рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Сочетания с повторениями

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Сочетания с повторениями

Сочетания с повторениями - раздел Математика, Курс лекций: Элементы дискретной математики Сочетаниями С Повторениями Элементов N Различных Типов По Т ...

Сочетаниями с повторениями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из т элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами.

При этом возможно т > п, поскольку допускается повторение элементов в их неупорядоченном наборе из т элементов.

Пример. Сочетания с повторениями из элементов а, b и с по 2: аb(=bа), ас(=са), bс(=сb), аа, bb, cc.

Число всех сочетаний с повторениями элементов л различных типов по неупорядоченным наборам из т элементов (обозначается ) есть

==.

Действительно, нетрудно установить начальные условия: = п, = 1. Первое условие означает, что из п различных типов элементов можно выбрать п различных сочетаний по одному элементу, причем повторений в этом случае не будет, т.е. = = п.

Второе условие означает, что из элемента одного (единственного) типа можно получить одно (единственное) сочетание из т элементов. Это будет сочетание, где элемент единственного типа повторяется т раз, т. е. = =1

Зафиксируем (обратим внимание на) элемент одного какого-то типа среди п различных типов. Тогда каждое сочетание или содержит этот тип элемента (и, следовательно, т-1 остальных элементов этого сочетания можно выбрать способами), или нет (и, следовательно, сочетание т элементов п-1 оставшегося типа можно выбрать способами). Используя правило суммы, получим =+.

Далее непосредственной проверкой убеждаемся, что если выбрать = (здесь - число сочетаний без повторений

из п+т-1 по т или биномиальный коэффициент), то предыдущее равенство даст = +или, = +, если обозначить k=п+т-2.

Последняя формула есть основное тождество для биномиальных коэффициентов (для чисел сочетаний без повторений). Таким образом, равенство, полученное на основе правила суммы для числа сочетаний с повторениями, приводит к тождеству для биномиальных коэффициентов, если выбрать =. Можно считать последний результат угаданным, если будут выполнены начальные условия: = п, = 1.

При нашем выборе === п и ===1.

Поскольку оба начальных условия выполнены, окончательно получаем

==.

Для примера сочетаний с повторениями элементов а, b, с 3 различных типов по 2 имеем

=== 4!/ (2! (4-2) !) = 6.

Решением задачи 6 является при m = 3 и п = 6

====8!/(3!(8-3)!)=8× 7× 6/ (1× 2 × 3) =8× 7 = 56

вариантов результатов при бросании одновременно 3 одинаковых игральных костей. Здесь п = 6 (на каждой кости возможно выпадение 6 различных типов цифр) и т = 3 (берутся сочетания цифр с возможными повторениями на 3 бросаемых костях) .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Курс лекций: Элементы дискретной математики

Рис... Если A Igrave В то разность А В называется дополнением множества А до... U А Egrave В Говорят при этом что множество U разбито на два множества на А и Аналогичному разбиению можно подвергнуть множество А или множество или то и...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Сочетания с повторениями

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Элементы дискретной математики
Здесь рассмотрены начальные понятия дискретной или конечной математики, т. е. математики, не связанной с понятиями бесконечности, предела и непрерывности. Дискретная математика имеет широкий спектр

Лекция 1. Начала теории множеств.
Цель: Изучить основные понятия теории множеств. План: 1. Понятие множества 2. Операции над множествами. 3. Отображения множеств. 3. Вопросы для контроля

Лекция 2. Комбинаторика
Цель: Изучить основные понятия комбинаторики План: 1. Метод математической индукции. 2. Перестановки 3. Размещения 4. Сочетания 5. Разбиения

Два правила перечисления в комбинаторике
В комбинаторике существует два правила, облегчающих перечисления. Это правило суммы и правило произведения. Аналогичные правила есть и в теории вероятностей. Правило суммы

Комбинаторные задачи
1. Сколько есть вариантов расстановки 6 различных книг на полке? 2. Сколько есть вариантов 6-значных чисел, содержащих цифры 1,1,1,3,3,5? 3. Сколько есть вариантов из 3 команд, за

Перестановки без повторений
Перестановками без повторений или просто перестановками из элементов п различных типов называются их последовательности, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в н

Перестановки с повторениями
Перестановками с повторениями из т элементов n различных типов, среди которых k1 одинаковых элементов 1-го типа, k2 одинаковых

Размещения без повторений
Размещениями без повторений или просто размещениями элементов n различных типов по m называются их последовательности из m различных элементов, отличающиеся друг

Размещения с повторениями
Размещениями с повторениями элементов n различных типов по т называются их последовательности из т элементов, отличающиеся друг от друга самими элементами или

Сочетания без повторений
Сочетаниями без повторений или просто сочетаниями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из m различных элементов, отличающиеся дру

Сочетания с повторениями и ограничением на встречаемость элементов каждого типа
Отдельным случаем являются сочетания с повторениями элементов п различных типов по т элементов, когда элемент каждого типа должен встречаться в каждом сочетании по кр

А. Неупорядоченные разбиения с фиксированными размерами частей
Неупорядоченное разбиениеn -элементного множества X — это любое семейство {X1, X2,…, Xk}, где 1≤k≤

Числа Стирлинга второго рода
Число разбиений n-элементного множества на k блоков произвольного размера (на k непустых подмножеств) выражается числом Стирлинга второго рода S(n, k) (

Доказательство.
Разобьем все множество разбиений на два класса. В первый поместим разбиения, в которых последний элемент входит в отдельный блок, таких разбиений будет S(n – 1, k – 1), во втор

I. Определения.
А. Для чисел Стирлинга второго рода — символ .

Неупорядоченные разбиения (все)
I. Определения. А. р(п) — число разбиений целого числа n на целые слагаемые независимо от их порядка. Например, 5=1+4=2+3=1+1+3=1+2+ + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + I + 1

Биномиальные коэффициенты (числа сочетаний без повторений )
I. Определения. А. или

Числа разбиений с фиксированными частями
I. Определения. А. - или E(n; m1, m2,

Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной лекции
1. В чем суть метода математической индукции? 2. В чем состоят два основных правила перечисления в комбинаторике? 2. Что называют перестановкой без повторений? 3. Что наз

Высказывания
1. Понятие высказывания. Предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, называется высказыванием. Высказываниями являются, например, следующие предложения:

Булевы функции
1. Булевы функции одной переменной. Будем, как обычно, обозначать независимую переменную символом х. Если независимых переменных несколько, будем их нумеровать: х1

Булевы функции двух переменных.
Пусть х1 и х2 — логические переменные. Рассмотрим функцию от х, и