Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел. - раздел Математика, Основы математического анализа
Основой Для Построения Любой Теории Действительного Числа Явл...
Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.
Определение 2.1. Сечением Дедекинда во множестве рациональных чисел называется разбиение множества на два непустых подмножества и так, что: 1) каждое рациональное число, принадлежащее меньше каждого рационального числа, принадлежащего ; 2) любое рациональное число принадлежит либо , либо .
Так определенное сечение Дедекинда будем обозначать символом . Множество называют нижним классом, а множество – верхним классом. Проведем классификацию сечений Дедекинда в зависимости от наличия во множествах и наибольших и наименьших элементов. Поскольку не существует наименьшего и наибольшего рациональных чисел, то в нет наименьшего числа, а в нет наибольшего числа. Поэтому логически могут представиться следующие случаи.
1)в есть наибольшее число, в нет наименьшего числа;
2)в нет наибольшего числа, в есть наименьшее число;
3)в нет наибольшего числа, в нет наименьшего числа;
4)в есть наибольшее число, в есть наименьшее число.
Покажем, что четвертый случай невозможен. Предположим противное. Обозначим через наибольшее рациональное число в , а через – наименьшее рациональное число в . По определению 2.1 . Рассмотрим рациональное число . Поскольку < < , то рациональное число не принадлежит ни , ни , что противоречит определению 2.1. Следовательно, наше предположение неверно, и четвертый случай невозможен.
Возможность первых трех случаев покажем построением соответствующих сечений.
Пусть произвольное рациональное число. Разобьем множество на два непустых подмножества и следующим образом. К отнесем все рациональные числа , удовлетворяющие неравенству , а к – все остальные рациональные числа. Ясно, что это будут рациональные числа, удовлетворяющие неравенству . На основании определения 2.1 утверждаем, что такое разбиение является сечением Дедекинда. При этом число будет наибольшим в ,а в не будет наименьшего. Полученное сечение назовем сечением Дедекинда первого вида.
Если бы мы к отнесли все рациональные числа, удовлетворяющие неравенству , а к – остальные рациональные числа (т.е., удовлетворяющие неравенству ), то получили бы сечение Дедекинда второго вида (второй случай).
Установим теперь существование сечений Дедекинда третьего вида. Возьмем произвольное простое число и разобьем множество на два подмножества и следующим образом. К отнесем все отрицательные рациональные числа, нуль и все такие положительные рациональные числа, квадрат которых меньше . К отнесем все положительные рациональные числа, квадрат которых больше . Рационального числа, квадрат которого равнялся бы простому числу , не существует. Очевидно, что построенное разбиение множества является сечением Дедекинда. Покажем, что в не существует наибольшего рационального числа. Предположим противное. Пусть – наибольшее рациональное число в . Тогда, ясно, что должно быть положительным и удовлетворять условию .
Рассмотрим рациональное число
.
Это число – положительно, так как положительны и . Убедимся, что . Действительно,
< 0.
Значит, рассматриваемое число принадлежит и поэтому должно удовлетворять неравенству . Однако
> 0.
Откуда следует, что . Полученное противоречие убеждает нас в неверности предположения о наличии в наибольшего рационального числа.
Совершенно аналогично можно установить, что в нет наименьшего рационального числа. Следовательно, построенное сечение есть сечение Дедекинда третьего вида.
Правила вывода.
Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них простых высказываний. Такие сложные
Предикаты. Кванторы.
В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является высказыванием, поскольку мы не можем сказать, ис
Числовые множества и их границы.
Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств.
1)Отрезок [a,b
Модуль действительного числа и его свойства.
Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом,
.
Р
Элементарные функции. Свойства функций.
Функции , где , называют основными элементарными функциями.
Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на од
Числовые последовательности.
Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие
Такие функции называют функциями натурал
Подпоследовательности. Частичные пределы.
Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие
Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотри
Число e.
Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона:
,
где , получим
= = .
Заметим, что при каждый и
Предел функции.
Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .
Односторонние пределы функции.
При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно возрастая, т.е. слева от ; монотонно убывая, т.е.
Непрерывность элементарных функций.
Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.
1)Непрерывность функции была установ
ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительны
Равномерная непрерывность функций.
Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что
.
Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Од
Новости и инфо для студентов