач определенного вида. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи сложения: «Катя нашла 3 гриба, а Маша - 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»
В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как п(А) = 3, n(В) = 4 иА Ç В = Æ, то n(А È В) = 3 + 4. Сумма 3 + 4 - это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3+4=7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.
При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом Поэтому к системе аксиом предъявляются... Система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически... Если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Теоретико-множественный смысл суммы
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Количественные натуральные числа. Счет
Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматик
Вопросы для самоконтроля
1. Назовите виды множеств, дайте им характеристику. Какие можно производить операции над множествами?
2. Что такое «число», «цифра», «счет»?
3. В чем связь и различие счета и изме
Теоретико-множественный смысл разности
В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а.
Вычитание целых неотрицательных чисел определяет
Теоретико-множественный смысл произведения
Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определ
Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а× b = с, то, зная произведение с
Запись числа в десятичной системе счисления
Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образую конечные последовательности, которые являются краткими записям
Алгоритм сложения
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел,
Алгоритм вычитания
Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел
Алгоритм умножения
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую табли
Алгоритм деления
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
4. Простые числа.
5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел.
Основная литература [7, 9-13, 23, 33, 34];
Дополнительн
Отношение делимости и его свойства
Определение.Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq.
В этом случае чис
Признаки делимости
Рассмотренные в свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3, 4, 5, 9.
Признаки делимости позволя
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив все доказательства
Простые числа
Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные числа.
Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифмет
ТЕМА 17. О РАСШИРЕНИИ МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Содержание
1. Понятие дроби.
2. Положительные рациональные числа.
3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.
4. Действительные ч
Понятие дроби
Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалос
Положительные рациональные числа
Отношение равенства является отношением эквивалентностинамножестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные междусобой дроби.
На
Действительные числа
Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.
Теоретико-множественный смысл разности.
8. Отношения «больше на» и «меньше на».
9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:
1) Многие окружающие нас предметы имеют длину.
2) Стол имеет длину.
В первом предложении утверждается,
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов