Статистические гипотезы

Определение 26. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Определение 27. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H₀.

Определение 28. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H₁, которая противоречит нулевой.

Различают гипотезы, которые содержат одно и более одного предположений.

Определение 29. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Определение 30. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки 2-х родов.

Ошибка 1-го рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки 1-го рода называется уровнем значимости a.

Ошибка 2-го рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза и обозначается через b.

Определение 31. Статистическим критерием (просто критерием) называют случайную величину K, которая служит для проверки гипотезы.

Определение 32. Наблюдаемым значением К_набл. называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.

Определение 33. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Определение 34. Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Определение 35. Критическими точками (границами) К_кр называют точки, определяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Определение 36. Правосторонней (левосторонней) называют критическую область, определяемую неравенством К > К_кр, где К_кр > 0 (К < К_кр, К_кр < 0).

Определение 37. Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами K < К₁, K > К₂, где K₂ > K₁. В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами (причем K_kp > 0):

К < – К_кр, , K > К_кр, то есть |K| > К_кр.

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:

а) для правосторонней критической области

 

 

б) для левосторонней критической области

 

 

в) для двусторонней симметричной области

 

Определение 38. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза (то есть нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза).

Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки).

Пусть - разности вариант с одинаковыми номерами.

- средняя разностей вариант с одинаковыми номерами.

- «исправленное» среднее квадратическое отклонение.

Правило. Для того чтобы при заданном уравнении значимости a проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных совокупностей X и Y с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

 

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n – 1 найти критическую точку . Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Задача. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены шесть деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях миллиметра):

 

	– 8		–1

 

При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально.

Решение. Найдем разности , вычитая из чисел первой строки числа второй.

Найдем выборочную среднюю, учитывая, что :

Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение , учитывая, что

 

 

Найдем наблюдаемое значение критерия:

 

Табулированное значение t_{двуст.кр.}(a = 0,05; k = n – 1) = 2,57.

Так как – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, средние результаты измерений различаются незначимо.