рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Физика
/
Упругость. Тензоры четвертого ранга

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Упругость. Тензоры четвертого ранга

Упругость. Тензоры четвертого ранга - раздел Физика, Явление дифракции в кристаллических структурах 1. Закон Гука. Под Действием Напряжения Форма Твердого Тела Изменитс...

1. Закон Гука.

Под действием напряжения форма твердого тела изменится. Если величина напряжения ниже определенного предельного значения, называемого пределом упругости, то деформация является обратимой, т. е. при снятии напряжения тело принимает первоначальную форму.

Известно, что при достаточно малых напряжениях деформация пропорциональна величине приложенного напряжения.

Закон Гука:

где S – константа упругой податливости, или податливость, для конкретной системы напряжений и данного направления деформаций. В то же время можно записать

, ,

где С – константа упругой жесткости, или жесткость – модуль Юнга.

Однородное напряжение и однородная деформация определяются тензорами второго ранга. Если к кристаллу приложено произвольное однородное напряжение , то возникающая однородная деформация такова, что каждая ее компонента линейно связана со всеми компонентами напряжения.

Для других восьми компонент имеются восемь аналогичных уравнений, где S – константы.

Закон Гука в обобщенной форме запишется

где – податливость кристалла (81 коэффициент).

Если приложена только одна компонента напряжения , то могут быть отличны от нуля все компоненты деформации, а не только .

А именно, если прямоугольный стержень, вырезанный из кристалла, подвергнуть одноосному растяжению параллельно четырем его ребрам, то стержень будет не только удлиняться в направлении растяжения, но и претерпевать сдвиг. При этом все углы между ребрами изменяются.

Если изгибать кристаллический стержень, прикладывая чисто изгибающее напряжение к его концам, то стержень будет не только изгибаться, но и закручиваться, и т.д.

Если уравнения решить как систему совместных уравнений относительно , то получится система решений в форме

Физический смысл можно понять, представив себе, что на кристалл действуют различные простые напряжения. Если бы было приложено сдвиговое напряжение , то, вспоминая, что в отсутствие объемных моментов не может быть приложено без , мы получили бы

Коэффициенты и всегда появляются вместе. Если не принимать во внимание объемные моменты, то невозможно представить себе эксперимент, при котором можно было бы отделить от , или в более общем случае .

Поэтому, чтобы избежать появления произвольных постоянных, считают равными две компоненты:

Вместе с тем, если бы было приложено одноосное растягивающее напряжение параллельно Ох₃ (), то компоненты деформации задавались бы в виде:

;

и т.д.,

и .

Но из определения тензора деформации мы видели , поэтому и в общем виде

Благодаря этому соотношению только 36 из 81 компонент являются независимыми.

образуют тензор четвертого ранга

Докажем это.

Мы имеем:

;

Эти три уравнения связаны следующим образом:

;

поэтому, сравнивая коэффициенты, находим

Заменяя индексы суммирования, получим

а это есть закон преобразования тензора четвертого ранга.

Это уравнение соответствует 3⁴ уравнениям с 3⁴ членами с краевой стороны.

Благодаря симметричности и по первым двум и по последним двум индексам, мы можем использовать матричные обозначения

В два первых индекса объединяют в один, и два последних объединяют в один и вводят множители 2 и 4 следующим образом:

Тогда выражение

будет записано в матричном обозначении

или

; .

Множители 2 и 4 вводятся в определение потому, что таким путем удается избежать появления этих множителей в уравнении и его можно записать в компактной форме. Таблицы для образуют матрицы. Для множители 2 и 4 вводить не нужно,

; ,

это можно показать, но не будем здесь это рассматривать.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Явление дифракции в кристаллических структурах

На сайте allrefs.net читайте: "Явление дифракции в кристаллических структурах"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Упругость. Тензоры четвертого ранга

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Уравнение Вульфа–Брэггов
Это уравнение выведено в 1913 г. английскими учеными Вильямом Генри Брэггом (отцом) и Вильямом Лоренцом Брэггом (сыном) и независимо профессором Московского университета Юрием Викторовичем Вульфом

Порядок отражения
Рассмотрим плоскость (hkl). Эта плоскость от координатных осей отсекает отрезки . Межплоскостное расстояние для параллель

Сфера Эвальда
Рассмотрим два атома в цепочке атомного ряда А и В (рис. 54). Рис. 5

Рассеяние на атоме
При рассеянии падающей волны на электроне выражение для интенсивности может быть записано следующим образом: ,

Законы погасания для различных типов структур
Условия, при которых структурный фактор обращается в ноль, носят название законов погасания. Для каждого типа решеток существует свой закон погасания. Но если быть точным, то, как правило, у

Реальная интенсивность
Теоретически рассчитанные значения интенсивности рассеянного излучения всегда оказываются больше реального значения. Это обусловлено тем, что расчеты проводятся в рамках кинематической теории рассе

Реальные кристаллы. Дефекты в кристаллах
В идеальном кристалле при термодинамическом равновесии расположение материальных частиц характеризуется трехмерной периодичностью. Геометрической схемой периодичности является пространственная реше

Центры окраски
Центрами окраски называются комплексы точечных дефектов, обладающие собственной частотой поглощения света и соответственно изменяющие окраску кристалла. Введение центра окраски в кристалли

Радиационные дефекты
Рассмотрим дефекты, возникающие в кристалле под действием ионизирующего облучения или частиц высоких энергий, так называемые радиационные дефекты. Действие радиации на кристалл созд

Линейные дефекты
Представление о дислокациях или одномерных линейных дефектах привело к более полному пониманию физического поведения кристаллов и их свойств и обеспечило разработку основных принципов для получения

Вектор Бюргерса
Для описания дислокаций в реальных кристаллах введено понятие о контуре Бюргерса, а реальный кристалл, содержащий дислокацию, сравнивается с гипотетическим совершенным кристаллом. Вектор Бюргерс

Плотность дислокаций
Плотность дислокаций – это число линий дислокаций, пересекающих единичную площадку в кристалле, ее размерность в СИ – это м -2 (обычно измеряется в см -2). Плотность ди

Краевые и винтовые дислокации
Дислокация, или граница, определяющая область кристалла, в которой произошло скольжение, от области, в которой скольжение еще не произошло, в общем случае не является прямой линией и не ограничена

Источник Франка–Рида
В результате движения краевой дислокации вдоль ее плоскости скольжения две соседние части кристалла смещаются друг относительно друга на одно межатомное расстояние. В процесс пластической деформаци

Методы наблюдения дислокаций
Большинство методов экспериментального наблюдения дислокаций основано на регистрации искажений в решетке, обусловленных дислокацией. Простейший метод обнаружения дислокаций – метод избират

Тензорное исчисление
Физические свойства кристаллов описываются соотношениями между измеряемыми величинами. Если свойство определяется соотношением между величинами, каждая из которых характеризуется как величиной, так

Влияние симметрии кристаллов на их свойства
Ключ к этому вопросу – принцип Наймана. Физическое свойство кристалла – это соотношение между определенными измеряемыми величинами, характеризующими кристалл. Например, упругость – есть некоторое с

Тензоры третьего ранга
У некоторых кристаллов при приложении к ним механического напряжения возникает электрический момент, величина которого пропорциональна приложенному напряжению. Это явление называется пьезоэлектр

Уменьшение числа независимых модулей
В общем случае тензор третьего ранга имеет 33 независимых компонент. Если выписать полностью все его компоненты, то они образуют не квадратную таблицу, а куб. Первый индекс озна

Тензор напряжений
Если тело находится под действием внешних сил или если любая часть тела действует с некоторой силой на соседние части, то тело находится в напряженном состоянии.

Одномерная деформация
Рассмотрим струну. Зафиксируем начало координат О. Растянем струну. После растяжения произвольная точка перейдет в

Двумерная деформация
Рассмотрим деформацию растяжимой плоской пластинки (рис. 70). Выберем начало координат. Будем ограничиваться рассмотрением малых смещений. Пусть точка Р с координатами (х1, х

Трехмерная деформация
Определение деформации трехмерного тела вводится аналогично предыдущим рассмотрениям. (i, j = 1, 2, 3),

Влияние симметрии
Вследствие симметрии кристалла число независимых Sij и Cij уменьшается еще больше. Упругость является центросимметричным свойством. Это означает, что если оси координат преобр

Взаимная связь физических свойств кристаллов
Когда рассматривается какое-либо физическое свойство, обычно учитывается связь его с остальными свойствами кристалла. В действительности все свойства кристалла взаимосвязаны, и под влиянием внешних