МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ТОРГОВЛИ
ИМ. М. ТУГАН - БАРАНОВСКОГО
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
МАТРИЦЫ И ВЕКТОРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ рекомендации
Для самостоятельной работы
Студентов дневного отделения ФОБ, ФТП
Утверждено
На заседании кафедры высшей
И прикладной математики
Протокол № 15 от “30” мая 2003 г.
ВВЕДЕНИЕ
Создание в ХVIII веке теории матриц и определителей было связано с изучением систем линейных уравнений. Для таких систем были получены формулы, позволяющие выразить решения через коэффициенты при неизвестных и свободные члены.
В ХІХ веке У. Гамильтон, Г. Грассман и другие математики в своих работах ввели векторы, хотя до этого они встречались в трудах Архимеда, Г. Галилея и других корифеев науки, но имели на тот момент только механический смысл.
Применяемые в рамках евклидовой геометрии векторные методы значительно упрощают доказательства многих теорем и решение задач. Например, теорема косинусов, теорема о трех перпендикулярах и другие, которые изучались в школьном курсе, имели довольно громоздкие доказательства, а применение скалярного произведения векторов значительно упрощает процесс доказательства.
Но роль векторов состоит не только в упрощении трудных мест школьного курса. Гораздо важнее то, что векторные методы находят сейчас широкое применение в физике, химии, экономике, биологии, не говоря уже о многих разделах современной математики. Студентам специальности «Оборудование» интересно будет узнать, что скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения представляет собой работу, выполненную силой по перемещению материальной точки; а векторное произведение вектора тока и вектора напряженности магнитного поля – силу воздействия этого поля на проводник и т.д.
Впоследствии при рассмотрении многомерных пространств, скалярное произведение приобрело еще большее значение и стало мощным рабочим инструментом, применяемым буквально во всех областях математики и ее приложениях.
Целью данной методической разработки является оказание помощи студентам в освоении таких тем как матрицы и векторы. Эти темы не случайно объединены: они являются одними из первых, которые изучаются на первом курсе специальностей ОБ, ТН и др., кроме того они тесно связаны между собой. Например, нахождение векторного или смешанного произведений требуют наличия определенных знаний по вычислению определителя, решение систем линейных уравнений основывается на знании способов вычисления определителей и умении производить необходимые действия над матрицами и т.д.
Самостоятельную работу в соответствии с этой методической разработкой студентам рекомендуется проводить в следующем порядке:
Ø прочитать теоретический материал и разобрать решение типовых задач (лучше, если потом эти задания будут решены самостоятельно);
Ø решить задания проверочного теста;
Ø проверить свои результаты, сравнив с ответами теста;
Ø если ответы не совпадают или решение каких-либо задач вызвало трудность, то с помощью методических указаний следует вновь обратиться к теоретическому материалу;
Ø решить контрольную работу по своему варианту, тем самым закрепив свои знания.
I. М а т р и ц ы |
Основные понятия
Матрицей называется множество чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы, имеющей строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.
.
Для сокращения записи матрицу можно представить в компактном виде , (; ), где индекс обозначает номер строки, индекс – номер столбца матрицы.
Матрица, имеющая строк и столбцов, называется матрицей размера .
Если число строк матрицы равно числу столбцов , то матрица называется квадратной порядка .
Среди квадратных матриц отметим диагональные матрицы, у которых все элементы с неравными индексами равны нулю:
.
Элементы расположены на главной диагонали.
Диагональные матрицы, все отличные от нуля элементы которых равны между собой , называются скалярными матрицами. Если , то скалярная матрица называется единичной. Единичную матрицу принято обозначать буквой :
.
Матрица , все элементы которой равны нулю, называется нулевой, и ее обозначают 0:
.
Две матрицы и одного и того же размера называются равными, если все их соответствующие элементы равны. Т.е. , если для всех и .
Решение.
.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Решение системы (6) этим методом состоит в сведении системы к треугольному виду, т.е. к такому, что все элементы матрицы А, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю.
Рассмотрим этот метод на примере.
Пример 7.5. Решить систему методом Гаусса.
.
Основные понятия
Вектором называется направленный отрезок , в котором точка рассматривается как начало, а точка – как его конец.
Проекцией вектора на ось называется длина вектора , где и – проекции точек и на ось (основания перпендикуляров, проведенных из точек и на ось ):
.
Проекция вектора на ось равна его модулю, умноженному на косинус угла наклона вектора к этой оси:
,
где - угол наклона вектора к оси .
Замечание. Если направление вектора совпадает с направлением оси, то берем полученное значение со знаком “+”, в противоположном случае – со знаком “–”.
Координатамивектора называются проекции этого вектора на оси координат:
, ,
и записываются:
или .
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала , т.е.
.
Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка и обозначается . Длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
.
