ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ»

_______________________________________________________________

Голоскоков Д.П., Караваев В.И.

Методические указания

Варианты курсовой работы

По дисциплине

«ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ»

Санкт-Петербург

УДК 517

ББК 22.3

Рецензент: д.т.н., профессор Сухотерин М.В.

Голоскоков Д.П.

Методические указания и варианты курсовой работы по дисциплине «Вариационные методы в математической физике». – СПб: СПГУВК, 2012. – 80 с.

Методические указания содержат краткие теоретические сведения, варианты заданий для курсовой работы по дисциплине "Вариационные методы в математической физике" и примеры решения задач.

Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 010400.62 – "Прикладная математика и информатика".

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций

УДК 517

ББК 22.3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общие указания. 4

Краткие теоретические сведения из вариационного исчисления. 5

Простейшая вариационная задача. 5

Решение вариационной задачи, функционал которой представляется кратным интегралом 7

Прямые методы вариационного исчисления. 8

Конечно-разностный метод Эйлера. 8

Метод Ритца. 9

Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа. 10

Метод Бубнова–Галеркина. 13

О координатных функциях. 13

Варианты заданий для курсовой работы.. 15

Примеры решения задач. 45

Рекомендуемая литература. 54

Общие указания

Для выполнения работы необходимо использовать какие-либо программы символьных вычислений (рекомендуется Maple). В этом случае в отчет можно включить… 1. Учебная цель и задача работы. Целью работы является закрепление на практике… 2. Методика самостоятельной работы над заданием. Студент изучает материалы лекций и указания к лабораторным работам,…

Краткие теоретические сведения из вариационного исчисления

Простейшая вариационная задача

В курсе вариационного исчисления рассматриваются задачи исследования на экстремум функционалов. Функционалом называется правило, по которому каждой функции из некоторого их класса ставится в соответствие число. Рассмотрим функционал, зависящий от функции одной переменной и её производной:

(1)

с заданными граничными условиями:

(2)

где F(x,y,y¢) — непрерывная функция трёх переменных и дифференцируемая функция двух своих последних аргументов.

Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации, вычисленной на экстремальной функции y₀(x):

. (3)

Вариация функционала dJ — это главная, линейная относительно вариации функции dy, часть его приращения DJ. В нашем случае dJ(y) вызывается вариацией независимой переменной — функции y(x) и её производной y¢(x): y(x) = y₀(x)+dy(x); y¢(x) = y¢₀(x)+dy¢(x); причём в силу граничных условий на концах интервала dy(x₁) = dy(x₂) = 0.

Вычислим вариацию функционала как линейную часть его приращения. Для этого разложим F(x,y₀+dy₀,y¢₀+dy¢) в ряд Тейлора в окрестности экстремальной функции с удержанием только линейных членов, а затем проинтегрируем по частям:

(4)

Так как вариация функции dy(x) — произвольная, то в силу основной леммы вариационного исчисления первый сомножитель под интегралом должен равняться нулю. Таким образом, функция, на которой достигается экстремум, должна удовлетворять дифференциальному уравнению

. (5)

Уравнение (5) называется дифференциальным уравнением Эйлера. Оно является в общем случае уравнением второго порядка и дополняется двумя граничными условиями (2). Любое его решение называется экстремалью. Это кривая, на которой может достигаться экстремум.

Так как уравнение Эйлера дополняется не начальными, а граничными условиями, то теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения здесь неприменима. Иными словами, экстремаль не обязательно существует, а если существует, то не обязательно единственна. Всё зависит от вида уравнения Эйлера (5) и разрешимости системы уравнений для граничных условий (2).

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения Эйлера (5).

1. Подынтегральная функция F не зависит от производной y¢ или зависит от неё линейно. В этом случае уравнение Эйлера становится алгебраическим, в его решении нет произвольных постоянных, и оно не обязательно удовлетворяет условиям (2). Если граничные условия (2) удовлетворяются, то мы получили экстремаль, а если нет – то нет и решений у данной вариационной задачи.

2. Частный случай для случая 1: F = P(x,y)+y¢Q(x,y), причём ¶P/¶y = ¶Q/¶x. В этом случае уравнение (5) обращается в тождество 0 = 0, и экстремалью будет любая кривая, соединяющая точки M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂). Криволинейный интеграл (1) в этом случае не зависит от линии интегрирования, и вариационная задача теряет смысл.

3. Подынтегральная функция F не зависит явно от y. Уравнение Эйлера имеет первый интеграл F_y_¢ = C₁. Это уравнение первого порядка, и оно решается легче, чем исходное уравнение второго порядка.

4. Если подынтегральная функция F не зависит явно от x, то уравнение Эйлера также имеет первый интеграл вида F-y¢F_y_¢ = C₁. Действительно, уравнение Эйлера (5) можно записать в виде F_y - F_xy_¢ - F_yy_¢y¢ - F_y_¢_y_¢y¢¢ = 0. Из-за явной независимости от x это выражение имеет вид F_y - F_yy_¢y¢ - F_y_¢_y_¢y¢¢ = 0. Но такой же вид имеет и полная производная по x от выражения F - y¢F_y_¢ = C₁: d(F-y¢F_y_¢)/dx = = F_yy¢ + F_y_¢y¢¢ - y¢¢F_y_¢ - y¢(F_yy_¢y¢+F_yy_¢y¢¢) = F_yy¢ - F_yy_¢y¢² - F_yy_¢y¢y¢¢ = 0, что после сокращения на y¢ совпадает с уравнением Эйлера.

Чтобы проверить, действительно ли достигается экстремум на найденной экстремали, нужно воспользоваться достаточными условиями экстремума. Простейшее из них — это условие Лежандра. Для его применения нужно вычислить F_y_¢_y_¢ и проверить знак этого выражения на кривых, близких к экстремали. Если F_y_¢_y_¢ > 0 для всех y(x), близких к экстремали, и для любых y¢(x), то на данной экстремали достигается сильный минимум. Если же неравенство F_y_¢_y_¢ > 0 выполняется для всех y(x), близких к экстремали, но только для y¢(x), близких к экстремали, то достигается слабый минимум. При F_y_¢_y_¢ < 0 достигается максимум (соответственно сильный или слабый).

Решение вариационной задачи, функционал которой представляется кратным интегралом

. Здесь . Вариационная задача:

Прямые методы вариационного исчисления

Конечно-разностный метод Эйлера

(8) с заданными граничными условиями: (9)

Метод Ритца

Решение уравнения , (6) где А — положительный оператор, сводится к нахождению минимума функционала

Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа

Первая краевая задача или задача Дирихле для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона , (14) и краевому условию

Метод Бубнова–Галеркина

Пусть неизвестная функция u(P) удовлетворяет в некоторой области Ω неоднородному уравнению (28) и, может быть, некоторым однородным граничным условиям.

О координатных функциях

Система функций (x – a)m(b – x)mxk полна по энергии оператора при краевых условиях u(k)(a) = u(k)(b) = 0, k = 0,1,2,…,(m – 1).

Варианты заданий для курсовой работы

Вариант № 1.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Уравнение

описывает отклонение балки, покоящейся на упругом основании жесткостью k. Здесь EJ — постоянная жесткость балки на изгиб, а q — поперечная нагрузка на единицу ее длины.

1. Привести вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании [9].

2. Пусть балка имеет единичную длину и свободно оперта на концах. Краевые условия, соответствующие свободно опертой балке, имеют вид при x = 0 и x = 1. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца, найти отклонение балки, если .

3. Построить точное решение задачи и сравнить его с полученными приближенными решениями.

Вариант № 2.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Задача 2.

Уравнение

1. Привести вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании [9].

2. Пусть балка имеет единичную длину и защемлена в обоих концах так, что при x = 0 и x = 1. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Бубнова-Галеркина. Используя метод Бубнова-Галеркина, найти отклонение балки, если .

3. Построить точное решение задачи и сравнить его с полученными приближенными решениями.

Вариант № 3.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца, найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике , если на границе этого прямоугольника функция принимает следующие значения

Построить точное решение задачи. Исследовать сходимость приближенного решения и сравнить его с точным решением

Построить графики решений. В численных расчетах принять A = 1, B = 1, a = b = 1.

Вариант № 4.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

В некоторой двумерной задаче стационарной теплопроводности для квадрата со стороной длины 2 температура на сторонах x = ± 1 изменяется как 1 – y², а на сторонах y = ± 1 – как 1 – x².

1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности [1].

2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца и аппроксимацию, удовлетворяющую граничным условиям, найти распределение температуры на квадрате.

3. Построить графики приближенных решений.

Вариант № 5.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Решить задачу стационарной теплопроводности в материале, занимающем квадрат |x| £ 1, |y| £ 1, если на сторонах y = ± 1 поддерживается температура 100⁰С, тогда как на сторонах x = ± 1 задано условие .

1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности [1].

2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Методом Ритца найти распределение температуры на квадрате, используя аппроксимацию, удовлетворяющую краевым условиям только на сторонах y = ± 1. Показать сходимость аппроксимации к краевому условию на сторонах x = ± 1.

3. Построить графики приближенных решений.

Вариант № 6.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

1. Привести вывод уравнения и граничных условий для задачи кручения стержня [10].

2. Построить точное решение задачи о кручении стержня прямоугольного сечения: .

3. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца.

4. Решить методом Ритца задачу о кручении стержня прямоугольного сечения: . В качестве координатных функций взять полиномы.

5. Исследовать сходимость полученного приближенного решения и сравнить его с точным решением.

6. Вычислить крутящий момент .

7. Исследовать решение в зависимости от отношения сторон прямоугольника. Рассмотреть случай очень узкого прямоугольника.

Вариант № 7.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.

Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение задачи Дирихле в квадрате 0 £ x £ l, 0 £ y £ l

при краевых условиях .

Построить графики решений, приняв .

Вариант № 8.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Подробно описать методику решения задачи методом Бубнова-Галеркина.

Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение задачи Дирихле в прямоугольнике 0 £ x £ a, 0 £ y £ b

при краевых условиях

Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики приближенных решений.

Найти точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Вариант № 9.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.

Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения Лапласа в квадрате 0 < x < 1, 0 < y < 1, если на границе этого квадрата решение принимает следующие значения

Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики приближенных решений.

Найти точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Вариант № 10.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.

Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Пуассона в квадрате 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1

при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.

Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Вариант № 11.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.

Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Пуассона в квадрате 0 £ x £ 5, 0 £ y £ 5

при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.

Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Вариант № 12.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.

Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2

при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.

Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Вариант № 13.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.

Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 3, 0 £ y £ 3

при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.

Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Вариант № 14.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Подробно описать методику решения краевой задачи методом Ритца.

Используя вариационный метод Ритца, найти решение задачи Дирихле в прямоугольнике 0 £ x £ 3, 0 £ y £ 5

при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.

Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Вариант № 15.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Привести вывод уравнения и граничных условий для задачи кручения стержня [10].

Подробно описать методику решения краевой задачи методом Ритца.

Используя вариационный метод Ритца, решить задачу о кручении стержня прямоугольного сечения

В качестве координатных функций взять полиномы.

Исследовать сходимость полученного приближенного решения и сравнить его с точным решением (предварительно построив точное решение задачи). Построить графики.

Вычислить интеграл

Вариант № 16.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Найти приближенное решение методом Ритца.

Задача 2.

Дать вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании; сформулировать основные типы граничных условий [9].

Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.

Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения

на отрезке при граничных условиях на концах отрезка.

Построить точное решение и сравнить его с приближенным. Построить графики.

Вариант № 17.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала

Исследовать сходимость. Построить графики.

Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 18.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 19.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 20.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

3. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Задача 2.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 21.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 22.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 23.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 24.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 25.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 26.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 27.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 28.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Решить задачу стационарной теплопроводности в материале, занимающем квадрат |x| £ 1, |y| £ 1, если на сторонах y = ± 1 поддерживается температура 1000⁰С, тогда как на сторонах x = ± 1 задано условие .

1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности [1].

2. Подробно описать методику решения задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти распределение температуры на квадрате, используя аппроксимацию, удовлетворяющую краевым условиям только на сторонах y = ± 1. Показать сходимость аппроксимации к краевому условию на сторонах x = ± 1.

3. Построить графики приближенных решений.

4. Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Вариант № 29.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Дать подробное описание метода Бубнова-Галеркина. Пользуясь этим методом, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2

при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.

Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Вариант № 30.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.

Задача 2.

Дать подробное описание вариационного метода Ритца. Пользуясь этим методом, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2

при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.

Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Примеры решения задач

Пример 1. Метод Ритца для одномерного интеграла.

Пользуясь методом Ритца, найти экстремали функционала

Решение. Будем решать задачу в среде Maple. Определяем подынтегральную функцию:

>restart;

>F:=(x,y,y1)->x^2+y^2+y1^2;

Составим уравнение Эйлера для данного функционала. Для этого вычислим частные производные от F по y и y1 и полную производную по x от частной производной F по y1 (переменная y1 означает первую производную, а переменная y2 – вторую производную)

>dFdy:=diff(F(x,y,y1),y);dFdy1:=diff(F(x,y,y1),y1);

>d_dFdy1_dx:=diff(dFdy1,x);d_dFdy1_dy:=diff(dFdy1,y);

>d_Fdy1_dy1:=diff(dFdy1,y1);

Составим теперь уравнение Эйлера

>eq:=dFdy-d_dFdy1_dx-d_dFdy1_dy*y1-d_Fdy1_dy1*y2=0;

>eq:=simplify(lhs(eq)/2)=0;

>eq:=subs(y=y(x),y2=diff(y(x),x$2),lhs(eq))=0;

Решим полученное уравнение с заданными граничными условиями

>res:=dsolve({eq,y(-1)=1,y(1)=2},y(x));

>assign(res):y:=evalf(y(x));

Построим график точного решения

>py:=plot(y,x=-1..1,legend=`Точное решение`,

color=black):

>plots[display]({py});

Решим теперь эту задачу с помощью пакета VariationalCalculus:

>with(VariationalCalculus);

Определяем подынтегральную функцию:

>y:='y':f:=x^2+y(x)^2+diff(y(x),x)^2;

>EulerLagrange(f, x, y(x));

Решим уравнение Эйлера с заданными граничными условиями

>res1:=dsolve({op(%)=0,y(-)=1,y(1)=2},y(x));

assign(res1):y:=evalf(y(x));

То есть, как и следовало ожидать, получили тот же результат!

Решаем теперь нашу задачу методом Ритца. Выбираем базисные функции и определяем аппроксимирующую функцию. Рассмотрим два варианта — аппроксимация полиномами и аппроксимация тригонометрическими функциями:

>phi0:=x->y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1);

>phi:=(x,n)->sin(n*Pi*(x-x1)/(x2-x1));

>Us:=proc(x,N)option operator,arrow; local n;

phi0(x)+sum(a[n]*phi(x,n),'n'=1..N);

end proc;

>Up:=proc(x,N)option operator,arrow; local n;

phi0(x)+(x-x1)*(x-x2)*sum(a[n]*x^n,'n'=0..N);

end proc;

С целью автоматизации расчетов разработаем процедуру, формирующую и решающую систему уравнений метода Ритца, например, такую

>Ritz:=proc(F,u,i0,N,a)

local Fu,eqns,var,eq,i,res;global x1,x2;

Fu:=simplify(int(subs(y(x)=u,F),x=x1..x2)):

eqns:={}:var:={}:

For i from i0 to N do

eq[i]:=diff(Fu,a[i])=0: eqns:=eqns union {eq[i]}: od:

Пример 2. Конечно-разностный метод Эйлера.

Найти приближенное решение задачи о минимуме функционала

Решение. Будем решать задачу в среде Maple. Аппроксимация подынтегральной функции конечными разностями:

> restart; interface(displayprecision = 5):

> F:=proc(Y,m,h)

(Y[m+1]-Y[m])^2/h^2+Y[m]^2+2*X[m]*Y[m]

end proc;

Интеграл заменяем суммой по формуле прямоугольников

> S1:=proc(h,F,N) options operator, arrow;

h*(sum(F(Y,i,h),i = 0 .. N-1))

end proc;

Задаем пределы интегрирования:

> a := 0; b := 1;

Выбираем число узловых точек и определяем шаг интегрирования:

> N:=10: h:=(b-a)/N;

Вычисляем абсциссы вершин ломаной

> for j from 0 to N do X[j] := a+j*h end do:

Функционал как функция ординат вершин ломаной:

> Phi:=S1(h,F,N);

Учет граничных условий:

> Y[0]:=0; Y[N]:=0; Phi;

Составляем минимизирующую систему уравнений:

Gt; for k to N-1 do

Eq[k]:=evalf(diff(Phi,Y[k]))=0

end do:

var := {}: eqns := {}:

For k to N-1 do

eqns := `union`(eqns, {eq[k]}): end do: nops(var); nops(eqns);

Пример 3. Метод Ритца для двойного интеграла.

Используя метод Ритца, найти экстремали функционала

Исследовать сходимость. Построить графики.

Решение. Будем решать задачу в среде Maple. Выбираем базисные функции и определяем аппроксимирующую функцию:

>restart;

>phi0:=(x,y)->x/10+y^2/50;

>phi:=(x,y,i,j)->

sin(i*Pi*(x-x1)/(x2-x1))*sin(j*Pi*(y-y1)/(y2-y1));

>U:=proc(x,y,M,N)option operator,arrow;

local n,m;

phi0(x,y)+

sum(sum(a[m,n]*phi(x,y,m,n),'m'=1..M),'n'=1..N);

end proc;

Здесь также удобно разработать процедуру для автоматического составления и решения уравнений метода Ритца. Например, такую

>Ritz:=proc(F,M,N,a)local Fu,eqns,var,eq,i,j,res;

Fu:=simplify(int(int(F,x=0..1),y=0..2));

eqns:={}:var:={}:

For i from 1 to M do

For j from 1 to N do

eq[i,j]:=diff(Fu,a[i,j])=0: eqns:=eqns union {eq[i,j]}: od:

Пример 4. Уравнение Эйлера для двойного интеграла.

Решить вариационную задачу для функционала, если на контуре области функция принимает заданные значения:

Решение. Будем решать задачу в среде Maple. Определим подынтегральную функцию. Для удобства обозначим производные функции по и по соответственно, через и :

>F:=proc(x,y,u,ux,uy) options operator, arrow;

ux^2+uy^2+2*y*u*cos(x)

end proc;

Уравнение Эйлера в этих обозначениях имеет вид:

Вычисляем последовательно производные в этом уравнении

> a1:=diff(F(x,y,u,ux,uy),u);

a2:=diff(F(x,y,u,ux,uy),ux);

a3:=diff(F(x,y,u,ux,uy),uy);

Составляем уравнение Эйлера для функционала

> EulerEq:=a1-(diff(subs(ux=diff(u(x,y),x),a2),x))-

(diff(subs(uy=diff(u(x,y),y),a3),y))=0;

Таким образом, получили следующее уравнение

> pde:=-(1/2)*op(2,lhs(EulerEq))-

(1/2)*op(3,lhs(EulerEq))=(1/2)*op(1,lhs(EulerEq));

Сформируем теперь граничные условия. Для этого определим граничную функцию

> f:=proc(x,y) options operator, arrow;

(1/10)*x+(1/50)*y^2

end proc;

Определяем граничные условия:

> bc:=u(0,y)=f(0,y),u(1,y)=f(1,y),

u(x,0)=f(x,0),u(x,2)=f(x,2);

Таким образом, задача математической физики поставлена: найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

в прямоугольнике , и принимающую заданные значения на границе этого прямоугольника

Сформулированная задача классифицируется как задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике [1]. Это — неоднородная задача, причем неоднородности присутствуют как в граничных условиях, так и в уравнении.

Чтобы построить решение задачи разобьем ее на две вспомогательные задачи. А именно, будем искать решение задачи в виде суммы двух функций: . Функции и определим как решения следующих задач.

Задача 1: найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

и граничным условиям

Задача 2: найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

и граничным условиям

Определим эти задачи в Maple.

Задача 1:

> pde1:=diff(u1(x,y),x,x)+diff(u1(x,y),y,y)=

(1/2)*y*cos(x);

bc1:=u1(0,y)=0,u1(1,y)=0,

u1(x,0)=f(x,0),u1(x,2)=f(x,2);

Задача 2:

> pde2:=diff(u2(x,y),x,x)+diff(u2(x,y),y,y)=

(1/2)*y*cos(x);

bc2:=u2(0,y)=f(0,y),u2(1,y)=f(1,y),

u2(x,0)=0,u2(x,2)=0;

Очевидно, решение исходной задачи будет

> u:=proc(x,y) options operator, arrow;

u1(x, y)+u2(x, y)

end proc;

Проверим это. Подставим функцию в уравнение

> simplify(pde, {pde1, pde2});

Как видим, получили тождество. Проверим выполнение граничных условий

> bc;

Таким образом, условия на функцию тоже выполняются.

Рассмотрим задачу 1. Будем решать ее методом Гринберга [1]. Соответствующая задача Штурма-Лиувилля

очевидно, имеет решение[1]

> X:=proc(x,n) options operator, arrow;

sin(n*Pi*x)

end proc;

lambda:=proc(n) options operator, arrow;

n^2*Pi^2

end proc;

Действительно, подставим это решение в уравнение

> Diff(X(x,n),x,x)+lambda(n)*X(x,n) = 0;value(%);

Проверим выполнение граничных условий

>X(0,n)=0,X(1,n)=0;simplify(%,assume=integer);

Решение задачи 1, в соответствии с методом Гринберга, представим в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

Здесь учтено, что квадрат нормы собственных функций равен :

Действительно,

>int(X(x, n)^2, x = 0 .. 1);

simplify(%, assume = integer);

Уравнение для трансформанты получим, умножив исходное уравнение в частных производных на и проинтегрировав на отрезке :

>int(lhs(pde1)*X(x,n),x = 0 .. 1) =

int(rhs(pde1)*X(x,n),x = 0 .. 1);

>intPDE1 := simplify(%, assume = integer);

Преобразуем правую часть полученного уравнения

>LHS1:=IntegrationTools[Expand](lhs(intPDE1));

Первый интеграл берем по частям два раза:

>IntegrationTools[Parts](op(1, LHS1), sin(n*Pi*x));

I1 := simplify(%, assume = integer);

>IntegrationTools[Parts](I1, cos(n*Pi*x));

I1 := simplify(%, assume = integer);

Учтем граничные условия

>I1 := simplify(I1, {bc1});

Итак, первый интеграл с учетом преобразовался в выражение

> I1 := subs(op(4, I1) = U1(y, n), I1);

Второй интеграл в выражении LHS1 есть, очевидно,

> I2:=subs(op(2,LHS1)=diff(U1(y,n),y,y),op(2,LHS1));

Таким образом, уравнение для трансформанты получено:

> ode1 := I2+I1 = rhs(intPDE1);

Сформируем граничные условия

>int(lhs(bc1[3])*X(x,n),x = 0 .. 1) =

int(rhs(bc1[3])*X(x,n),x = 0 .. 1);

>bcODE1:=simplify({subs(lhs(%) = U1(0,n), %)},

assume = integer);

>int(lhs(bc1[4])*X(x,n),x = 0 .. 1) =

int(rhs(bc1[4])*X(x,n),x = 0 .. 1);

>simplify({subs(lhs(%) = U1(2,n), %)},

assume = integer);

>bcODE1 := `union`(bcODE1, %);

Находим трансформанту

> res := dsolve(ode1, U1(y, n));

Удобно записать общее решение ОДУ так

>V1:=proc(y) options operator, arrow;

C1*sinh(n*Pi*y)+C2*sinh(n*Pi*(2-y))+

(-1+cos(1)*(-1)^n)*y/(-2*n*Pi+2*n^3*Pi^3)

end proc;

Проверим

>subs(U1(y,n) = V1(y), ode1);

simplify(subs(U1(y,n) = V1(y), ode1));

Все в порядке!

