УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОмПЛЕКС дисциплины Методы отыскания оптимальных экономических решений и специальностей

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА»

 

Кафедра “Экономика и управление”

 

"Утверждаю" Проректор по УМР _______________С.П. Ермишин   "______"_______________2012 г.

"Утверждаю" Проректор по УР и КО _______________О.Н. Наумова   "______"_______________2012 г.

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОмПЛЕКС

дисциплины “Методы отыскания оптимальных экономических решений”

 

для студентов ЭКОНОМИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИй подготовки
и специальностей

 

Составитель: к.э.н., доцент Наумова О.Н.

к.э.н., ассистент Мозалевский А.Г.

 

ТОЛЬЯТТИ, 2012

 

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями ГОС ВПО по направлению 080100 «Экономика» и ГОС ВПО по специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии утвержденным в 2000 г.

 

Автор (составитель): Наумова Ольга Николаевна, Мозалевский Алексей Геннадьевич

 

 

Учебно-методический комплекс одобрен (рассмотрен) на заседании кафедры «Экономика и управление»

 

Протокол №____ от "___"_________2012 г.

 

Зам. зав. кафедрой _____________________ А.Н. Кара

 

Учебно-методический комплекс одобрен на заседании НМС по направлению 080100 «Экономика» и специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии»

 

Протокол № _______ от «____» ____________2012г.

 

Председатель НМС _______________________ Т. В. Голощапова

 

Рецензент: к.э.н., доцент Т.В. Голощапова

СОДЕРЖАНИЕ

Аннотация. 4

1. Рабочая учебная программа дисциплины «Методы отыскания оптимальных экономических решений» 4

1.1. Цели и задачи изучения дисциплины.. 4

1.2. Структура и объем дисциплины.. 5

1.3. Содержание дисциплины.. 5

1.4. Требования к уровню освоения дисциплины и формы текущего и промежуточного контроля 6

2. Конспект лекций. 13

Тема 1. Введение в оптимизацию принятия экономических решений. 13

Тема 2. Теоретические основы методов линейного программирования в оптимизации экономических решений. 15

Тема 3. Симплексный метод в оптимизации экономических задач. 23

Тема 4. Транспортная задача и алгоритм ее оптимального решения. 32

Тема 5. Элементы теории игр в решении экономических задач. 40

Тема 6. Сетевой анализ и оптимальное календарное планирование производственной хозяйственной деятельности объектов. 44

Тема 7. Оптимизация процессов управления запасами. 58

Тема 8. Методы динамического программирования в принятии оптимальных экономических решений 64

3. Практические занятия. 68

4. Самостоятельная работа. 106

5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.. 111

6. Методические рекомендации преподавателю.. 112

7. Методические указания студентам по изучению дисциплины.. 112

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины.. 113

9. Программное обеспечение использования современных информационно-коммуникационных технологий 113

Технологическая карта дисциплины.. 120

 

Аннотация

Учебно-методический комплекс дисциплины «Методы отыскания оптимальных экономических решений» разработана для студентов специальностей и направлений подготовки экономического профиля, включая специальность 080502 «Экономика и управление на предприятии» и направление подготовки 080100 «Экономика» и другие экономические специальности, и относится к специальным дисциплинам, введенным для изучения решением ученого совета университета в дополнение к Государственному образовательному стандарту специальности (направления).

На изучение дисциплины «Методы отыскания оптимальных экономических решений» отводится учебным планом очной формы обучения 92 часа, в том числе лекционные занятия - 32 часа, практические занятия - 14 часов, самостоятельная работа студентов 46 часов. По окончанию изучения курса студенты сдают зачет в форме компьютерного тестирования с оценкой «зачтено», «не зачтено».

При заочной форме обучения трудоемкость дисциплины составляет 92 часа, в том числе лекционные занятия - 4 часа, практические занятия - 4 часа, самостоятельная работа-84 часа.

 

1. Рабочая учебная программа дисциплины «Методы отыскания оптимальных экономических решений»

Цели и задачи изучения дисциплины

Развитие науки, усложнение экономических и социальных связей привели к разработке специальной области знаний - теории принятия решений.… Изучение дисциплины "Методы отыскания оптимальных экономических… Обучение по программе курса организуется в форме лекционных и практических занятий, дистанционном режиме с…

Структура и объем дисциплины

 

Распределение фонда времени по неделям и видам занятий

Содержание дисциплины

 

Распределение фонда времени по темам и видам занятий

  1.4. Требования к уровню освоения дисциплины и формы текущего и …

Формы текущего промежуточного и итогового контроля

Требования к промежуточной аттестации студентов: посещение студентом лекционных, практических занятий; активная работа на практических… Промежуточная аттестация выставляется количеством набранных баллов по текущему… Формой текущего промежуточного и итогового контроля является компьютерное тестирование. Для проведения компьютерного…

Тесты самопроверки знаний

1. Что может быть критерием оптимальности экономических решений? a. Максимальные значения показателей b. Наличие взаимосвязей между показателями

Правильные ответы на тест самопроверки знаний

Ответы по тестам темы 1: 1 (а,с,d), 2(d), 3 ( c), 4 (a), Ответы по тестам темы 2:

Конспект лекций

Тема 1. Введение в оптимизацию принятия экономических решений

Вопросы для изучения:

1. Сущность оптимизации в принятии решений.
2. Задачи оптимизации и принципы их решения.

 

Литература:7, 9.

 

Сущность оптимизации в принятии решений

Формирование ее основ относят к концу 17 и началу 18 вв. Развитие внешнеторговых операций, страхового дела, банковских операций, кредитной системы… Отыскание оптимальных решений– научная дисциплина, занимающаяся разработкой и… Принятие решений осуществляется на основе использования и анализа показателей и операций, что предполагает:

Задачи оптимизации и их постановка

1. Задачи сетевого планирования и управления, которые рассматривают сроки, стоимость выполнения различных операций, их оптимальное cоотношение. 2. Задачи массового обслуживания, которые заключаются в анализе систем… 3. Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных размеров запасов с позиций величины заказа (договора),…

Тема 2. Теоретические основы методов линейного программирования в оптимизации экономических решений

Вопросы для изучения:

1. Общая постановка экономической задачи линейного программирования.
2. Геометрический метод решения задачи линейного программирования.

 

Литература: 7, 9, 18.

 

Общая постановка экономической задачи линейного программирования

Под моделью понимают условный образ какого-либо объекта. Экономико-математическая модель есть математическое описание исследуемого экономического… Выделяют три основных этапа проведения экономико-математического… 1. Постановка цели и задач исследования, качественное описание объекта.

Геометрический метод решения задач линейного программирования

Сущность геометрического метода определим при решении задачи оптимизации объема производства.  

Уравнение

x₁+3x₂=18

 

x1
x2

При x₁=0, x₂=0; тогда 0 + 3 • 0 < 18. Множество решений неравенства лежит ниже прямой (1).

 

Уравнение

2x₁+x₂=16

 

x1
x2

При (0;0), тогда 2 • 0 + 0 < 16. Множество решений лежит левее прямой (2)

3. Уравнение

x₂ = 5

4. Уравнение

3x₁ = 21

x₁ = 7

Т.к. x_i ≥ 0 , то область решения находится в 1 квадранте

 

Решение задачи возможно в точках A, B, C, D, E. Найдем значение x₁ и x₂ в каждой из точек.

1. А (0;5)

2. D (7;0)

3. Для нахождения координат точки В решим систему уравнений прямых (1) и (2) на пересечении которых находится точка В.

Точка В имеет координаты (6;4).

4. Аналогично найдем координаты точки С.

Точка С имеет координаты (7;2).

5. Найдем координаты точки Е

Точка Е имеет координаты (3;5).

6. Функция, определяющая критерий оптимальности, имеет вид:

F=2x₁+3x₂

Определим значение функции

Ответ: оптимальный объем производства продукции А – 6 единиц, продукции В – 4 единицы. Тогда максимальный объем прибыли составит 24 единицы.

Определить оптимальное решение можно и не находив значение функции F во всех возможных точках решения. Для этого строят прямую линию по уравнению функции F. Например: пусть F=0, тогда F=2x₁+3x₂ =0 проходит через начало координат. Пусть F=6, тогда 2x₁+3x₂ =6

 

x1
x2

Построим прямую линию по выбранным координатам.

Параллельно смещая прямую линию функции до точек - возможных решений, мы определим оптимальное решение в точке, максимально удаленной от линии F=0. Далее находим координаты данной точки, решая систему уравнений, на пересечении которых она находится.

При решении экономических задач геометрическим методом важно помнить:

1. Не всегда возможно определить конечное оптимальное решение.

2. Возможны случаи, когда условие задачи противоречивы, тогда система ограничений не дает решения, т.е. оптимальное решение найдено не может быть.

3. Метод прост и нагляден. Однако, не лишен погрешностей при построении графиков.

4. Не всегда экономические задачи можно решить данным методом (например, без дополнительных расчетов нельзя определить остатки материальных ресурсов на складе, в производстве; избыток чего либо и др.)

5. Принимают в случае двух переменных. Для любого другого количества переменных используют аналитические методы.

 

Тема 3. Симплексный метод в оптимизации экономических задач

Вопросы для изучения:

1. Экономическая сущность симплексного метода и область его применения в решении экономических задач
2. Методика отыскания оптимального решения симплекс-методом.
3. Двойственные экономические задачи и алгоритм их решения.

 

Литература: 1, 7.

 

Экономическая сущность симплекс-метода и область его применения в решении экономических задач.

Идея последовательного улучшения решения лежит в основе симплекс-метода. Геометрический смысл метода состоит в последовательном анализе и переходе… Симплекс-метод является универсальным. Для использования метода задача должна…  

Методика отыскания оптимального решения

  При x1 ≥0 и x2≥0

Двойственные задачи

Рассмотрим задачу об использовании ресурсов, где Si- вид ресурсов, используемых для производства продукции; aij - норма расхода ресурса на производство единицы продукции (j=1,2…2);

Для составления двойственной задачи используют следующий алгоритм.

2. Составляют матрицу системы А, в которую включают коэффициенты переменных, свободные члены и строку коэффициентов при переменных в линейной… 3. Составляют транспонированную матрицу A’ 4. Формулируют двойственную задачу на основе матрицы A’, сохраняя экономический смысл обозначений.

Тема 4. Транспортная задача и алгоритм ее оптимального решения

Вопросы для изучения:

1. Экономическая сущность транспортной задачи, ее постановка и область применения в принятии оптимального экономического решения. Алгоритм решения транспортной задачи
2. Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям.

 

Литература: 1, 7.

 

Экономическая сущность транспортной задачи, ее постановка и область применения в принятии оптимального экономического решения

Для решения транспортной задачи необходим ряд обязательных условий: - должны быть известны стоимость единицы продукции и стоимость ее из каждого… - должен быть известен запас продукции в каждом пункте производства;

Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям

Задача оптимального распределения оборудования

Пусть m-видов оборудования нужно распределить между n-участками. Производительность единицы оборудования i-того вида на j-том участке равна p_ij. Потребность j-того участка в оборудовании составляет b_j, а запас оборудования i-того вида – а_i. Найти распределение оборудования, при котором суммарная производительность, была бы максимальной.

При решении задачи важно, чтобы зависимость между производительностью и количеством оборудования была линейной, тогда задачу можно решить как транспортную. При этом поставщиком будут являть визы оборудования, потребителями – рабочие участки. Предложение – это запас оборудования по видам, спрос – потребность рабочих участков.

Если х_ij – число единиц i-того оборудования, распределенных j-тому участку, то max суммарная производительность оборудования (спрос);

 

Для перехода к решению транспортной задачи необходимо функцию F заменить на противоположную -F и находить ее минимум.

Вместо тарифов на перевозки записать производительность оборудования p_ij со знаком «-»

 

Вид оборудования	Запас оборудования	Потребность в оборудовании участок
	а1	b1	b2	b3	b4
-p11	-p12	-p13	-p14
	а2	-p21	-p22	-p23	-p24
	а3	-p31	-p32	-p33	-p34

 

Задача формирования оптимального штата фирмы

Пусть фирма располагает n-группами различных должностей. По b_j вакантных единиц в каждой группе, j=1, 2 …n. Кандидатуры на должность проходят тестирование по результатам которого их разделяют на m – групп по a_i кандидатов в каждой группе, i = 1, 2 …m. Для каждого кандидата требуются C_ij затраты на обучение для занятия должности. Если С_ij = 0, то кандидат полностью соответствует должности. Требуется занять имеющиеся вакансии с минимум затрат на обучение.

В роли поставщиков выступают кандидаты, в роли потребителей – группы должностей.

Тема 5. Элементы теории игр в решении экономических задач

 

Вопросы для изучения:

1. Сущность теории игр и их классификация

2. Методика решения экономических задач с использованием теории игр.

 

Литература: 1, 7, 18.

 

Сущность теории игр и их классификация.

Часто бывает необходимо принять решение в ситуации, когда две или более сторон при решении вопроса преследуют различные цели. Такие ситуации сопровождаются возможными конфликтами, когда партнеры, имея различные цели, пытаются их решить за счет другой стороны. При этом важно использовать специальные методы, называемые теорией игр, позволяющие принять решение в условиях неопределенности ситуаций.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, а стороны – участники называются игроками, исход конфликта определяется выигрышем.

Для разрешения ситуации вводятся правила, или система условий, определяющих:

1. варианты действий игроков;

2. объем информации каждого игрока о поведении партнеров;

3. выигрыш при каждом варианте действий.

Игра называется парной, если в ней участвует два игрока, и множественной, если число игроков больше двух.

Если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого игрока, то такая игра называется антагонистической. Рассматривают личные ходы игрока, т.е. сознательные действия, и случайные ходы.

Стратегию игрока определяет совокупность личных ходов в зависимости от сложившейся ситуации.

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной в противном случае.

Для решения игры необходимо для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получить максимальный выигрыш, когда другой игрок придерживается своей стратегии. В то же время игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.

Оптимальные стратегии должны быть устойчивыми, т.е. любому из игроков должно быть невозможно отказаться от своей стратегии.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

Теория игр была впервые изложена в 1944 году в виде системы, предлагаемой для решения именно экономической ситуаций.

 

Методика решения экономических задач с использованием теории игр

В качестве основного документа в теории игр предполагается, что каждый игрок стремиться обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых… Оптимальная стратегия игрока 1, которая обеспечивает ему наибольший выигрыш…

Тема 6. Сетевой анализ и оптимальное календарное планирование производственной хозяйственной деятельности объектов

Вопросы для изучения:

1. Сущность и области применения сетевого анализа и планирования. Основные элементы.

2. Методика построения сетевых графиков.

3. Методика экономического анализа критического пути.

4. Оптимизация сетевого графика.

Литература: 1, 7, 18.

 

Сущность и области применения сетевого анализа и планирования. Основные элементы.

Методы сетевого анализа позволяют провести анализ проекта, определить продолжительность выполнения работ, их стоимость, возможную экономию времени,… Анализ любого проекта осуществляется в три этапа: 1. выделение в проекте ряда работ (операций), из которых составляется логическая схема;

Порядок, правила построения сетевых графов. Сущность и области применения сетевого метода анализа и планирования. Основные элементы.

При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил: 1.не должно быть «тупиковых» событий, за исключением завершающего события;

Методика экономического анализа критического пути

Для определения критического пути на графике указывают продолжительность работы. Исходя из данных примера продолжительность критического пути равна 61 дню,… Однако, сетевой график выполняется без учета масштаба времени, что затрудняет определение выполняемых работ в заданный…

Параметры работ

Ранний срок начала работы (i,j) совпадает с ранним сроком наступления предшествующего события i. Например: tpн(1, 4)=tp(1)=8

Оптимизация сетевого графика

Сокращение продолжительности работ, находящихся на критическом пути, достигается за счет: перераспределения всех видов ресурсов из зон менее…      

Тема 7. Оптимизация процессов управления запасами

 

Вопросы для изучения:

1. Основная модель управления запасами

2. Модификация основной модели управления запасами.

 

Литература: 1, 7, 18.

 

 

Основная модель управления запасами.

Модели управления запасами имеют следующие характеристики: 1. спрос на запасаемый продукт; 2. объем пополнения склада либо через определенный интервал времени, либо по мере использования ресурсов;

Модификация основной модели управления запасами.

Предположим, что на некотором станке производится партия деталей, часть которых сразу же используется на другом станке. Оставшаяся часть деталей… Общая стоимость партии продукции за год будет включать в себя стоимость…

Тема 8. Методы динамического программирования в принятии оптимальных экономических решений

Вопросы для изучения:

1. Общая постановка задачи. Принцип оптимальности и управления Беллмана.

2. Задача о распределении средств.

 

Литература: 1, 7, 18.

 

Общая постановка задачи. Принцип оптимальности и управления Беллмана.

  где Хк(к=1,2…n) – управление системой на каждом шаге.

Задача о распределении средств

 

Применение уравнений Беллмана возможно при распределении средств. Пусть планируются на очередной год деятельность четырех фирм. Начальный капитал S₀ равен 5 у.е. Средства Х, выделенные k-той фирме (к=1,2,3,4), приносят головному предприятию в конце года определенную прибыль fk(x)

 

х	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)

Прибыль fk(x) не зависит от вложения средств в другие фирмы. Суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждой дочерней фирмы. Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль головного предприятия была наибольшей.

Решение:

1. Целевая функция:

2. Строим систему ограничений:

3. Решение можно рассматривать как 4-шаговый процесс, где номер шага совпадает с номером фирмы. S0=5; , т.к. все средства должны быть распределены

Построим схему распределения средств:

 

Тогда Sk=S_k-1-Xk, где Sk - количество средств, оставшихся после предыдущего распределения.

Условная оптимальная прибыль, полученная от k-того предприятия:

Расчеты сведем в таблицу с учетом того, что 4-тому предприятию целесообразно распределить все оставшиеся деньги после 1-3 предприятий

 

Sk-1	Xk	Sk= Sk-1-Xk	k=3	k=2	k=1
Z3(S2) = f3(X3) + Z4'(S3)	Z3' (S2)	X3' (S2)	Z2(S1) = f2(X2) + Z3'(S2)	Z2' (S1)	X2' (S1)	Z1(S0) = f1(X1) + Z2'(S1)	Z1' (S0)	X1' (S0)
		1-0=1 1-1=0	0+4=4 3+0=3			0+4=4 6+0=6			0+6=6 8+0=8
		2-0=2 2-1=1 2-2=0	0+6=6 3+4=7 4+0=4			0+7=7 6+4=10 9+0=0			0+10=10 8+6=14 10+0=10
		3-0=3 3-1=2 3-2=1 3-3=0	0+8=8 3+6=9 4+4=8 7+0=7			0+9=9 6+7=13 9+4=13 11+0=11			0+13=13 8+10=18 10+6=16 11+0=11
		4 3 2 1 0	0+13=13 3+8=11 4+6=10 7+4=11 11+0=11			0+13=13 6+9=15 9+7=16 11+4=15 13+0=13			0+16=16 8+13=21 10+10=20 11+6=17 12+0=12
			0+16=16 3+13=16 4+8=12 7+6=13 11+4=15 18+0=18			0+18=18 6+13=19 9+9=18 11+7=18 13+4=17 15+0=15			0+19=19 8+16=24 10+13=23 11+10=21 12+6=18 18+0=18

 

Оптимальное распределение денежных средств: Х'(1;2;1;1), максимальный размер прибыли Z_max=24 y.e.

Достоинством метода является возможность решения задачи при изменившихся условиях. Пусть произошло сокращение денежных средств с 5 у.е. до 4 у.е., тогда Z_max=21 y.e. и Х'(1;1;1;1) или Х'(1;2;0;1)

Если произошло увеличение денежных средств, то добавляют необходимое число строк, если сокращается число объектов вложений – анализируется соответствующее число столбцов (например, при распределении 5 у.е. между 3 предприятиями Z_max=19 y.e., x'(1;0;4).

Практические занятия

  Занятие 1. 1. Общая постановка экономической задачи оптимизации использования ресурсов, составления рациона, использования…

Задача 2.1.

 

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья.

Исходные данные

  Задача 2.2

Исходные данные

Задача 2.4.

Задача 3.1.

 

Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида сырья.

Исходные данные

Вид ресурса	Запас ресурса	Норма расхода сырья на единицу продукции
Р1	Р2
S1 S2 S3

Прибыль от единицы продукции Р1 составляет 16 у.е., от единицы продукции Р2 - 23 у.е. Составить план производства, при котором получаемая предприятием прибыль была бы максимальной.

Задача 3.2.

 

При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать свежее сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг) Рацион должен содержать не менее 30 кормовых единиц, 1 кг белка, 100 г кальция и 80 г фосфора. Определить оптимальный рацион питания исходя из условия минимума его себестоимости.

Корм	Компоненты	Себестоимость, руб/кг
кол-во кормовых единиц	белок г/кг	кальций г/кг	фосфор г/кг
Сено Силос	0,5 0,5		1,25 2,5		1,2 0,8

Задача 3.3.

 

Цех выпускает три вида изделий. Суточный плановый выпуск: I - 90 ед., II - 70 ед., III - 60 ед.

Суточные ресурсы составляют: 780 ед. производственного оборудования (станки, машины); 850 ед. сырья, 790 ед. электроэнергии. Стоимость единицы продукции следующая: I - 8 у.е., II -7 у.е., III - 6 у.е.

Сколько целесообразно производить изделий каждого вида, чтобы стоимость продукции, выпускаемой сверх плана, была максимальной ?

Ресурсы	Расход на единицу изделия
I	II	III
Оборудование Сырье Электроэнергия

Задача 3.4.

 

Для изготовления обуви четырех моделей используются 2 сорта кожи. Составить план выпуска обуви по ассортименту, максимизирующему прибыль, если:

Ресурсы	Запас ресурсов	Затраты ресурсов на 1 пару обуви по моделям
№1	№2	№3	№4
Рабочее время чел/час Кожа 1 сорта Кожа 2 сорта
Прибыль у.е.

Задача 3.5.

 

Для изготовления четырех видов продукции А, В, С, Д используются три вида ресурсов:

Вид ресурса	Наличие ресурса	Норма расхода на единицу продукции
А	В	С	D
I II III
Прибыль с ед. продукции

 

Найти:

1) Оптимальное решение исходной и двойственной задачи с

2) определением экономического смысла решения;

3) Определить изменение максимальной прибыли при изменении ресурсов: I вида - на - 10; II - на +60; III - на -30 единиц. Оценить раздельное и суммарное влияние этих изменений на величину максимальной прибыли;

4) Оценить целесообразность введения в план производства пятого вида продукции Г, нормы затрат ресурсов на единицу которого соответственно равны 2; 4; 2;, а прибыль +15 у.е.;

5) Оценить целесообразность закупки 100 единиц ресурса III при цели С3 = 0,5 у.е. за единицу ресурса.

Задача 3.6.

Имеются три вида ресурсов, которые используются в производстве трех видов продукции А, Б и В

Ресурс	Норма расхода на единицу продукции
А	Б	В
I
II
III

На складе фирмы имеется 500 ед. ресурса 1, 550 ед. - 2-го, 200 ед. - 3-го ресурса. Прибыль от реализации единицы продукции А составляет 3 руб., Б - 4 руб., В - 1 руб.

Определить:

1) Оптимальный план производства, чтобы прибыль была максимальной,

2) Составить и решить двойственную задачу;

3) Целесообразно ли закупить 250 ед. ресурса 2 по цене С2 = 0,7 руб. за ед.;

4) Целесообразно ли производство четвертого вида продукции Г, если нормы затрат ресурсов на единицу составляют соответственно 3, 1, 2 единицы, а прибыль с единицы продукции равна 5 руб ;

5) Определить изменение максимальной прибыли при изменении ресурсов: 1-го на +70; 2-го на +200; 3-го на - 40 единиц.

 

ТЕМА 4. Транспортная задача и алгоритм ее оптимального решения

 

Занятие 3

1. Алгоритм решения транспортной задачи.
2. Методика решения задач в среде MS Excel

 

Рассмотрим решение транспортной задачи средствами MS Excel на примере задачи, приведенной в теоретическом курсе.

Четыре предприятия для производства продукции получают сырье от трех поставщиков. Потребности в сырье каждого из предприятий (A, B, C, D) равны 20, 110, 40, 110 ед. Сырье имеется в наличии у трех поставщиков, а запасы соответственно равны 60, 120 и 100 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Обозначим через x_ij количество единиц сырья, перевозимого от i-го поставщика на j-е предприятие. Задача является закрытой, так как сумма запасов сырья у поставщиков составляет 280 единиц, что равно сумме потребностей сырья на предприятиях.

Условия доставки и вывоза необходимого и имеющегося сырья обеспечиваются за счет выполнения следующих равенств:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃+ x₁₄= 60 (1)

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃+ x₂₄= 120 (2)

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃+ x₃₄= 100 (3)

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ = 20 (4)

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ = 110 (5)

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ = 40 (6)

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ = 110 (7)

При данном плане перевозок x_ij≥0, i=1…3, j=1…4, общая стоимость перевозок составит:

F = x₁₁+2∙x₁₂+5∙x₁₃+3∙x₁₄+x₂₁+6∙x₂₂+5∙x₂₃+2∙x₂₄+6∙x₃₁+3∙x₃₂+x₃₃+4∙x₃₄ → min (8)

Таким образом, математическая постановка задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений (1)–(7), при котором целевая функция (8) принимает минимальное значение.

Перенесем в MS Excel условие задачи в виде таблиц (Рисунок 17):

Рисунок 17. Фрагмент листа MS Excel с исходными данными

 

Ячейки с адресами В3:Е5 резервируются для переменных x_ij – это изменяемые ячейки. В ячейках F3:F5 заносятся запасы сырья у поставщиков, в ячейках B6:E6 заносятся потребности (спрос) сырья на предприятиях. В ячейки с адресами В12:Е14 занесены коэффициенты матрицы затрат на перевозку грузов.

В ячейки G3:G5 заносятся формулы для расчета ограничений (1) – (3). Формула ограничения (1) в ячейке G3 будет иметь вид =СУММ(B3:E3). Соответственно ограничения (2), (3) заносятся в ячейки G4, G5 в виде формул =СУММ(B4:E4), =СУММ(B5:E5).

В ячейках В7:Е7 содержатся формулы ограничений (4)–(7), которые соответственно имеют вид: =СУММ(B3:B5), =СУММ(C3:C5), =СУММ(D3:D5), =СУММ(E3:E5). На Рисунок 18 представлен фрагмент листа в формульном виде.

Рисунок 18. Фрагмент листа MS Excel в формульном виде

 

В ячейки В12:Е14 занесена матрица затрат на перевозки между всеми поставщиками сырья и потребителями.

Формула для расчета Целевой функции (8) занесена в ячейку С16 и имеет вид: =СУММПРОИЗВ(B3:E5;B12:E14). В эту же ячейку будет занесено вычисленное значение целевой функции.

Для решения задачи воспользуемся встроенным в MS Excel инструментом «Поиск решений». Поставим курсор мыши в ячейку С16, в которой будет содержаться вычисленное значение целевой функции, войдем в меню Сервис, выберем в нем Поиск решения (в MS Excel 2007 выберем вкладку Данные – Поиск решения). На экране появится диалоговое окно Поиск решения, заполним его как показано на Рисунок 19.

Рисунок 19. Настройка диалога инструмента «Поиск решения»

 

Нажмем дополнительно кнопку «Параметры», в появившемся диалоговом окне

отметим пункты «Линейная модель», «Неотрицательные значения», «Автоматическое масштабирование». Нажмем кнопку «ОК» и «Выполнить».

 

Рисунок 20. Результат выполнения

 

Видим, что оптимальное решение найдено: при составленном плане перевозок (диапазон ячеек B3:E5) затраты будут минимальны и составят 560 единиц. Все ограничения (G3:G5 и B7:E7) выполнены, все сырье поставлено, все потребности удовлетворены.

 

 

Задача 4.1.

 

На 3-х складах А1, А2, А3 хранятся а1 = 100, а2 = 200, а3 =100 единиц одного и того же груза. Этот груз необходимо доставить потребителям В1, В2, В3, заказы по договорам которых b1 = 190, b2 = 120, b3 = 50 единиц соответственно. Стоимость перевозок Cij единицы груза с i - того склада j - тому потребителю указаны в таблице.

	В1	В2	В3
b1=190	b2=120	b3=50
А1	а1=100
А2	а2=200
А3	а3=100

Составить оптимальный план перевозки грузов с целью минимизации транспортных расходов.

Задача 4.2.

 

Фирма имеет три основных склада и четыре торговых точки. Оптовый склад А имеет 30 тыс. ед., склад Б - 40 тыс. ед., склад В - 20 тыс. ед. продукции.

Пропускная способность торговых точек следующая: -25 тыс., II - 30 тыс., III -35 тыс., IV - 15 тыс. единиц продукции. Стоимость перевозки из склада А соответственно в 4 торговые точки одной тысячи изделий равна 2; 3; 0,5; 4 у.е., из склада Б - 3; 2; 5, I у.е., из склада В - 4; 3; 2; 6 у.е. Составить план перевозки, минимизирующий транспортные расходы При этом важно учесть, что торговые точки 1,4 находятся в более престижном районе города и поэтому их целесообразно загрузить работой полностью.

Задача 4.3.

Поставщики	Надежность поставщиков	Потребность и их спрос

 

Найти оптимальное удовлетворение спроса потребителей.

 

ТЕМА 5. Элементы теории игр в оптимальном решении экономических задач.

 

Занятие 4

1. Методика решения экономических задач с использованием теории игр.
2. Методика решения задач в среде MS Excel

Предприятие может выпускать три вида продукции (А1, А2 и А3), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырех состояний (В1, В2, В3, В4). Дана платежная матрица (таблица 1), ее элементы a_ij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции c j-м состоянием спроса.

Таблица 1. Данные задачи

	В1	В2	В3	В4
А1
А2
А3

 

Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

РЕШЕНИЕ:

Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей (Табл. 1).

При решении произвольной конечной игры размером m x n рекомендуется придерживаться следующей схемы:

1. Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии по сравнению с другими стратегиями. Такими стратегиями для игрока А (игрока В) являются те, которым соответствуют строки (столбцы) с элементами, заведомо меньшими (большими) по сравнению с элементами других строк (столбцов).

2. Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра седловую точку.

3. Если седловая точка отсутствует, то оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях с применением симплекс-метода.

В нашем случае мы видим, что второй столбец матрицы (табл. 1) является явно невыгодной стратегией для игрока В по сравнению с первой (элементы второго столбца больше элементов первого столбца), т.к. цель игрока В – уменьшить выигрыш игрока А. Поэтому второй столбец можно отбросить. Получим матрицу P размера 3х3:

Перенесем условие задачи в пакет Microsoft Excel, как показано на Рисунок 21.

Рисунок 21. Условие задачи в книге MS Excel

 

Определим верхнюю и нижнюю цены игры. Для этого воспользуемся стандартными функциями пакета MS Excel – МИН() и МАКС(). В ячейку Е3 вставим формулу =МИН(B3:D3), найдя таким образом минимальное значение в соответствующей строке. Раскопируем формулу в ячейки Е3:Е5. В ячейку B6 вставим формулу =МАКС(B3:B5), найдя максимальное значение в соответствующем столбце. Раскопируем формулу в ячейки B6:D6.

Верхняя цена игры будет равна минимальному значению по строке β (минимакс), нижняя цена игры будет равна максимальному значению по колонке α (максимин). Вставим соответствующие формулы в ячейки B8 и B9 (Рисунок 22)

Рисунок 22. Нахождение верхней и нижней цены игры

 

 

Т.к. α≠β, то седловая точка отсутствует и оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков.

 

 

Используя методику, приведенную в теоретическом материале и системы ограничений (1) и (2), составим две взаимно-двойственные задачи линейного программирования

Задача 1 Xi ≥0, i=1, 2, 3 Z=x1+x2+x3 → min

Задача 2 yj≥0, j=1, 2, 3 Z’=y1+y2+y3 → max

Решим табличным симплексным методом в MS Excel задачу на максимум. Методика решения задач табличным симплекс методом с использованием MS Excel подробно рассмотрена в практической работе №2, поэтому подробно описывать ход решения не будем. Конечный результат приведен на Рисунок 23.

Рисунок 23. Результат решения задачи табличным симплекс методом

 

 

В результате решения критерий оптимальности выполнен, max Z’=0,1851852 (5/27) и базисное решение Y3=(0,037037; 0,1481481; 0; 0; 0,0740741; 0) или (1/27; 4/27; 0; 0; 2/27; 0) является оптимальным.

Конечный вид целевой функции Z’=0,1851852-0,037037y₃-0,074074y₄-0,111111y₆ или Z’=5/27-17*y₃/27-2*y₄/27- y₆/9

Согласно теореме двойственности установим соответствие между переменными взаимно-двойственных задач и определим оптимальное базисное решение задачи 1:

x1	x2	x3		x4	x5	x6
↕	↕	↕	↕	↕	↕
y4	y5	y6	y1	y2	y3
0,074074		0,111111			0,037037

 

Оптимальное базисное решение задачи 1 равно: x=(0,074074; 0; 0,111111; 0; 0; 0,037037) или
x=(2/27; 0; 1/9; 0; 0; 17/27)

Находим цену игры v=1/max Z’=1/min Z=1/0,1851852=5,4

X_i=p_i/v => p_i=x_i*v =>p₁=0,4; p₂=0; p₃=0,6.

S_A= (0,4; 0; 0,6)

Вывод: целесообразно выпустить 40% продукции А₁, 60% продукции А₃, а продукцию А₂ не выпускать вовсе.

Оптимальную стратегию S_B определим аналогично:

Q_i=y_i*v => q₁=0,2; q₂=0 (учитывая, что второй столбец матрицы был отброшен, как невыгодный); q₃=0,8; q₄=0.

S_B=(0,2; 0; 0,8; 0)

Вывод: Оптимальным является спрос на 1 и 3 вид продукции соответственно – 20% в состоянии В₁ и 80% в состоянии В₂.

 

Задача 5.1.

 

Магазин может завезти в различных пропорциях товары трех типов A1, А2, А3. Предполагается, что спрос может иметь три состояния и не спрогнозирован Определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия максимизации средней гарантированной прибыли при следующей матрицы прибыли.

Тип товара	Спрос
B1	B2	В3
A1
A2
А3

 

 

Задача 5.2.

 

Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может сразу отправить потребителю (стратегия А1), отправить на склад для хранения (стратегия А2) или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия А3) для длительного хранения. Потребитель может приобрести продукцию немедленно (стратегия B1), в течение небольшого периода времени (стратегия B2), после длительного периода времени (стратегия B3).

В случае стратегий А2 и А3 предприятие несет дополнительные затраты на хранение и обработку продукции. Стратегия А2 характеризуется убытками из-за порчи продукции, если потребитель выберет стратегии B2 или B3.

Определить оптимальные пропорции продукции для применения стратегий А1, А2, А3, руководствуясь минимаксным критерием, т.е. получением среднего уровня убытка при следующей матрице затрат:

Bj / Ai	B1	B2	В3
A1
A2
А3

 

 

ТЕМА 6. Сетевой анализ и оптимальное календарное планирование производственно-хозяйственной деятельности объектов

 

Занятие 5

1. Основные элементы сетевой модели.
2. Правила построения сетевых моделей.
3. Методика экономического анализа критического пути.
4. Оптимизация сроков и стоимости реализации проекта.
5. Анализ сетевых графиков в среде MS Project
6. Решение задач

 

Анализ сетевых графиков в среде MS Project

Рисунок 24. Сетевой график  

Модель управления запасами

Перенесем условие задачи в пакет MS Excel, как показано на рисунке 36. Рисунок 36. Условие задачи (в режиме проверки формул)

Модель управления запасами при наличии оптовых скидок

Модифицируем разработанную нами модель, добавив туда расчет для возможного предоставления скидки, как это показано на рисунке 40. Рисунок 40. Модель управления запасами с учетом оптовой скидки

Производство и управление запасами

Рисунок 44. Модель определения оптимального размера партии продукции  

Задача 7.1.

 

Общество с ограниченной ответственностью занимается продажей сложной бытовой техники. Одним из видов продукции являются электрочайники. Спрос на них равномерный составляет 25 единиц в неделю. Фирма закупает электрочайники по цене 9 у.е. за единицу. Стоимость оформления договора на один заказ составляет 15 у.е., a издержки хранения 0,5 у.е. за единицу среднего размера запаса в течение года плюс 15% среднегодовой стоимости запасов. В году 50 рабочих недель.

Определить:

Оптимальный размер запаса.

В настоящее время сложился опыт заказа партиями в 300 единиц продукции. Какой будет величина экономии, если заказы будут поступать в соответствии с оптимальным размером заказа ?

Какое целесообразно принять экономическое решение в случае снижения цены подачи одного заказа до 5 у.е. ?

 

Задача 7.2.

Объем продажи автомобилей составляет 200 млн. в год стоимость одного заказа на партию машин составляет 500 у.е., издержки хранения - 30 % среднегодовой стоимости запасов. Если размер заказа меньше, чем 50 машин, то цена покупки одного автомобиля составляет 6000 у.е. Для заказов, размер которых колеблется от 50 до 99 машин, предоставляется скидка с цены в 1,5%, а заказам, размер которых 100 и более машин, соответствует скидка 3%.

Определить:

Оптимальный размер заказа.

Какое следует принять оптимальное экономическое решение, если поставщик увеличит размер скидки с 3% до 5% ?

 

Задача 7.3.

На некотором оборудовании производятся детали в количестве 2000 единиц в месяц. Эти детали используются для дальнейшей обработки на другом оборудовании с производительностью 500 единиц в месяц. Издержки хранения запаса составляют 20% средний стоимости запасов в год. Стоимость производства одной детали равна 2,5 у.е.

Определить:

Каким должен быть размер партии деталей, производимой, на первом станке и с какой частотой следует организовывать циклы для производства этих деталей 9?

Какого было бы решение на вопрос, если издержки производства снизить до 500 у е , до 250 у.е. ?

 

ТЕМА 8. Методы динамического программирования в принятии оптимальных экономических решений

 

Занятие 7.

1. Общая постановка задачи динамического программирования.
2. Принцип оптимальности и управления Беллмана.
3. Задача оптимального распределения средств между предприятиями.
4. Решение задач

 

Задача 8.1.

 

Найти оптимальное распределение средств между n-предприятиями при условии, что прибыль f (х), полученная от каждого предприятия, является функцией от вложенных в него средств х. Вложения кратны 1.

х
F1(x)
F2(x)
F3(x)

 

Задача 8.2.

 

В условиях задачи 8.1. найти оптимальное распределение средств между четырьмя предприятиями, если функция прибыли для четвертого предприятия задана следующей таблицей.

F4(х)

 

Самостоятельная работа

Индивидуальная работа под руководством преподавателя

· индивидуального графика обучения; · углубленного изучения курса; · организации междисциплинарных связей между дисциплинами «Основы дипломного проектирования» и «Методы отыскания…

Задание 1.

Сформулировать цель будущей выпускной квалификационной работы, предусматривающую оптимизацию какого-либо процесса на предприятии.

 

Задание 2.

Сформировать качественное описание исходной информации, позволяющей построить экономико-математическую модель для достижения поставленной цели. Построить экономико-математическую модель.

 

Задание 3.

Выбрать и обосновать метод поиска оптимального решения экономико-математической модели. Решить экономико-математическую модель. Проанализировать результат оптимального решения с позиций:

· достижения цели;

· определения сроков достижения оптимального решения;

· определения этапов в достижении оптимального решения;

· определения необходимых ресурсов (материальных, трудовых, стоимостных) в достижении оптимального решения ;

· разработки мероприятий по достижению оптимального решения;

· экономического обоснования целесообразности внедрения разработанных мероприятий по достижению оптимального решения.

 

Самостоятельная работа студента

Объем часов, отводимый учебным планом для самостоятельной работы студента, составляет по очной форме обучения – 46 часов, по заочной 84 часа. После изучения дисциплины студент должен ответить на следующие вопросы.  

Учебно-методическое обеспечение дисциплины

  Дополнительная литература Аванесова Г.А. Сервисная деятельность:…  

Методические рекомендации преподавателю

Основными формами обучения студентов по дисциплине «Методы отыскания оптимальных экономических решений» являются аудиторные занятия, включающие… Лекционные занятия проводятся в очном формате с использованием слайд-лекций. … Практические занятия проводятся в очном формате для студентов дневной формы обучения.

Методические указания студентам по изучению дисциплины

Изучение дисциплины «Методы отыскания оптимальных экономических решений» требует изучения студентами теоретического материала по курсу, участие в… Аудиторная работа студентов по дисциплине «Методы отыскания оптимальных… - Посещение студентами лекций по дисциплине;

Материально-техническое обеспечение дисциплины

Для изучения дисциплины используются интерактивные технологии, такие как слайд-лекции, компьютерный практикум. Для проведения слайд-лекций используютcя аудитории, оснащенные проекционным… Для проведения компьютерного практикума используются компьютерные аудитории.

Программное обеспечение использования современных информационно-коммуникационных технологий

 

Для проведения лекционных занятий используется:

- Microsoft PowerPoint

Для проведения практических занятий используется:

- Microsoft Excel

- Microsoft Project

Технологическая карта дисциплины

  Кафедра: «Экономика и управление» Преподаватель: к.э.н., доц. О.Н. Наумова,…