рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Понятие функции

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Понятие функции

Понятие функции - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО ОСНОВАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Печатается по решению редакционно-издательского Понятие Функции Было Введено В Гл. 1, Раздел 1.3. Рассмотрим Частный Случай Э...

Понятие функции было введено в гл. 1, раздел 1.3. Рассмотрим частный случай этого понятия, а именно числовые функции. Область отправления и область прибытия в данном случае — множество действительных чисел.

Функция – это соответствие (закон), согласно которому каждому значению переменной х из некоторого множества Х отвечает вполне определенное число у. Функция записывается в виде у = f(х), число х называется аргументом, а у – значением функции. Множество Х называется областью определения функции. Соответствующие значения у образуют множество значений функции.

Функции можно задавать:

а) аналитически с помощью формул;

б) таблицами;

в) графически.

Примеры:

1. Аналитический способ: у = х³ + 2; у = sin² x.

2. Табличныйспособ: таблицы составляются по данным экспериментального изучения связи между двумя величинами, например, в результате измерения влажности воздуха в различные часы дня (табл. 4.1). В этой таблице φ определена как функция t.

Таблица 4.1

Время (t),ч.
Влажность (φ), %

3. Графический способ заключается в следующем: в прямоугольной системе координат задается некоторое множество точек М (х;у), и при этом никакие две точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Оу. Это множество точек определяет функцию у = f(x). Абсциссы точек являются значениями аргумента, ординаты — значениями функции.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывающая, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Иначе это можно записать так: функция y=?(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых , X, , верно неравенство

Возрастающая (рис. 4.1,а) и убывающая (рис. 4.1,б) функции называются монотонными.

Примеры:

Возрастающими являются функции:

ü площадь S квадрата, зависящая от его стороны a: S = а²;

ü численность народонаселения в городе Энске с течением времени при условии, что рождаемость выше смертности: у = 50000 • е^t^/32, где е ≈ 2,7;

ü путь, пройденный телом, в зависимости от времени движения:

S = t + 2t²;

Убывающими являются такие функции:

ü время проезда от Минска до Бреста по железной дороге в зависимости от скорости: t = ;

ü число больных гриппом в городе Энске с течением времени в данный зимний период при ежедневном контроле, если прирост выздоровевших больше прироста заболевших: у = 20000 • е^-^t^/10.

Функция четная, если у(- х) = у(х), и нечетная, если у(- х) = —у(х) для любого х из области определения функции. Например: у = cos x — четная функция, a y = sin x — нечетная (рис. 5.2). Функция у = 2^x не является как четной, так и нечетной, поскольку 2^-^x≠ 2^xи 2^-^x≠ - 2^x.

Функция является пеpuoдической с периодом Т, если для любого значения аргумента у(х + Т) = у(х), т.е. функция повторяет свои значения через данный промежуток Т. Периодическими являются, например, функции у = sin x, у = cos x (см. рис. 4.2).

Периодические функции описывают, в частности, звуковые и электромагнитные волны (сигналы).

Функция ограничена, если |f(х)| ≤ М для некоторого действительного числа М > 0 и для любого значения х из области определения функции. Функции у = cos x и у = sin x — ограниченные функции, поскольку выполняется: |sin x| ≤ 1 и |cos x| ≤ 1.

Ограниченность играет важную роль и в природных явлениях, и в социальных.

Нулями функции называются значения аргумента, обращающие функцию в нуль. Например, нулями функции у = х² - 4 являются значения x₁ = 2 и x₂= - 2.

Пример:

Вид графика зависимости между стимулом и реакцией изображен на рис. 4.3.

Проанализируем этот график [1, с. 109]. Рассмотренная функция возрастает до точки перенасыщения, а далее стремительно убывает. Она ограничена, поскольку изменяется от нулевого значения до максимального, определенного точкой перенасыщения. Функция непериодическая, нуль функции при х = 0.

Пусть имеют две функции у = (x) и ζ = (y). Тогда для тех х, для которых значения у = (x) принадлежат области определения функции (y), можно определить функцию ζ =((x)). Эта функция называется сложной функциейили композицией функцийи и обозначается

ζ = () (x)

Пример:

Для функций у = -х? + 4, ζ = 2у – 2 их композицией будет функция ζ = 2(-х? + 4) – 2 = -2х? + 6.

________________________________________________________________

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО ОСНОВАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Печатается по решению редакционно-издательского

Брестский государственный университет имени А С Пушкина... Т С Онискевич...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Понятие функции

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Соответствия и отношения
Соответствием R между множествами X и Y называется подмножество R декартова произведения

Элементы теории множеств в анализе психологических явлений
Применение в психологии теории множеств связано, во-первых, с психологическими, а, во-вторых, с математическими интерпретациями психологических явлений. В оценках общественного мнения част

Формулы и законы логики высказываний
Логической формулой, или формулой логики высказываний называется предложение, составленное из элементарных (простых) высказываний (А, В, С, … X, Y, Z

Применение элементов линейной алгебры в психологии
Матрицы являются незаменимым средством описания многомерных объектов. Многомерную матрицу легко изобразить на плоскости как в целом, так и по частям. Этим обеспечивается своеобразная «символическая

Элементарные функции
В таблице 4.2 приведен перечень известных из школьного курса функций и их графиков. Эти функции называются основными элементарными функциями. Элементарными

Предел функции
Понятие предела является математическим выражением факта одновременного стремления двух связанных величин к некоторым значениям. Примеры: _____________

Непрерывность функций.
С пределом функции тесно связана ее непрерывность, означающая малое изменение функции при малом изменении аргумента. Пусть функция f(х) определена при некотором значении x0

Физический смысл производной
Пусть S(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t. Тогда ∆S(t)=S(t+∆t)-S(t) – участок пути, проходимый за время ∆t. Отношение

Правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна нулю, т.е

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции
Функция y=?(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых ,

Необходимое условие экстремума
Если в точке дифференцируемая функция y=?(x) имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е.

Достаточные условия экстремума
ППустПусть функция y=?(x) дифференцируема в δ-окрестности точки . Тогда, если в этой точке производная

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке , необходимо: 1. Найти критиче

Использование математического анализа в психологии
Понятие функции и производное от него понятие функциональной схемы и функционирования тех или иных психических процессов, психики в целом, широко применяется в психологии. Для описа

Правило произведения
Пусть Х — некоторое множество, из которого выбор элемента а1 можно осуществить n1 способами, после этого выбор элемента a2 можно осуще

Основные комбинации и формулы для их подсчета
Основными комбинациями, рассматриваемыми в комбинаторике, являются комбинации без повторений и с повторениями. Это перестановки, размещения и сочетания. Пусть некоторое множество Х

Вероятность случайного события
Предметом теории вероятностей является анализ закономерностей в случайных явлениях. Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей является психология. Практическое значение вероятностных м

Статистическое определение вероятности
Пусть было проведено п испытаний, в каждом из которых могло появиться некоторое событие А. Появление события А было зафиксировано т раз. Вероятность собы

Действия над событиями
Если событие А обязательно произойдет при появлении события В, то говорят, что событие В является частным случ

Теоремы сложения
ü Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей: (*) ü Вероятность суммы совместных событий A и B равна сумме их вероятностей без вероятности

Условная вероятность и теоремы умножения
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность

Формула полной вероятности и формула Байеса
Рассмотрим п попарно несовместных событий H1, H2, . . . , Hn. Они образуют полную группу событий, если

Формула Бернулли
Опыты называются независимыми, если вероятность исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Пусть проводятся n независимых опытов, в рез

Случайные величины. Закон распределения случайной величины
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять определенное, но заранее не известное, значение. Дискретной называют с

Функция распределения случайной величины. Ее свойства
Другой формой закона распределения случайной величины является функция распределения F(x), представляющая собой вероятность того, что случайная величина Х

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
Математическое ожидание MX дискретной случайной величины X определяется формулой

Непрерывные случайные величины. Плотность распределения
Непрерывной называется случайная величина X, если ее функция распределения непрерывна. Распределением непрерывной случайной

Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожиданиеMX непрерывной случайной величины, имеющей плотность, определяется формулой

Применение вероятностных методов в психологии
Применение вероятностных методов в различных областях психологии является очень широким и разносторонним. Приведем лишь несколько примеров. Чаще всего психология имеет дело со случайными в