ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

1.1. Соединениями называют различные группы, составленные из каких – либо объектов.

Элементами называют объекты, из которых составлены соединения.

Различают следующие три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.

1.2. Перестановками из n элементов называют соединения, каждое из которых содержит n элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов.

Число всех перестановок из n элементов обозначается символом Р_n

Число всех перестановок из n элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. Р_n = 1·2∙3∙…∙ (n-1)n.

Произведение n натуральных чисел от 1 до n принято сокращенно обозначать n!, т.е. 1·2∙3∙…∙ (n-1)n = n! (читается “эн - факториал”)

Тогда формулу для числа перестановок запишем в виде: Р_n = n!.

Например, Р₅ = 1·2∙3∙4∙5 = 120.

Пользуясь понятием фокториала формулу для числа размещений можно записать так:

А^m_n= ^n!_(n-m)!

1.3. Размещениями из n элементов по m , (m ≤ n) называются такие соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m обозначается символом А^m_n

Число всевозможных размещений из n элементов по m равно произведению m последовательных чисел натурального ряда, наибольшим из которых является n, т.е.

А^m_n = n (n –1) (n –2) … (n –(m - 1).

Например, вычислить А³_5. Имеем: n=5, m=3.

И A³₅ = 5(5-1)(5-(3-1))= 5 ^. 4 ^. 3 = 60

1.4 Сочетаниями из n элементов по m (m ≤ n) называют соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются только элементами (хотя бы одним).

Число различных сочетаний из n элементов по m обозначается символом C^m_n

Число всевозможных сочетаний из n элементов по m равно частному от деления произведения последовательных чисел натурального ряда, наибольшее из которых равно n, на произведение последовательных натуральных чисел от 1 до m включительно, т.е.

С^m_{n =} _ n(n – 1)(n – 2) … (n – (m – 1))__

1 ∙ 2 ∙ 3…m .

Формулу для числа сочетаний из n элементов по k можно представить через число размещений и перестановок:

C^m_{n = ­­}_ n! _

m!(n-m)!

Например: С^m_n = С³_{5 =} _5∙4^. 3_ _{= 10.}

1·2^. 3