рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Экономика
- /
- Общая постановка экономической задачи линейного программирования
Реферат Курсовая Конспект
Общая постановка экономической задачи линейного программирования
Общая постановка экономической задачи линейного программирования - раздел Экономика, УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОмПЛЕКС дисциплины Методы отыскания оптимальных экономических решений и специальностей Метод Линейного Программирования, Используемый Для Оптимизации Экономических ...
Метод линейного программирования, используемый для оптимизации экономических решений, относится к экономико-математическим методам, целью которых является построение определенной математической модели и экономический анализ полученного решения.
Под моделью понимают условный образ какого-либо объекта. Экономико-математическая модель есть математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта.
Выделяют три основных этапа проведения экономико-математического моделирования:
1. Постановка цели и задач исследования, качественное описание объекта.
2. Формирование математической модели изучаемого объекта, выбор методов исследования, подготовка исходной информации.
3. Анализ математической модели, обработка и анализ результатов.
При использовании экономико-математических методов производят сравнение многочисленных вариантов экономических и управленческих решений. В результате отбирают оптимальный вариант.
Для осуществления общей постановки задачи линейного программирования рассмотрим наиболее типичные частные задачи.
Задача об использовании ресурсов
Условие: Для изготовления двух видов продукции А и В используют четыре видов ресурсов – а, в, с, d. Прибыль, получаемая от реализации единицы продукции А – 2 рубля, продукции В – 3 рубля. Размеры запасов и нормы расхода каждого вида ресурсов приведены в таблице.
| Вид ресурса | Запас ресурса | Норма расходов ресурсов на единицу продукции | |
| A | B | ||
| a | |||
| b | |||
| c | - | ||
| d | - |
Цель задачи: построить оптимальный план производства продукции А и В, при котором прибыль была бы максимальной.
Решение:
Пусть x1 и x2 - объем выпуска продукции А и В соответственно. Тогда для производства заданного объема продукции потребуется затратить следующее количество различных ресурсов:
единиц,
единиц,
единиц,
единиц.
Потребление ресурсов не может превышать их запасов, тогда составим систему неравенств по ограничениям ресурсов:
Объемы производства продукции А и В должны быть больше или равны 0, значит x1 ≥ 0 и x2 ≥ 0.
Суммарная прибыль составит:
F=2x1+3x2 → max
Задачу легко обобщить на случай выпуска n-видов продукции с использованием m-видов ресурсов (ресурсы могут быть, как материальными, так и стоимостными).
Пусть:
хj , где j = 1, 2,.…, n – число единиц продукции, запланированной к производству;
bi где i=1,2…m – запас ресурса Si;
aij - число единиц ресурса Si в ед.продукции Pj;
cj - прибыль от реализации единицы продукции Pj,
Тогда задача оптимизации плана производства примет следующий вид:
 |
при условии, что x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0,..., xn ≥ 0 , при котором функция F примет максимальное значение:
F=c1x1+c2x2+…+cnxn → max
Задача о составлении рациона
Условие: Имеется два вида продукта питания, содержащих витамины (питательные вещества) S1, S2, S3. Стоимость 1 кг продуктов соответственно 4 и 6 руб.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором количество питательных веществ было бы не ниже нормы.
| Питательное вещество | Норма пит. вещества | Число единиц питательных веществ в 1кг продукта | |
| A | B | ||
| S1 | |||
| S2 | |||
| S3 |
Решение:
Пусть x1 и x2 – соответственно объем потребления продуктов А и В в дневном рационе. Тогда дневной рацион будет составлять из следующего количества питательных веществ:
Составим систему ограничений дневного рациона с точки зрения нормы потребления питательных веществ:
при x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Общая стоимость рациона составит
F=4x1+6x2 → min
Для общей постановки задачи (например, для определения потребительской корзины) построим следующую модель, где:
xj (j=1, 2…n) - число единиц продукции j - вида;
bi (i=1, 2…m) – минимум содержания в рационе питательного вещества Si;
aij – число единиц питательного вещества Si в единице продукции j –того вида;
сj – стоимость единицы j – того вида продукции.
Тогда
При условии x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0,..., xn ≥ 0
Функция принимает минимальное значение:
F=c1x1+c2x2+…+cnxn → min
Задача об использовании производственной мощности,
или о загрузке оборудования
Условие: фирме необходимо за время Т выпустить n единиц продукции Р1, Р2, Р3..Рn. Задействовано оборудование S1,S2,...,Sm. Производительность единицы оборудования aij, затраты на изготовление единицы продукции Рj в единицу времени на станке Si составит bij.
Цель: определить оптимальный план загрузки оборудования так, чтобы денежные затраты на производство продукции были бы минимальными.
Решение:
Пусть xij – время изготовления продукции Рj на станке Si. Время работы каждого вида оборудования не должно превышать Т, тогда
План выпуска по видам продукции составит
при
, где i = 1, 2…k
Тогда затраты на производство всей продукции составят:
F=b11x11+b12x12+…+bmkxmk → min
Задача об оптимальном раскрое (использовании) материалов
Условие: На раскрой поступает материал в количестве a единиц. Требуется изготовить L разных деталей, пропорциональных числам b1, b2,...,bi (условие комплектности). Каждая деталь может быть раскроена n-различными способами, причем при каждом i-том способе (i=1, 2…n) может быть получено aik единиц k-той детали (k=1, 2 … L). Найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.
Решение:
Пусть xi – число единиц материала, раскраиваемых i - тым способом, x - число раскраиваемых деталей. Весь материал a раскраивается i -тым способом, тогда
 |
Тогда требуемое количество деталей выразится:
 |
при xi ≥ 0 (i=1, 2 … n)
По условию нужно найти решение X = (x1, x2,...,xn), удовлетворяющее системе уравнений
при условии, что xi ≥ 0, при котором функция F=X примет максимальное значение.
Если раскраивается m - различных материалов, тогда каждый j -тый вид материала (j=1, 2 … m) может быть раскроен n-способами, где каждый i -тый способ (i=1, 2 … n) дает aik единиц k -того изделия (k=1, 2…l), а запас j -того материала равен aj единиц и xij - число единиц j -того материала, раскраиваемого i -тым способом.
Тогда экономико-математическая модель примет следующий вид:
 |
при xij ≥ 0 функция F = X примет максимальное значение.
Рассмотренные выше традиционные примеры позволяют сформулировать общую задачу линейного программирования: дана система m -линейных уравнений и неравенств с n -переменными.
Найти такое решение системы X = (x1, x2,...,xj ,...,xn ), где xi ≥ 0, при котором функция
F = c1x1+c2x2+…+cnxn → max(min)
или
 |
Если система ограничений состоит из неравенств, то задача линейного программированияназывается стандартной. Если система ограничений состоит из уравнений, то задача называется канонической. В совместном случае задачу называютобщей.
Для решения задачи линейного программирования применяют вспомогательную теорему, позволяющую привести стандартную задачу к канонической.
| ТЕОРЕМА Всякому решению (a1, a2,…,an) неравенства ai1x1+ai2x2+…+ainxn ≤ bi coответствует решение (a1, a2,…, an, an+1) уравнения ai1x1+ai2x2+…+ainxn +xn+1=bi , в котором xn+1 ≥ 0. И наоборот, каждому решению уравнения соответствует определенное решение неравенства. |
Тогда, если в системе ограничений имеется знак «≤», то дополнительная переменная вводится со знаком « + », если в ограничении знак «≥0 », то дополнительная переменная вводится со знаком « - ».
Тогда в общей постановке задачи линейного программирования система ограничений примет следующий вид:
 |
где xj ≥ 0 (j=1, 2 … n) и функция
F=c1x1+c2x2+…+cnxn → max(min).
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОмПЛЕКС дисциплины Методы отыскания оптимальных экономических решений и специальностей
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Общая постановка экономической задачи линейного программирования
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.024 сек.
Новости и инфо для студентов