Предел функции. - раздел Математика, Основы математического анализа
Пусть Дана Функция Действительного Аргумента , Определенная Н...
Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .
Определение 3.14. Число называют пределом функции при (на плюс бесконечности), если для любого найдется число такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Обозначение:
В символах математической логики тот факт, что выглядит так
.
Это определение, как и определение предела последовательности, выделяет характерное свойство предела: отклонение от числа можно сделать как угодно малым при достаточно больших (при близких к ). Аналогично можно сформулировать определение предела функции при .
Определение 3.15. Число называют пределом функции при (на минус бесконечности), если . Обозначение: .
Дадим геометрическую иллюстрацию определений 3.14 и 3.15.
y
x
0
d
a+e
a-e
a
y
x
0
-d
a+e
a-e
a
Если функция действительного аргумента определена на , то понятие предела можно определить не только при или , но и при , где – любая точка из .
Интервал , где , часто называют -окрестностью точки . Иногда исключают из рассмотрения точку . В этом случае окрестность называют проколотой.
Определение 3.16. Число называют пределом функции в точке , если .
Обозначение: .
Определение 3.16 называют определением предела функции в точке на языке , или определением предела по Коши в честь знаменитого французского математика, сформулировавшего его.
Обратим внимание на то, что в этом определении не требуется выполнение неравенства при . Поэтому говорят также, что неравенство должно выполняться в проколотой окрестности точки .
Существует другое определение предела функции в точке, сформулированное немецким математиком Гейне – определение на языке последовательностей.
Определение 3.17. Число называют пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , , соответственная последовательность значений функции сходится к числу .
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Предел функции.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Правила вывода.
Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них простых высказываний. Такие сложные
Предикаты. Кванторы.
В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является высказыванием, поскольку мы не можем сказать, ис
Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.
Числовые множества и их границы.
Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств.
1)Отрезок [a,b
Модуль действительного числа и его свойства.
Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом,
.
Р
Элементарные функции. Свойства функций.
Функции , где , называют основными элементарными функциями.
Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на од
Числовые последовательности.
Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие
Такие функции называют функциями натурал
Подпоследовательности. Частичные пределы.
Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие
Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотри
Односторонние пределы функции.
При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно возрастая, т.е. слева от ; монотонно убывая, т.е.
Непрерывность элементарных функций.
Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.
1)Непрерывность функции была установ
ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительны
Равномерная непрерывность функций.
Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что
.
Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Од
Новости и инфо для студентов