Методичні вказівки

На практиці дуже часто виникають задачі наступного змісту. Спостерігається деяке випадкове явище або процес. Необхідно за результатами відповідних спостережень або вимірювань, шляхом їхньої обробки, зробити певні висновки про випадкове явище або процес або оцінити їхні імовірнісні параметри. Методи вирішення такого роду задач розглядаються в математичній статистиці. У цій темі розглядаються методи оцінки імовірнісних характеристик за результатами спостережень реалізацій випадкових сигналів. При цьому слід звернути увагу на методи оцінки таких характеристик, як функція або щільність розподілу. Особливу увагу варто приділити вивченню методів визначення цих характеристик для ергодичних процесів. Це обумовлене тим, що такого типу моделі випадкових сигналів найбільш часто використовуються на практиці. Необхідно знати методи і формули, що дозволяють знаходити оцінки математичного сподівання, дисперсії, кореляційної функції, спектральної щільності.

Нехай - випадкова величина, яку треба дослідити з відомим нам типом функції розподілу , де - деякий невідомий параметр, і нехай - вибірка обсягом , тобто послідовність резуль-татів спостережень над випадковою величиною , розподіл якої залежить від невідомого параметра .

Тоді точковою оцінкою невідомого параметра називають однозначно визначену функцію результатів спостережень над випадковою величиною .

У зв’язку з тим, що оцінка , є функцією випадкових змінних , то вона сама є випадковою величиною і називається вибірковою.

Прийнятні для практики оцінки повинні задовольняти наступним умовам:

- незміщеності, тобто математичне сподівання оцінки повинне співпа­дати з оцінюваним параметром;

- слушності, тобто якщо при як завгодно малій величині справедливе наступне співвідношення:

або, іншими словами, якщо оцінка сходиться за імовірністю до . Достатньою умовою слушності незміщеної оцінки є прямування її дисперсії до нуля при

- ефективності, тобто при фіксованому обсязі вибірки оцінка
повинна мати скінчену найменшу дисперсію серед всіх інших можливих незміщених оцінок даного параметра.

- достатності. Оцінка називається достатньою оцінкою параметра , якщо умовна щільність не залежить від . Звідси випливає, що достатня оцінка (статистика) містить всю інформацію про невідомий параметр , яку можна отримати при спостереженні вибір­ки .

Для багатьох практичних задач статистичної радіотехніки досить знайти незміщені оцінки параметрів розподілу випадкової величини , такі як математичне сподівання і дисперсія .

В якості таких приймають: для математичного сподівання:

для дисперсії

Ці оцінки є незміщеними.

Для двох випадкових величин і за двовимірною вибіркою , можна визначити оцінку коефіцієнта кореляції, а саме:

,

де і - оцінки математичного очікування випадкових величин і відповідно.

Наведені вище оцінки називаються точковими. Більш надійним і важливим для практики є так зване інтервальне оцінювання. При цьому для оцінюваного параметра знаходиться довірчий інтервал , відносно якого можна з заздалегідь визначеною імовірністю стверджувати, що він містить невідоме нам значення параметра .

При інтервальному оцінюванні вважають, що параметр є невипадковим, а і - границі довірчого інтервалу суть випадкові величини. Це обумовлене тим, що вони, як і при точковому оцінюванні, є функціями результатів спостережень . Імовірністьназивають довірчим коефіцієнтом, його приймають близьким до 1.

Для ергодичних випадкових процесів задача оцінки невідомих параметрів вирішується шляхом відповідного усереднення реалізації процесу у часі за досить великий інтервал спостереження . Наприклад, для оцінки математичного сподівання маємо:

де символом < > позначається усереднення реалізації у часі; - реалізація досліджуваного процесу; - інтервал спостереження за реалізацією.

При оцінка середнього ергодичного процесу співпадає з його математичним сподіванням, тобто:

Аналогічно можуть бути знайдені оцінки і для інших параметрів ергодичного випадкового процесу. Так, при відомому математичному сподіванні процесу, оцінка його дисперсії може бути знайдена за формулою:

Для оцінки автокореляційної функції ергодичного процесу маємо:

У двох останніх формулах, якщо математичне сподівання невідоме, то замість його значення використовується значення його оцінки У

тому випадку, коли відомі дискретні відліки

реалізації випадкового процесу, де - інтервал дискретизації, то формули для знаходження оцінок математичного сподівання і кореляційної функції набувають вигляду:

- оцінка математичного очікування:

;

- оцінка кореляційної функції:

,

де і .

З метою закріплення знань з даної теми, студентам потрібно ознайомитися з лабораторною роботою 23 [13, с. 146 - 155] і, по можливості, виконати її. Потрібно також виконати завдання 3 курсової роботи.