Базис линейного пространства. Определение и простейшие свойства
Базис линейного пространства. Определение и простейшие свойства - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Азн. 5.1. Система Векторов Линейного Пространства...
Азн. 5.1. Система векторов линейного пространства V над P ,,. . . ,(1) называется базисом пространства V, когда исполняются 2 условия:
Азн. 5.2. Количество векторов в базисе называется размерностью пространства V над P. То, что пространство V имеет измеримость n обозначается n=dimpV, либо n=dimV.
Св-во. 5.3. Определение 5.2. корректное, то есть, что когда (2) и (1) - базисы V, тогда k=n. Доказательство. Все пространство выявляется через (1), значиться, (2) выявляется через (1), но (2) - линейно независимая, значиться (по 3.11) k £ n. Аналогично, n £ k, значиться, k=n.■
2. Rn[x]. Базис 1, x, …, xn , значиться, dim R Rn [x]=n+1.3. V2.. Произвольные 2 некалінеярныя векторы образовывают базис, dim R V2=2.4. V3. Произвольные 3 некампланыя векторы образовывают базис, dim R V3=3.5. V={}.По определению считаться, что dimP{}=.
Св-во 5.4. Когда dimV=n, тогда каждая линейно независимая система векторов из V удерживает не более n векторов. Доказательство. Пусть (1) - базис V, - - линейно независимая система. По условию полноты она выявляется через базис, значиться, по 3.11, k £ n.■
Св-во 5.5. Произвольная минимальная (по количеству векторов) полная система векторов
образовывает базис. Доказательство. Пусть (2) - полная система векторов и минимальная. Надо доказать, что (2) - линейно независимая. От противного. Когда (2) - линейно зависимая, тогда, (по 2.13) существует вектор из (2), который выражается через остальные, скажем,. Тогда "ÎVвыражается через (2), а (2) выражается через .. Из этого (по 3.3) следует, что выражается через ,, значиться получили меньшую за минимальную полную систему векторов, что противоречить посылке.■
Св-во 5.6. Произвольная максимальная (по количеству векторов) линейно независимая система векторов образовывает базис. Доказательство. Пусть (2) - такая система. Надо доказать условие полноты: "ÎV система - линейно зависимая (из максимальности), тогда по 3.4 выражается через (2).■
Следствие 5.7. Если dimPV=n, то любая линейно независимая система n векторов пространства V является базисом V. Доказательство.Возьмем систему из 5.5, значит она максимальна по числу векторов, а это значит из 5.6, это базис.
Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... quot Icirc V Icirc V что quot Icirc V...
Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами
Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.
Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная.
Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов