ТЕОРЕМА 2.1. Между двумя неравными действительными числами всегда существует рациональное число.
ТЕОРЕМА 2.1. Между двумя неравными действительными числами всегда существует рациональное число. - раздел Математика, Основы математического анализа
Доказательство. Пусть И Два Неравных Действи...
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и два неравных действительных числа. Положим для определенности, что . По определению 2.5 это означает, что множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел . Отсюда следует, что в имеется рациональное число , не содержащееся в . Следовательно .
Рассматривая сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел, мы столкнулись с любопытным фактом: не всегда сечение производится рациональным числом. Именно это обстоятельство и послужило основанием для введения иррациональных чисел. Рассмотрим теперь сечения Дедекинда во множестве действительных чисел .
Сечением Дедекинда во множестве назовем разбиение множества на два непустых подмножества и таких, что:
1)каждое действительное число, принадлежащее меньше каждого действительного числа, принадлежащего ;
2)любое действительное число принадлежит либо , либо .
Сечение Дедекинда во множестве будем обозначать символом , где – нижний класс, а – верхний класс. Поскольку во множестве , являющимся подмножеством , возможны лишь три вида сечений, то во множестве других (новых) видов сечений быть не может. Поэтому логически могут представиться следующие случаи.
1)в есть наибольшее число, в нет наименьшего числа;
2)в нет наибольшего числа, в есть наименьшее число;
3)в нет наибольшего числа, в нет наименьшего числа.
Сечения Дедекинда двух первых видов могут быть построены точно так же, как это было сделано во множестве . Покажем, что третьего вида сечений Дедекинда во множестве не существует. Обозначим множество всех рациональных чисел в через , а множество всех рациональных чисел в через . В результате получим сечение во множестве рациональных чисел . Исследуем это сечение. Могут представиться три случая, когда сечение является сечением первого, второго или третьего видов.
1)Предположим, что – сечение первого вида. Обозначим через наибольшее рациональное число в . Покажем, что в этом случае сечение во множестве есть также сечение первого вида. Предположим противное, что в нет наибольшего действительного числа. Значит найдется такое действительное число из , что . По теореме 2.1 между и найдется рациональное число , так что . Но это невозможно, так как лежит в , а, следовательно, принадлежит , и является наибольшим в . Полученное противоречие вынуждает нас отказаться от предположения, что не является сечением первого вида во множестве .
2)Предположив, что – сечение второго вида во множестве , рассуждениями, аналогичными в 1) установим, что также является сечением второго вида во множестве .
3)Пусть – сечение третьего вида во множестве . По определению 2.3 это есть некоторое иррациональное число w, которое принадлежит либо , либо . Допустим, что принадлежит . Тогда утверждаем, что w будет наибольшим в . Предположим противное, что в найдется действительное число такое, что . По теореме 2.1 между и w найдется рациональное число , такое что . Из этого неравенства вытекают два противоречивых утверждения. С одной стороны, , а, следовательно, принадлежит . С другой стороны, больше пограничного числа а значит принадлежит . Полученное противоречие доказывает, что, если принадлежит , то является наибольшим в , а, следовательно, сечение – есть сечение первого вида. Совершенно аналогично можно показать, что, если принадлежит , то w является наименьшим в , а, значит, – сечение Дедекинда второго вида во множестве .
Итак, подводя итог, приходим к заключению, что во множестве действительных чисел всякое сечение производится действительным числом. Это свойство множества называют полнотой, или непрерывностью. Именно из-за этого свойства множество рациональных чисел расширили до множества .
Правила вывода.
Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них простых высказываний. Такие сложные
Предикаты. Кванторы.
В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является высказыванием, поскольку мы не можем сказать, ис
Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.
Числовые множества и их границы.
Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств.
1)Отрезок [a,b
Модуль действительного числа и его свойства.
Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом,
.
Р
Элементарные функции. Свойства функций.
Функции , где , называют основными элементарными функциями.
Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на од
Числовые последовательности.
Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие
Такие функции называют функциями натурал
Подпоследовательности. Частичные пределы.
Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие
Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотри
Число e.
Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона:
,
где , получим
= = .
Заметим, что при каждый и
Предел функции.
Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .
Односторонние пределы функции.
При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно возрастая, т.е. слева от ; монотонно убывая, т.е.
Непрерывность элементарных функций.
Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.
1)Непрерывность функции была установ
ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительны
Равномерная непрерывность функций.
Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что
.
Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Од
Новости и инфо для студентов