Формируем систему уравнений по граничным условиям

>subs({U1(0,n) = V1(0), U1(2,n) = V1(2)}, bcODE1);

Решаем систему

>solve(%, {C1, C2}); assign(%):

Проверка:

>subs(U1(y,n) = V1(y), ode1): simplify(%);

Итак, трансформанта найдена:

>U1 := unapply(V1(y), y, n);

Решение задачи 1 дается следующим рядом

>u1:=proc(x,y) options operator, arrow;

2*(Sum(U1(y, n)*X(x, n), n = 1 .. infinity))

end proc;

> u1(x,y);

Проверим найденное решение. Подставим решение в уравнение; отдельно рассмотрим левую и правую части уравнения. Левая часть:

> LHSpde := combine(lhs(pde1)); RHSpde := rhs(pde1);

Упростим левую часть уравнения:

> op(1, LHSpde);

> numer(op(1, LHSpde));

> expand(%);

> factor(%);

Таким образом, левая часть ДУЧП имеет вид

>LHSpde:=Sum(-2*Pi*n*y*sin(n*Pi*x)*(-1+cos(1)*

(-1)^n)/(-2+2*n^2*Pi^2), n=1..infinity);

Правая часть уравнения:

> RHSpde := rhs(pde1);

Покажем, что левая часть уравнения совпадает с правой частью, т. е.

>1/2*y*cos(x)=Sum(-2*Pi*n*y*sin(n*Pi*x)*(-1+cos(1)*

(-1)^n)/(-2+2*n^2*Pi^2),n = 1 .. infinity);

Для этого разложим функцию в ряд по собственным функциям на отрезке . Коэффициенты разложения:

>2*int(1/2*y*cos(x)*sin(n*Pi*x), x = 0 .. 1);

simplify(%, assume = integer);

Таким образом, уравнение выполняется.

Проверим выполнение граничных условий.

Граничные условия по переменной :

> simplify(u1(0,y), assume = integer);

simplify(u1(1,y), assume = integer);

Граничные условия по переменной :

> u1(x,0);

Это — разложение граничной функции в ряд по функциям на отрезке . Действительно, коэффициенты разложения

> 2*int(f(x,0)*sin(n*Pi*x), x = 0 .. 1);

simplify(%, assume = integer);

Далее,

> u1(x,2);

Это — разложение граничной функции в ряд по функциям на отрезке . Действительно, преобразуем общий член ряда

> q:=op(2, u1(x,2));

> q:=op(1,q);

> op(1,q);

> q:=%:combine(q);

Таким образом, мы имеем ряд

> 'u1(x,2)'=2*Sum(%*sin(n*Pi*x),n=1..infinity);

Коэффициенты разложения граничной функции в ряд по функциям на отрезке :

>2*int(f(x,2)*sin(n*Pi*x), x = 0 .. 1);

simplify(%, assume = integer);

что и требовалось доказать.

Итак, решение задачи 1 найдено. Читателю предлагается построить решение задачи 2 самостоятельно, в качестве упражнения. Приведем формулу этого решения, полученную в Maple

где

Окончательно решение задачи дается суммой решений задачи 1 и задачи 2: .

Рекомендуемая литература

1. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2004. – 539 с.

2. Голоскоков Д.П. Практический курс математической физики в системе Maple. Учебн. пособие. – СПб.: ООО «ПаркКом», 2010. – 640 с.

3. Голоскоков Д.П. Практический курс математической физики. Учебн. пособие. – СПб.: СПГУВК, 2007. – 214 с.

4. Голоскоков Д.П., Шкадова А.Р. Вариационные методы математической физики. Учебн. пособие. – СПб.: СПГУВК, 2009. – 94 с.

5. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. – М., Наука, 1969.

6. Краснов Л. М., Макаренко Г. И., Киселёв А. И. Вариационное исчисление. – М., Наука, 1973.

7. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. – М., ГИТТЛ, 1957.

8. Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. – М., Наука, 1970.

9. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк., 1995. – 560с.

10. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990. – 400 с.

Голоскоков Дмитрий Петрович

Караваев Василий Игоревич

Методические указания

Варианты курсовой работы

По дисциплине

«ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ»