План лекции

3.Задать закон распределения непрерывной случайной величины таблицей нельзя, необходимы другие способы. Этими способами являются построения различных функций распределения вероятностей случайной величины. Пусть Х – непрерывная случайная величина, принимающая значения из некоторого промежутка: . Выражение Х<х означает, что величина Х приняла значение, меньшее числа «х»; вероятность этого обозначается через F(x). Если число «х» изменяется, то изменяется и Х, F(x) является функцией от «х».

Интегральный закон распределения непрерывной случайной величины Х - это функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: F(x)=P(X<x)(5), x(a;b). Свойства: [1]. (6) (так как F(x) – вероятность). [2]. F(x) – функция неубывающая.

[3]. (7) . Например, случайная величина Х задана функцией распределения: F(x)=

Найти вероятность того, что случайная величина Х попадет в полуинтервал [1;0): 1)[-1;0)(-2;1], 2). . [4]. Вероятность того, что случайная величина Х примет одно, вполне определённое значение, равна нулю: (8). [5]. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой прямой, то справедливо: (9), (10).

[6]. (11) - вероятность попадания случайной величины в один из заданных промежутков – одинакова.[7].Если то при при (12).

4.Непрерывную случайную величину можно задать функцией плотности вероятности или дифференциальной функцией распределения. Плотность вероятностинепрерывной случайной величины Х – это функция f(x), удовлетворяющая свойству f(x)=(13). Иначе: дифференциальная функция распределения равна первой производной интегральной функции распределения. При известной плотности распределения можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на теореме (Теорема 1). (14).Например, если плотность вероятности случайной величины Х: то вероятность того, что величина Х примет значение из интервала : 1). , на этом интервале f(x)=4x; 2). При известной плотности вероятности f(x) интегральная функция распределения F(x): - интеграл с переменным верхним пределом, он является также функцией от «х». Действительно: 1). Если X<x , то () и ; 2) при обозначениях , x=b: .

Например, при заданной плотности вероятности

интегральная функция распределения F(x) вычисляется:

1). Если , то f(x)=0 (по условию), откуда ;

2). Если , то f(x)=, , ;

3). Если x>b, то

, .

Свойства.[1]. (15).[2]. Если f(x) – плотность вероятности, то . (16). [3]. (17) (вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала приближенно равна произведению плотности вероятности f(x) в точке «х» на длину интервала ).

5. Равномерное распределение непрерывной случайной величины Х, принимающей свои значения из отрезка [a,b], это распределение, удовлетворяющее условиям: 1) плотность вероятности величины Х на отрезке [a;b] - постоянна: f(x)=c,2) плотность вероятности величины Х вне отрезка [a;b] равна нулю: (18).

Для вычисления значения «с» числовую ось разобьём точками «a» и «b» на три интервала:

1)

; 2) для плотности вероятности: с одной стороны:(а); с другой стороны:(б) (по свойствам плотности вероятности); 3) из (а) и (б): c(b-a)=1 или (19). Поэтому, если , то , если x<a или x>b, то f(x)=0.

Например, если значения случайной величины Х равномерно распределены на отрезке [1;9], то вероятность того, что величина Х попадет в промежуток (2;6) вычисляется: 1) по определению плотности вероятности , где 2) то есть, вероятность того, что данная величина, распределенная равномерно, попадет в промежуток (2;6) равна 50%. Для равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х интегральная функция F(x) распределения вычисляется:

(20).

6. Непрерывная случайная величина Х, как и дискретная, обладает числовыми характеристиками: M(X);D(X);. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей f(x) и все возможные значения величины Х принадлежат отрезку [a;b]. Разобьём отрезок [a;b] на «n» частичных промежутков длиной , в каждом промежутке выберем произвольную точку Для вычисления М(Х) непрерывной случайной величины, составим сумму произведений возможных значений величины на вероятности их попадания в промежуток . Вероятность попадания величины Х в интервал - это произведение (см.выше), для вероятность попадания в него значения равна , искомая сумма таких произведений – . Перейдя к пределу при получим определенный интеграл Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, значения которой : (21). Если возможные значения , то (22). (b).Дисперсия непрерывной случайной величины Х –(математическое ожидание квадрата её отклонения): (23), где f(x)dx – вероятность попадания возможного значения случайной величины х в промежуток [a;b], М(Х) – математическое ожидание (ниже введем обозначение: М(х)=а). Если , то (24).

(с).Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины –это квадратный корень из её дисперсии: (25). Свойства математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины аналогичны свойствам этих характеристик дискретной случайной величины.

Кроме этого, для вычисления дисперсии можно вывести более удобные формулы: (26). Например,

для случайной непрерывной величины Х, заданной плотностью вероятности вычисляются:

1) 2);

7. Если непрерывная случайная величина Х распределена равномерно, плотность вероятности , то: 1), (27);

;(28). Например, на отрезке [А;В], где А(а),В(b) фиксируют точку Р; какова вероятность того, что точка Р попадает в крайний левый промежуток, если [А;В] разделен на 4 равные части? 1) Серединой отрезка [АВ] является точка N(середина отрезка [AN] – точка искомый промежуток–вероятность: =25%.(b).Например, на каком промежутке равномерно распределена случайная величина Y=2X+4, если случайная величина Х равномерно распределена на промежутке [3;7]? Левый конец промежутка распределения величины Х – число 3, для величины Y левый конец – число y=2.3+4=10; для правого конца: если х=7, то y=2.7+4=18, промежуток равномерного распределения величины Y: [10;18].

8.Закон нормального распределениянепрерывной случайной величины - это закон, для которого плотность вероятности f(x) выражается формулой: (29). Из (29): нормальное распределение определяется двумя параметрами: «а» и «»(докаазно, что этими параметрами являются а=М(Х), =). График функции вида - это кривая Гаусса (см.рис. 1)

Рис. 1

Свойства кривой нормального распределения.

[1]. В нормальном распределении показатель степени не , а , поэтому кривая Гаусса имеет ту же форму, но сдвинута на а единиц по оси Ох (a=M(X)). Изменение параметра «а» (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит к сдвигу кривой вдоль оси Ох: вправо при а>0, и влево при а<0, (см. рис. 2)

Рис. 2

[2].(30): функция f(x) нормального распределения вероятностей случайной величины X при x=a имеет максимум () (рис. 2), (30) показывает, что с возрастанием параметра «» ордината нормальной кривой убывает, сама кривая становится более пологой (сжимается к оси Ох); при убывании «» нормальная кривая становится более острой. [3]. f(x)>0 – всегда. [4]. При любых значениях параметров «а» и «» площадь, ограниченная нормальной кривой и осью Ох, остается равной единице, что следует из свойства плотности распределения (п.3, [2]: ).

3. Если закон распределения случайной величины Х задан плотностью вероятности f(x), то (5) (это вероятность того, что Х примет значение из промежутка ). Если же случайная величина Х распределена по нормальному закону, то вероятность её попадания в промежуток : (33). Интеграл вида не выражается через известные элементарные функции, но определенный интеграл в некоторых пределах теми или иными приближенными методами может быть вычислен с определенной степенью точности. Такие вычисления могут быть, например, произведены интегрированием степенного ряда. Другим методом вычисления интеграла такого вида является введение функции Лапласа (интеграла вероятностей): (34), для нахождения значений функции составлена таблица ее значений для различных значений переменной. Свойства функции Лапласа: [1]. Ф(0)=0 (35). [2]. Ф(х) – функция нечетная.

Используя функцию Лапласа и формулу Ньютона–Лейбница, после соответствующих преобразований получаем формулу для вычисления вероятности того, что Х примет значение из промежутка :

(36), (a=M(X)),(- промежуток распределения случайной величины Х). Например, случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а=30 и =10, вычислим вероятность того, что Х примет значение из интервала (20;40):

Р(20<X<40)=Ф-Ф=Ф(1)-Ф(-1)=Ф(1)+Ф(1)=2Ф(1),

по таблице функции Лапласа Ф(1)=0,3413, 2Ф(1)=0,6826 и .