Коллинеарными называются два параллельных или лежащих на одной прямой вектора. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, т.е. векторы и коллинеарны, если выполняется соотношение:
.
Нулевым вектором называется вектор, длина которого равна нулю. Этот вектор считается коллинеарным любому вектору.
Единичным вектором (ортом) называется вектор, длина которого равна единице.
Компланарными называются три вектора и более векторов, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Равными называются два коллинеарных вектора, имеющих одинаковые направления и одинаковые длины.
Противоположными называются два коллинеарных вектора одинаковой длины и противоположных по направлению. Вектор, противоположный вектору – есть вектор (), т.е.
, .
Пример 1.1. При каком значении векторы и будут коллинеарными?
Решение. Для того, чтобы векторы были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны, т.е.
.
Подставим координаты векторов в это соотношение:
,
тогда
.
Пример 1.2. Даны точки , . Найти проекцию вектора на ось , если известно, что вектор и ось образуют между собой угол в .
Решение.
. В нашем случае , . Найдем координаты вектора . По формуле , получим, что
.
Определим длину вектора:
.
Итак,
.
2. Линейные операции над векторами
Суммой двух векторов и называется вектор , который идет из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . При сложении векторов их координаты складываются, т.е. если , , то
.
Суммой векторов называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора , начало вектора – к концу вектора , и т.д. пока не дойдет до вектора .
Если , ,…, , то
.
Замечание. Если конец вектора совпадает с началом вектора , то сумма и вектор является нулевым. |
Разностью векторов и называется вектор , который в сумме с вектором составляет вектор .
Разностью двух векторов, приведенных к общему началу, является вектор, идущий из конца “вычитаемого” вектора в конец “уменьшаемого”.
При вычитании векторов их координаты вычитаются, т.е. если , , то
.
Произведениемвектора на число называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину , и направление такое же как у вектора , если , и противоположное, если . При умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число, т.е.
.
Свойства линейных операций над векторами
1о .
2о .
3о .
4о .
5о .
6о .
7о .
ВАРИАНТ 1
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , ,
ВАРИАНТ 2
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 3
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 4
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 5
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 6
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 7
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 8
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 9
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 10
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 11
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 12
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 13
1. Даны три матрицы ,, . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 14
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 15
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 16
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 17
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 18
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 19
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 20
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 21
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , . При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 22
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , . При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 23
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 24
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 25
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 26
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 27
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 28
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 29
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ВАРИАНТ 30
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
6. Найти длину и направление вектора .
7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?
8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .
9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .
10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .
11. Найти объем пирамиды , если , .
12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.
13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ПРОВЕРОЧНОМУ ТЕСТУ
№ | отв. | указания |
1. | Б | см. п.1.1. |
2. | А | см. п.1.1. |
3. | В | см. п.1.1. |
4. | Б | см. п.1.2. замечание |
5. | Г | см. п.1.2. произведение матриц |
6. | Б | см. п.1.2. сумма матриц |
7. | А | см. п.1.2. умножение матрицы на число |
8. | Б | см. п.1.2. произведение матриц |
9. | Г | а) , б) , г) |
10. | Б | каждая из строк определителя является умноженной на 2 по отношению к данному, т. о. по свойству из п.1.5. его значение равно |
11. | В | а) первая и вторая строки пропорциональны; б) первый и третий столбцы пропорциональны; г) третья строка есть сумма первых двух |
12. | Б | см. п.1.5. |
13. | Г | а) поменяли местами первый и второй столбцы; б) оба определителя равны нулю, т.к. имеют пропорциональные строки и столбцы; в) третий столбец есть сумма первых двух; г) поменяли местами первых две строки, а знак перед определителем не изменили. |
14. | Б | см. п.1.6. |
15. | Б | см. п. 2.2. |
16. | Г | координаты векторов пропорциональны |
17. | Г | скалярное произведение таких векторов равно нулю |
18. | А | см. п.2.1., сначала найти координаты вектора АВ |
19. | А | ординаты равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку; абсциссы равны |
20. | В | абсциссы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку; ординаты равны |
21. | А | координаты противоположны по знаку |
22. | В | см. п.2.1. |
23. | Б | см. п.2.3. |
24. | Г | см. п.2.2., 2.3.; обратите внимание, что , , . |
25. | А | см. п. 2.3. |
26. | В | см. п. 2.4. |
27. | В | |
28. | В | см. п. 2.4. |
29. | Б | , , =. |
30. | А | см. п. 2.2. |
31. | Б | см. п. 2.5. |
ЛИТЕРАТУРА
1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматгиз,1962.
2. Жевержеев Л.А., Кальницкий Н.А., Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для втузов. –М.: Высшая школа, 1970.
3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1977.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.
5. Савин П.С. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.