Методичні вказівки

Одним з основних понять теорії імовірностей є поняття експерименту. При цьому варто чітко усвідомити, що тут розглядаються ідеалізовані експерименти, тобто кожен експеримент являє собою деякий набір умов У, який допускає його повторення необмежену кількість разів. Усяке здійснення експерименту, тобто комплексу умов У, називається випробуванням, а всякий його наслідок, тобто явище, що відбувається при здійсненні комплексу умов У, який позначається через , називається елементарною подією. Сукупність всіх елементарних наслідків позначають буквою і іменують простором наслідків або простором елементарних подій. Множина може містити скінчену кількість елементарних наслідків або бути нескінченою (злічена множина або континуум). Виділення простору елементарних подій є першим кроком при побудові моделі експерименту.

Зазвичай в експерименті має значення не сам елементарний наслідок, а його належність до деякої підмножини усіх наслідків, об'єднаних деякою фізичною або математичною спільністю (типу білий, чорний або парний, непарний і т.д.). Усі ті підмножини А, що належать (коротко ), для яких за умовою експерименту можна сказати "наслідок " або "наслідки ", будемо називати подіями і позначати латинськими прописними буквами . Наприклад, якщо експеримент полягає в одноразовому підкиданні грального кубика із шістьма гранями, то , де - елементарна подія, яка полягає в тому, що при підкиданні грального кубика випала верхня грань з очками. Однією з можливих подій у цьому випадку може бути, наприклад, подія , яка полягає в тому, що при підкиданні грального кубика випала парна кількість очок.

Варто звернути увагу на класифікацію подій і дій над ними. Наприклад, якщо розглядати фіксований експеримент, то подія, що при випробуванні може відбутися, а може і не відбутися, називається випадковою. Подія, що неминуче відбувається з кожним випробуванням, називається достовірною (позначається ). Подія, що не може відбутися ні при жодному випробуванні, називається неможливою (позначається Ø).

Сумою (об'єднанням) подій і називається подія , що полягає в настанні хоча б однієї з подій або :

:або

(читається: множина тих , які належать або А, або В).

Зазвичай пишуть С = А + В, якщо А і В не мають спільних елементів. На мові теорії імовірностей - подія, яка полягає в тому, що відбулася подія А чи подія В, або А і В.

Подія D називається добутком (перерізом) подій А і В, якщо вона полягає в настанні події А, і події В одночасно:

:і .

 

Різницею подій А і В називається подія Е, яка полягає в тому, що подія А відбувається, а подія В не відбувається (тоді А і В – зв’язані події):

або Е = А – В.

Дві події називаються несумісними, якщо їх сумісна поява неможлива, тобто:

Ø.

Дві події А і Ā називаються протилежними, якщо для них одночасно

А+ = і А= Ø,

де – множина елементарних подій, що не входять в А.

Події утворюють повну групу несумісних подій (розбиття , при цьому D_k не обов’язково збігається з – елементарною подією, але завжди складається тільки з них), якщо у випробуванні повинна відбутися хоча б одна з них (тобто) і усі події попарно несумісні і серед них немає неможливої (тобто D_k ≠ Ø, k = D_k D_j = Ø при kj).

Дії над подіями зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера-Венна (див. рис. 1). На рисунку просторові елементарних подій Ω відповідають всі точки прямокутника, елементарній події відповідає точка прямокутника. Подія А – „обрана точка лежить всередині кола”, подія В – „обрана точка лежить усередині трикутника”. Тоді події А, , В, АВ, А – В, АВ полягають в попаданні обраної навмання точки в межах прямокутника всередину областей, заштрихованих на відповідних фігурах рис. 1.

Таким чином, з кожним експериментом можна зв'язати ряд подій. При багаторазовому проведенні випробувань деякі події будуть відбуватися частіше, інші - рідше. У зв'язку з цим вводиться імовірність події - об'єктивна властивість події, що виражається числом, яке характеризує можливість появи події в експерименті (міра події).

Нехай у результаті здійснення деякого експерименту N разів подія А виникла m разів (mN). Частоту настання події А в серії з N випробувань можна оцінити за формулою:

.

Рис.1. Діаграми Ейлера-Венна

 

Очевидно, що 0 ≤ ν_N (A) ≤ 1. Слід зазначити, що при повторенні серій із N випробувань ми будемо отримувати різні значення як чисел m, так і частот . Але у багатьох реальних випадках із збільшенням N частота події А стабілізується, практично мало відрізняючись від деякого числа р, яке і називається імовірністю події А в даному експерименті:

.

Це ми розглянули так зване статистичне означення імовірності. Існують і інші означення імовірності. Найбільш відомі з них: класичне й аксіоматичне означення.

Аксіоматичне означення імовірності, запропоноване А. Н. Колмого-ровим, полягає в наступному.

Експеримент характеризується простором елементарних подій Ω. Розглядається деяка система множин . Елементи системи називаються випадковими подіями.

Система має наступні властивості:

1. як елемент містить множину Ω.

2. Якщоі , то множини,, ,також є елементами .

Систему множин часто іменують алгеброю, якщо в ній скінчена кількість елементів, і σ-алгеброю, якщо ця кількість нескінченна. Найпростіші приклади алгебри: {Ω , Ø }; {A, , Ω , Ø }; сукупність усіх підмножин із Ω.

Імовірність вводиться за допомогою наступних аксіом.

Аксіома 1. Кожній випадковій події ставиться у відповідність невід’ємне число Р(А), що називається його імовірністю.

Аксіома 2. Достовірній події ставиться у відповідність число 1, тобто (нормування).

Аксіома 3. Якщо події попарно несумісні, тобто A_i ∩ A_j = Ø при j, i, j = , то для

(адитивність).

З цих аксіом випливають наступні властивості імовірності:

1.Імовірність неможливої події дорівнює нулеві, тобто Р(Ø) = 0. Однак обернене твердження невірне, тобто і з Р(А) = 0 не випливає, що А=Ø.

2. Для будь-якої події А

.

3. Якщо подія А спричиняє подію В, тобто , то Р(А) ≤ Р(В).

4. Для будь-якої події А 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

5. Для двох подій і

Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Таким чином, при введенні поняття імовірності необхідно вказувати не лише початкову множину елементарних подій Ω, але і множину випадкових подій і визначену на ній невід’ємну адитивну нормовану міру (функцію) Р.

Слід особливу увагу звернути на поняття умовної імовірності, оскільки воно відіграє значну роль у багатьох задачах статистичної радіотехніки. Розглянемо дві події і . Якщо розглядається імовірність події А за умови, що відбулася подія В, то така імовірність називається умовною і позначається символом Р(А|В). Визначається умовна імовірність співвідношенням:

, Р(В) > 0.

Аналогічно можна розглядати й умовну імовірність:

 

, Р(А) > 0.

Звідси випливає, що імовірність перетину двох подій А і В

P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).

Кажуть, що подія А незалежна від події В (відносно імовірності Р), якщо має місце рівність Р(А|В) = Р(А). Якщо А не залежить від В , то й В не залежить від А , тобто Р(В|А) = Р(В) . Очевидно, що в цьому випадку

Р(А∩В) = Р(А)Р(В).

Останнє співвідношення часто використовують у літературі як означення стохастичної незалежності подій.

Питання для самоперевірки

1. Яка подія називається елементарною?

2. Яка подія називається випадковою?

3. Дайте означення достовірної і неможливої подій і наве­діть приклад.

4. Дайте означення об'єднання подій.

5. Яка подія називається перерізом подій?

6. Які події називаються несумісними?

7. Які події складають повну групу подій?

8. Коли можлива рівність А ∩ В = А ?

9. Коли можлива рівність АВ = А?

10. Наведіть приклади просторів елементарних подій.
11. Що характеризує імовірність події?

12. Дайте означення алгебри підмножин Ω.

13. Сформулюйте аксіоми імовірності.

14. Чому дорівнює імовірність неможливої події?

15. Запишіть формулу для обчислення імовірності об'єднання подій А,

В.

16. Дайте означення умовної імовірності.

17. Як обчислити імовірність добутку двох подій А, В?

18. Дайте означення незалежності двох подій.

19. Дайте означення незалежності у сукупності n подій (n > 2).

20. Запишіть формулу повної імовірності.

21. Запишіть формулу Байєса.