Двумерные геометрические преобразования - Конспект Лекций, раздел Философия, Конспект лекций по дисциплине Компьютерная графика Параллельный Перенос
...
Параллельный перенос
Параллельный перенос в плоском случае имеет вид:
x` = x + Dx
y` = y + Dy
[x’, y’] = [x, y] + [Dx, Dy]
P’ P T
или в векторной форме:
P` = P + T,
где P` = [x` y`] - вектор-строка преобразованных координат,
где x, y - исходные координаты точки, Tx, Ty - величина сдвига по осям, x`, y` - преобразованные координаты. P = [x y] - вектор-строка исходных координат, P` = [x` y`] - вектор-строка преобразованных координат, T = [Tx Ty] - вектор-строка сдвига.
Масштабирование
Преобразование масштабирования относительно начала координат имеет вид:
x` = x ·Sx
y` = y ·Sy или
Sx 0
[x`, y`] = [x, y] ·
0 Sy
P` P
S
или в матричной форме:
P` = P ·S,
где Sx, Sy - коэффициенты масштабирования по осям, а
S - матрица масштабирования
Поворот
Преобразование поворота относительно начала координат имеет вид:
x`= x·cos(φ) – y·sin(φ)
y`= x·sin(φ) + y·cos(φ)
или
cos(φ) sin(φ)
[x`, y`] = [x, y] ·
–sin(φ) cos(φ)
P` P
R
Где R – матрица поворота
φ – положительный угол поворота
или в матричной форме:
P` = P ·R,
Столбцы и строки матрицы поворота представляют собой взаимно ортогональные единичные векторы. В самом деле квадраты длин векторов-строк равны единице:
cosf·cosf+sinf·sinf = 1 и
(-sinf) ·(-sinf)+cosf·cosf = 1,
а скалярное произведение векторов-строк есть
cosf·(-sinf) + sinf·cosf = 0.
Так как скалярное произведение векторов A ·B = |A| ·|B| ·cosy, где |A| - длина вектора A, |B| - длина вектора B, а y - наименьший положительный угол между ними, то из равенства скалярного произведения двух векторов-строк длины 1 следует, что угол между ними равен 90°.
Аналогичное можно показать и для векторов-столбцов. Кроме того вектора-столбцы представляют собой такие единичные векторы, которые после выполнения преобразования, заданного этой матрицей, совпадут с осями. В самом деле, произведение первого столбца на матрицу есть
cosf
-sinf
·
cosf
sinf
=
,
-sinf
cosf
т.е. это единичный вектор вдоль оси X. Аналогично, произведение второго столбца на матрицу даст вектор [ 0 1 ]. Это позволяет сформировать матрицу, если известны результаты преобразования.
Преобразование в однородную систему координат
Как видно двумерные преобразования имеют различный вид. Сдвиг реализуется сложением, а масштабирование и поворот - умножением. Это различие затрудняет формирование суммарного преобразования и устраняется использованием двумерных однородных координат точки, имеющих вид:
[ X Y W ].
Здесь W - произвольный множитель не равный 0.
Двумерные декартовые координаты точки получаются из однородных делением на множитель W:
x = X / W, y = Y / W, W 0
Однородные координаты можно представить как промасштабированные с коэффициентом W значения двумерных координат, расположенные в плоскости с Z = W.
В силу произвольности значения W в однородных координатах не существует единственного представления точки, заданной в декартовых координатах.
Преобразования параллельного переноса, масштабирования и поворота в однородных координатах относительно центра координат все имеют одинаковую форму произведения вектора исходных координат на матрицу преобразования.
Кафедра Вычислительной Техники... Конспект лекций по дисциплине Компьютерная графика...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Двумерные геометрические преобразования
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Алгоритмы растровой графики.
2.1. Растровые представления изображений.
Цифровое изображение – набор точек (пикселей) изображения; каждая точка изображения характеризуется координатами x и y и ярко
Общие требования к изображению отрезка.
· концы отрезка должны находиться в заданных точках;
· отрезки должны выглядеть прямыми,
· яркость вдоль отрезка должна быть постоянной и не зависеть от длины и на
Алгоритм
1. Сформировать ТР и подготовить ТАР
2. Выбор первой координаты сканируемой строки: у = min {ymin};
3. Если у = уmin, то перенос группы из ТР в ТАР.
Трехмерные геометрические преобразования
Далее при рассмотрении трехмерных преобразований, в основном, используется общепринятая в векторной алгебре правая система координат (рис. а). При этом, если смотреть со стороны пол
Композиция 3D изображений
P` = P·M; P = P`· М–1
Поворот вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат:
Процедурные текстуры
Рассмотрим простой пример: есть домик с кирпичными стенами. Решить задачу описания грани домика достаточно сложно. Можно было бы описать стенку, но это тоже сложно, поэтому эту стен
Проективные текстуры
Рассмотрим общий случай, когда текстура проецируется на поверхность, которая затем проецируется на 2-х мерный экран. Мы проецируем проектором некое изображение на поверхность, а затем смотрим на не
Основные законы освещения
1.2.Закон Ламберта (диффузного отражения)
Если есть некоторая поверхность и в некоторую точку этой поверхности, у которой есть нормаль
Рельефные текстуры.
Рельефное текстурирование очень напоминает обычный процесс наложения текстуры на полигон. Только при обычном наложении текстуры мы работаем со цветом и изменяем его цветовое восприя
Синтез стереоизображений.
Методы наблюдения:
1) делим изображение на 2, одно для левого глаза другое для правого.
Затем на экране синтезируются эти 2 изображения, в результате чего мы ви-
дим стер
Метод триангуляции Делоне.
Суть :
Позволяет получать триангуляцию, все треугольники стремятся к правильной форме.
В основе метода лежит круговой критерий:
Если провести окружность вокруг 3-ч точек,
Алгоритм ГП.
При осуществлении геометрических преобразований существует две схемы пересчета:
1. Схема прямого пересчета
Деформация изображения.
Имеется система , на вход которой подают изображение :
l =1….L ( пусть у нас l-текстовых точек).
Кусочно – нелинейные АП
Результатом нелинейного преобразования является эквализация (выравнивание) гистограммы. В результате применения этого преобразования увеличивается контрастность, так как после линейных преобразован
x` = x ·Sx
0 Sy
P` P
cos(φ) sin(φ)
P` P
x = X / W, y = Y / W, W 0
Новости и инфо для студентов