Определитель матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

Определителем второго порядка называется число:

.

Например: .

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

 

.

 

Минором M_ij элемента называется определитель, полученный из А после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится .

Например:

.

Алгебраическое дополнение элемента определяется следующим образом:

.

Для матрицы А из последнего примера:

 

Определитель квадратной матрицы А порядка n определяется как сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) матрицы на их алгебраическое дополнение. При этом значение определителя не зависит от выбора строки или столбца, который используется для его нахождения.

Согласно определению, найдем определитель матрицы А, «раскладывая» его по первому столбцу:

.

Если (i + j) четно, то , если — нечетно, то . Есть простое правило для определения значения . Для элемента значение , затем для последующих элементов знаки чередуются.

 

Например:

 

Здесь мы видим, что для элемента :, т. е. перед единицей стоит знак «—», что и показано на схеме.

Находить определитель согласно его определению крайне неудобно. Например, для квадратной матрицы четвертого порядка при нахождении ее определителя нам необходимо выполнить следующие операции:

 

Затем нам необходимо найти отдельно каждый из четырех определителей третьего порядка. Видно, что необходимо выполнить много вычислений. Их можно упростить, воспользовавшись следующими свойствами определителя:

1. Если поменять местами две строки (два столбца), то знак определителя изменится на противоположный.

2. Если у матрицы две строки или два столбца совпадают (или являются пропорциональными друг другу), то ее определитель равен нулю.

3. Если в матрице имеется нулевая строка или столбец, то ее определитель равен нулю.

4. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одной строки или одного столбца, можно выносить за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Например:

 

.

 

Обычно, используя свойство 5, получают как можно больше нулей в какой либо строке или столбце и затем уже пользуются для вычисления определителя его определением. Например, найдем определитель:

затем, чтобы получить в первом столбце 3 нуля, мы умножим вначале первую строку на 2 и вычтем ее из второй строки, затем из третьей строки вычтем первую, умноженную на 2, а затем из четвертой вычтем первую, умноженную на 3,

поменяем местами 1-ю и 3-ю строки, знак определителя изменится на противоположный,

=

=

раскладываем по первому столбцу, при этом видим, что необходимо учитывать лишь минор элемента , т. к. другие элементы этого столбца равны нулю,

 

из первого столбца вычтем второй,

 

разложим по первой строке,