рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Конспект лекции.

Конспект лекции. - раздел Математика, МАТЕМАТИКА 1. Вектор – Это Направленный Отрезок, (Отрезок, Имеющий Фикс...

1. Вектор – это направленный отрезок, (отрезок, имеющий фиксированные начало и конец): , точка А – начало вектора , точка В –его конец. Длина вектора –это модуль: Единичные вектора: ; вектор нулевой . Коллинеарные векторы расположены либо на одной прямой, либо на параллельных прямых, если они одинакового направления, то : ; если противоположного, то . Равные векторы - это коллинеарные векторы одинакового направления, имеющие равные длины: . Вектор можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства (плоскости), такой вектор - свободный. Два вектора противоположны, если ; для вектора противоположный ему вектор (-), для - противоположный - . Линейные операции с векторами: сложение, вычитание векторов, и умножение вектора на число «». Сумма векторов и - это вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора , если построен в конце вектора , или сумма - это диагональ параллелограмма, построенного на векторах и из общего начала. Свойства: [1]. - [2]. -; [3]. .Разность векторов и - это вектор , удовлетворяющий равенству : . Разность – это вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого вектора (векторы приведены к общему началу). Произведение вектора на число «» - это вектор : (1)коллинеарен вектору ; (2) ; (3) , если >0; либо , если <0; либо , если Например, для вектора и вектор - коллинеарен вектору , одинакового с ним направления, его длина в три раза больше длины вектора . Для вектора () : и .Свойства:[4].;[5]., ; [6].Для вектора (, ): . Записи или означают коллинеарность векторов и .

2. Линейно зависимые векторы – это векторы , для которых существуют числа , не равные нулю одновременно, что выполняется равенство: (1). Линейно независимые векторы таковы, что равенство (1) выполняется для всех . Если в равенстве (1) , то вектор выражается через остальные векторы: ; выражение (2)- это линейная комбинация векторов . Поэтому: 1) если векторы линейно зависимы, то хотя бы один вектор выражается через остальные векторы в виде их линейной комбинации; 2) если один из векторов есть линейная комбинация остальных, то все векторы линейно зависимы. Три вектора на плоскости всегда линейно зависимы. Если на плоскости задано более трех векторов, то все они линейно зависимы. Два коллинеарных вектора на плоскости всегда линейно зависимы. Два неколлинеарных вектора на плоскости всегда линейно независимы. В пространстве компланарные векторы –это векторы, параллельные одной плоскости или принадлежащие ей. Тогда: [7]. Компланарные векторы с общим началом лежат в одной плоскости. [8]. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы (при числе векторов в пространстве больше четырех - векторы линейно зависимы). [9]. Для того, чтобы три вектора в пространстве были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы. [10]. Для того, чтобы три вектора в пространстве были линейно-независимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны. [11]. Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем. Положение вектора на плоскости и в пространстве определяется базисом. Базис на плоскости – это 2 линейно независимых вектора (в пространстве –3 линейно независимых вектора). Если два вектора - базис на плоскости, - некоторый вектор, то из линейной зависимости трех векторов один из них линейно выражается через два других вектора: : вектор разложен по базису (); числа -это координаты вектора в базисе . В пространстве: вектора - образуют базис, - вектор разложен по базису , числа - координаты вектора в базисе . Вектор по базису () разлагается единственным образом. Углом между векторами называется величина «=» () внутреннего угла треугольника АОВ (см. рис.1).

Рис. 1

По определению: , угол если и , если . Орт- единичный вектор , направление которого совпадает с направлением оси. Ортогональная проекция вектора на ось - это число, равное произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: (3) .Свойства:[12]. Проекция положительна, если угол острый, и отрицательна, если угол - тупой. [13]. =0, если угол =. [14]. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны. [15]. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций. [16]. При увеличении (уменьшении) вектора в раз, проекция вектора также увеличится (уменьшится) в раз. Для описания геометрических объектов в пространстве вводится прямоугольная декартова система координат (по имени французского математика Рене Декарта). В пространстве на осях OX, OY и OZ откладываются единичные векторы (орты) ,, . Декартовы прямоугольные координаты вектора - это проекции вектора на оси координат; в пространстве: , на плоскости: . Векторы некомпланарны, образуют декартов прямоугольный базис (в пространстве (на плоскости - базис , ), разложение вектора в базисе - единственно: , . Операции с векторами совпадают с операциями с их соответствующими координатами: если и , то и . При соединении точек (см. рис.) с началом координат (точкой О) получаем вектор , заданный двумя радиусами –векторами , (4) (cм. рис. 2).

.

Рис. 2

 

Два ненулевых коллинеарных вектора и связаны соотношением , такая же связь существует между их координатами: , откуда : (5) – у коллинеарных векторов были коллинеарны их одноименные координаты пропорциональны.

Замечание. В равенстве (5) некоторые знаменатели могут оказаться равными нулю. Всякую пропорцию можно понимать как равенство вида , тогда равенство можно истолковать, как и так как , то (если один из знаменателей в пропорции равен нулю, то и соответствующий числитель также приравнивается нулю).

3. Скалярное произведение двух ненулевых векторов - нелинейная операция, это число, которое вычисляется: (6).Свойства: [17]. [18].((. [19].. [20]. ((7)- это скалярный квадрат вектора. [21]. (8); (верно, когда хотя бы один из векторов - нулевой (нулевой вектор имеет неопределенное направление и может считаться перпендикулярным вектору ). Перемножив скалярно два вектора (как многочлены) с учетом () получаем - скалярное произведение двух векторов в координатной форме. При : (9). Из : (10). Для вектора , где :

(11). Из : (12).

4. Таблица вида (1), составленная из чисел - это матрица второго порядка, числа - элементы матрицы; и - строки матрицы, и - столбцы. Элемент матрицы : (первый индекс - номер строки, второй индекс – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент); стоит в i-ой строке и к - ом столбце. Матрице (1) ставится в соответствие число , это определитель матрицы: =. Например, для матрицы А=определитель 8+3=11. Квадратная матрица третьего порядка – это таблица вида А=(2), где числа. Для матрицы (2) существует определитель третьего порядка :

(3), вычисляется (3) разложением его на определители второго порядка по правилу:

(4)

В сумме (4): (а).В сумме - шесть слагаемых: три - со знаком плюс и три - со знаком минус.(б)Каждое слагаемое - это произведение трех элементов определителя, никакие два из них не лежат в одном столбце или в одной строке. Из (4) имеем правило составления суммы для вычисления определителя (3): один из трёх положительных членов определителя (3) является произведением элементов главной диагонали, каждый из двух других – произведением элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и третьего множителя из противоположного угла матрицы. Отрицательные члены выражения (3) строятся по тому же правилу, но относительно второй диагонали. Правило изображается схематически (см. рис.), где (с) показывает правило вычисления положительных членов определителя, а (d) – правило вычисления отрицательных членов (см. рис.3).

(с), (d)

Рис 3.

Например,24+22-36=10.

5. Матрица может содержать любое натуральное число строк и столбцов. Квадратная матрица n - го порядка – это таблица из чисел, обозначается: (5). Определитель n – го порядка, порожденный матрицей (5), - это алгебраическая сумма членов, построенная по определенным правилам.

6.Вычисление определителей n – го порядка опирается на свойства: [1]. При замене вы определителе строк на столбцы его величина не изменится:

(6).

[2]. Если одна из строк (столбец) определителя состоит из нулей, то [3]. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.[4]. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.[5]. Если все элементы какой-то строки умножить на некоторое число «к», то и значение определителя умножится на это число «к». Иначе: общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.[6]. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.[7]. Если все элементы i-ой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых: , где j=1,2,…n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-ой строки, такие же, как в заданном определителе, а i-ая строка в одном определителе состоит из элементов , в другом определителе – из элементов .[8]. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то . [9]. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответственные элементы другой строки, умноженные на одно же число (или линейную комбинацию строк). Минор Mэлемента определителя n-го порядка - это определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и к-ого столбца. Например, минором элемента определителя (3) является определитель (7). Алгебраическое дополнение элемента определителя n-го порядка – это его минор , взятый со знаком : (8). Например, алгебраическое дополнение элемента определителя (3) -это определитель Теорема: определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения (см. выше правило разложения определителя по элементам строки):

Равенство (9) означает разложение определителя по элементам первой строки. Например, для [10]. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

7. Векторное произведение двух векторов - это вектор. Векторное произведение двух векторов - новый вектор удовлетворяющий условиям: 1) модуль численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу: , 2) вектор перпендикулярен плоскости параллелограмма, построенного на векторах : , 3) направление вектора таково, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот вокруг вектора в направлении от вектора к вектору должен осуществляться против часовой стрелки:. Если , то - векторный квадрат. Свойства: [1].; [2].; [3].; [4]. Если , то: либо (а) или , либо (б) векторы коллинеарны.[5]. Если коллинеарен , то =0. Чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы =0. [6]. (10). Векторное произведение в координатах: для и :

. Из (a);

(b) (c)[1]: , , ,

получаем:

,

 

(11); (12).

8. При последовательном умножении скалярного () или векторного () произведения двух векторов на третий вектор можно получить либо число, либо вектор. Конкретную геометрическую интерпретацию и применение в практике имеет случай, когда в результате получаем число.

Смешанное произведение трех векторов - это скалярное произведение вектора на вектор :(13). Для трех некомпланарных векторов абсолютная величина их смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к общему началу. Из свойств векторного произведении: модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах; тогда объем V параллелепипеда, построенного на векторах равен произведению площади его основания на высоту h, где , и ,

т.е. (14), (см. рис 4.)

 

Рис 4.

Свойства . [1]. ; [2].; Для векторов по свойствам и : , или , поменяв дважды местами строки, получим: (15).

Если векторы расположены в одной плоскости, то V параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен нулю: . Чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось: .

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТЕМАТИКА

Специальность Информатика... СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... Р А Александрова Математика Учебное пособие Изд во РГУ им И Канта г РГУ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Конспект лекции.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Конспект лекции.
1. Множество – основное понятие, оно не определяется, вводится на примерах: множество жителей города - конечное, множество натуральных чисел N={1;2;3;…n…}-бесконечное

Лекция 1.
План лекции. 1.Декартовы и полярные координаты точки на плоскости 2.Уравнение прямой на плоскости. 3.

План лекции
1. Уравнение первой степени с тремя переменными. 2. Различные способы задания плоскости. 3. Взаимное расположение двух плоскостей. 4. Расположение плоскости относительно

План лекции
1.Понятие комплексного числа. 2.Комплексное число в алгебраической форме. 3.Операции сложения и вычитания. 4.Комплексное число в тригонометрической форме. 5.Опер

План лекции
1.Понятие матрицы. 2.Операции с матрицами (сложение матриц, вычитание, умножение матрицы на число ). 3. Умножение матрицы

План лекции
1.Понятие квадратичной формы. 2.Определение знака квадратичной формы.   1.Квадратичная форма от «n» неизвестных - это сумма, каждый член которой является либо квадра

План лекции
1.Понятие системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными. 2.Решение системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными по правилу Крамера. 3.Решение

План лекции
1.Понятие функции. 2.Числовая последовательность, ее предел. 3.Предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 4.Основные свойства предело

План лекции
  1.Производная функции одной переменной. 2.Вычисление производной по ее определению. 3.Правила вычисления производных. 4.Производные элементарных функций.

Формула Ньютона-Лейбница.
10.Методы вычисления определенного интеграла. 11.Понятие несобственного интеграла.   1.Для операции дифференцирования существует обратная операция – отыскание функци

План лекции
  1.Понятие функции нескольких переменных (двух, трех). 2.Предел и непрерывность функции двух переменных. 3.Частные производные функции двух переменных. 4.П

План лекции
1.Понятие числового ряда. 2.Сходимость числового ряда. 3.Признаки сходимости рядов. 4.Положительные ряды, их сходимость. 5.Признаки сходимости положительных рядо

План лекции
1.Понятие дифференциального уравнения. 2.Уравнения с разделяющимися переменными. 3.Однородные дифференциальные уравнения. 4.Понятие дифференциального уравнения порядка вы

План лекции
1.Элементы комбинаторики. 2.Случайные события, их классификация. 3.Классическое определение вероятности, свойства вероятности. 4.Операции с событиями. 5.Классифи

План лекции
  1.Понятие случайной величины 2.Дискретная случайная величина и её свойства. 3. Основные числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, диспер

План лекции
1.Закон биномиального распределения дискретной случайной величины. 2.Закон Пуассона. Числовые характеристики биномиального распределения. 3.Интегральная функция распределения.

План лекции
1.Понятие о разделе математики «математическая статистика». 2.Основные понятия математической статистики. 3.Статистическое распределение выборки дискретной случайной величины.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги