Основная теорема о линейной независимости - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Лемма 3.10. Пусть Система Векторов ...
Лемма 3.10. Пусть система векторов,,…,(1) линейно независимая и выражается через ,,…,(2) тогда 1) система векторов -линейно зависимая; 2) система (1) линейно выражается через (6) при некотором і. Доказательство. 1) Система (1) выражается через (2), значит выражается через (2). Значит - лин. завис. 2) Из п. 1) следует, что , где не все λ= 0. Так как,0, значит выражается через , из чего следует, что система (2) выражается через (6), и по 3.3 система (1) выражается через (6).■
Т.3.11. (основная теорема о линейной независимости) Когда линейно независимая система (1) выражается через систему (2), тогда kL,т.е. в ней не может быть больше векторов, чем в той, через которую они выражаются. Доказательство. По Лемме 3.10. из (2) можно удалить некоторый вектор, дополнить ее векторам из (1) и получить систему, через которую выражается (1). Пусть мы несколько раз провели эту операцию и получили систему (7) (без потери общности). По 3.10 из (7) можно удалить вектор, дополнить ее векторам и получить систему, через которую выражается (1). Покажем, что возможно удалить некоторый из векторов По 3.10 - линейно зависимая система, , где не все коэффициенты равные нолю. Невозможно чтобы все λ были равные нолю, так как система (1) линейно независимая, значит ее подсистема - линейно независимая, из чего следует, что , тогда, как в доказательстве 3.10, можно удалить .Так будем делать, пока не получим, что s=L.■
Вывод 3.12. Когда система (1) линейно выражается через (2) и >, тогда (1) - линейно зависимая. Доказательство. Когда бы (1) была линейно независимою, тогда по 3.11 имели бы, что , а это противоречить условию.■
Вывод 3.13. Средь линейных комбинаций векторов из (2) не более линейно независимых.
Доказательство. Очевидно из 3.12.■
ВЫВОД 3.14. Когда (1) и (2)- две линейно независимые системы векторов, (1) выражается через (2) и (2) выражается через (1), тогда Доказательство. По 3.11 і, значит .■
Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... quot Icirc V Icirc V что quot Icirc V...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Основная теорема о линейной независимости
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами
Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.
Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная.
Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов