Реферат Курсовая Конспект
Формула полной вероятности - Лекция, раздел Математика, Раздел 2. Основы теории вероятностей Если Событие А Может Произойти Только При Выполнении О...
|
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Задача 42. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.
Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.
Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:
.
Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:
Задача 43.В 1-ой урне 6 белых и 4 черных шара. Во 2-ой - 3 белых и 7 черных. Из 1-ой во вторую переложили 1 шар и после этого из второй извлекают 1 шар. Какова вероятность того, что он белый?
Решение.Пусть событие А – «извлекли белый шар». Гипотезы приходится выдвигать из-за того, что неизвестен цвет переложенного шара. Поэтому:
Н1: переложили белый шар;
Н2: переложили черный шар.
P(H1) = 0,6, P(H2) = 0,4,
P(A|H1) = 4/11, P(A|H2) = 3/11.
P(A) = 6/10·4/11+4/10·3/11 = 18/55.
Задача 44.Из полного набора костей домино достают 2 кости. С какой вероятностью их можно приставить друг к другу?
Решение.Пусть событие А – «вторую кость можно приставить к первой». Гипотезы приходится выдвигать из-за того, что неизвестно, разные или одинаковые цифры на первой кости. Поэтому:
Н1: первая кость – дубль ;
Н2: первая кость – не дубль.
2.2.11. Формула Байеса
Рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
.
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез . По теореме умножения вероятностей
,
откуда
.
Аналогично, для остальных гипотез
Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.
Задача 45.В 1-ой урне 6 белых и 4 черных шара. Во 2-ой - 3 белых и 7 черных. Из 1-ой во вторую переложили случайно выбранный шар. После этого из второй извлекли 1 шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что переложен был тоже белый шар?
Решение.Похоже наформулу полной вероятности…Пусть событие А – «извлекли белый шар». Однако здесь не формула полной вероятности, так как результат эксперимента известен! Требуется же определить вероятность гипотез.
Н1: переложили белый шар;
Н2: переложили черный шар.
Это – задача на формулу Байеса. Требуется найти .
= 2/3.
Задача 46. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3; для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
Решение. Возможны три гипотезы:
– на линию огня вызван первый стрелок,
– на линию огня вызван второй стрелок,
– на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то
В результате опыта наблюдалось событие В – после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:
По формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта:
Задача 47. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго. а). Каков процент брака на конвейере? б). Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?
Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь:
– взятая наудачу деталь обработана на -ом станке, .
Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):
Зависимости между производительностями станков означают следующее:
.
А так как гипотезы образуют полную группу, то
.
Решив полученную систему уравнений, найдем:
.
а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:
.
Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.
б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:
,
,
.
Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Тема Вероятности сложных событий... Лекция Противоположное событие вероятность противоположного события... Независимые события...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формула полной вероятности
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов