рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Физика
/
Тензорное исчисление

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Тензорное исчисление

Тензорное исчисление - раздел Физика, Явление дифракции в кристаллических структурах Физические Свойства Кристаллов Описываются Соотношениями Между Измеряемыми Ве...

Физические свойства кристаллов описываются соотношениями между измеряемыми величинами. Если свойство определяется соотношением между величинами, каждая из которых характеризуется как величиной, так и направлением, то это свойство будет зависеть от направления, в котором оно измеряется. В таких случаях говорят, что кристалл анизотропен в отношении рассматриваемых свойств.

Большинство свойств описывается математическими величинами, называемыми тензорами.

Одной из задач физики является вычисление этих тензоров для конкретных кристаллов в зависимости от их атомной и кристаллической структуры.

Вектор полностью определяется заданием значений трех его компонент вдоль координатных осей. Векторы называются тензорами первого ранга.

Тензоры второго ранга

Пусть электрическое поле, заданное вектором , действует на проводник, тогда по проводнику течет ток. Плотность тока . Закон Ома

Если проводник изотропен, то , каждая компонента пропорциональна соответствующей компоненте .

Если проводник представляет собой кристалл, то отношение между и не будет таким простым (кубические кристаллы образуют особую группу кристаллов, электропроводность которых изотропна).

Каждая компонента линейно зависит от всех трех компонент , т. е. и по направлению не совпадают.

Поэтому, чтобы определить электропроводность, мы должны задать все 9 коэффициентов.

Эта таблица обозначает тензор второго ранга, а

– компоненты этого тензора.

В общем случае, если свойство Т связывает два вектора и таким образом, что

то Т_ij образуют тензор второго ранга

_{; ;}

или

; .

Если в одном и том же члене индекс повторяется дважды, то суммирование ведется по этому индексу.

Индекс j называется индексом суммирования.

Найдем закон преобразования компонент тензора второго ранга при переходе от одной системы координат к другой.

Сначала определим правила преобразования осей координат, а затем, как преобразуются при переходе к новым осям компоненты векторов.

Преобразование осей координат – переход от одной системы осей координат к другой. Масштабные отрезки вдоль каждой из осей всегда остаются неизменными. Оси координат связаны таблицей направляющих косинусов – матрицей.

старые оси

- матрица

новые оси

х₁

х₂

х₃

х₁^/

а₁₁

а₁₂

а₁₃

х₂^/

а₂₁

а₂₂

а₂₃

х₃^/.

а₃₁

а₃₂

а₃₃

в системе осей x₁, x₂, x₃, – в системе .

;

При переходе от старой системы координат к новой индексы суммирования стоят рядом. При обратном преобразовании индексы суммирования отделены друг от друга.

в системе координат x₁, x₂, x₃.

Возьмем новую систему осей , связанных со старыми осями направляющими косинусами. Векторы и в новой системе будут иметь компоненты и .

Используем схему: .

;

(**) – закон преобразования тензоров второго ранга.

Это выражение представляет собой совокупность девяти уравнений, каждое из которых имеет девять членов в правой части.

В преобразовании, которое выражает новые компоненты через старые, индексы суммирования стоят как можно ближе друг к другу. В обратном преобразовании индексы суммирования стоят как можно дальше.

;

Закон преобразования тензора первого ранга совпадает с законом преобразования координат точки.

;

Аналогично закон преобразования тензора второго ранга совпадает с законом преобразования произведения координат.

Рассмотрим произведение , образованные координатами некоторой точки в системе осей . Координаты той же точки в системе будут

Формально этот закон совпадает с формулой **. Поэтому можно сказать, что компоненты тензора преобразуется так же, как произведение .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Явление дифракции в кристаллических структурах

На сайте allrefs.net читайте: "Явление дифракции в кристаллических структурах"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тензорное исчисление

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Уравнение Вульфа–Брэггов
Это уравнение выведено в 1913 г. английскими учеными Вильямом Генри Брэггом (отцом) и Вильямом Лоренцом Брэггом (сыном) и независимо профессором Московского университета Юрием Викторовичем Вульфом

Порядок отражения
Рассмотрим плоскость (hkl). Эта плоскость от координатных осей отсекает отрезки . Межплоскостное расстояние для параллель

Сфера Эвальда
Рассмотрим два атома в цепочке атомного ряда А и В (рис. 54). Рис. 5

Рассеяние на атоме
При рассеянии падающей волны на электроне выражение для интенсивности может быть записано следующим образом: ,

Законы погасания для различных типов структур
Условия, при которых структурный фактор обращается в ноль, носят название законов погасания. Для каждого типа решеток существует свой закон погасания. Но если быть точным, то, как правило, у

Реальная интенсивность
Теоретически рассчитанные значения интенсивности рассеянного излучения всегда оказываются больше реального значения. Это обусловлено тем, что расчеты проводятся в рамках кинематической теории рассе

Реальные кристаллы. Дефекты в кристаллах
В идеальном кристалле при термодинамическом равновесии расположение материальных частиц характеризуется трехмерной периодичностью. Геометрической схемой периодичности является пространственная реше

Центры окраски
Центрами окраски называются комплексы точечных дефектов, обладающие собственной частотой поглощения света и соответственно изменяющие окраску кристалла. Введение центра окраски в кристалли

Радиационные дефекты
Рассмотрим дефекты, возникающие в кристалле под действием ионизирующего облучения или частиц высоких энергий, так называемые радиационные дефекты. Действие радиации на кристалл созд

Линейные дефекты
Представление о дислокациях или одномерных линейных дефектах привело к более полному пониманию физического поведения кристаллов и их свойств и обеспечило разработку основных принципов для получения

Вектор Бюргерса
Для описания дислокаций в реальных кристаллах введено понятие о контуре Бюргерса, а реальный кристалл, содержащий дислокацию, сравнивается с гипотетическим совершенным кристаллом. Вектор Бюргерс

Плотность дислокаций
Плотность дислокаций – это число линий дислокаций, пересекающих единичную площадку в кристалле, ее размерность в СИ – это м -2 (обычно измеряется в см -2). Плотность ди

Краевые и винтовые дислокации
Дислокация, или граница, определяющая область кристалла, в которой произошло скольжение, от области, в которой скольжение еще не произошло, в общем случае не является прямой линией и не ограничена

Источник Франка–Рида
В результате движения краевой дислокации вдоль ее плоскости скольжения две соседние части кристалла смещаются друг относительно друга на одно межатомное расстояние. В процесс пластической деформаци

Методы наблюдения дислокаций
Большинство методов экспериментального наблюдения дислокаций основано на регистрации искажений в решетке, обусловленных дислокацией. Простейший метод обнаружения дислокаций – метод избират

Влияние симметрии кристаллов на их свойства
Ключ к этому вопросу – принцип Наймана. Физическое свойство кристалла – это соотношение между определенными измеряемыми величинами, характеризующими кристалл. Например, упругость – есть некоторое с

Тензоры третьего ранга
У некоторых кристаллов при приложении к ним механического напряжения возникает электрический момент, величина которого пропорциональна приложенному напряжению. Это явление называется пьезоэлектр

Уменьшение числа независимых модулей
В общем случае тензор третьего ранга имеет 33 независимых компонент. Если выписать полностью все его компоненты, то они образуют не квадратную таблицу, а куб. Первый индекс озна

Тензор напряжений
Если тело находится под действием внешних сил или если любая часть тела действует с некоторой силой на соседние части, то тело находится в напряженном состоянии.

Одномерная деформация
Рассмотрим струну. Зафиксируем начало координат О. Растянем струну. После растяжения произвольная точка перейдет в

Двумерная деформация
Рассмотрим деформацию растяжимой плоской пластинки (рис. 70). Выберем начало координат. Будем ограничиваться рассмотрением малых смещений. Пусть точка Р с координатами (х1, х

Трехмерная деформация
Определение деформации трехмерного тела вводится аналогично предыдущим рассмотрениям. (i, j = 1, 2, 3),

Упругость. Тензоры четвертого ранга
1. Закон Гука. Под действием напряжения форма твердого тела изменится. Если величина напряжения ниже определенного предельного значения, называемого пределом упругости, то деформация являе

Влияние симметрии
Вследствие симметрии кристалла число независимых Sij и Cij уменьшается еще больше. Упругость является центросимметричным свойством. Это означает, что если оси координат преобр

Взаимная связь физических свойств кристаллов
Когда рассматривается какое-либо физическое свойство, обычно учитывается связь его с остальными свойствами кристалла. В действительности все свойства кристалла взаимосвязаны, и под влиянием внешних