Алгоритм построения сокращенного базиса

 

В § 7.1 было показано, как с помощью ЭВМ, опираясь на сокращенный базис b_´ [А_1, А₂, ...Ω₁, Ω_2,...], находить решение специальной логической задачи по определению следствий, вытекающих из некоторого заданного набора посылок. Изложим ряд алгоритмов построения сокращенного базиса, связанного с исходными логическими зависимостями, наложенными на элементы А_1, А₂, ...; Ω₁, Ω₂, ...

Алгоритм получения произведения двух булевых функций. Пусть требуется найти произведение функции f₁(A₁, A₂, ...; Ω₁, Ω₂,...) на функцию f₂ (A₁ А₂, ...; Ω₁, Ω₂, ...). Представим каждую из функций либо в ДНФ, либо в форме простейшей суммы произведений и трансформируем каждое слагаемое в колонку таблицы (f₁) или (f₂), соответственно, заполнив разряды колонок числами 0, 1 и Знаком ´ по тем же самым правилам, которые использовались в § 7.1 при построении сокращенного базиса b_´ [А_1, А₂, ...Ω₁, Ω_2,...] по функции Е(А₁ А₂, ...; Ω₁, Ω₂). Предположим, что таблицы (f₁) и (f₂) размещены в ЭВМ так, как показано на рис. 7.1. Пусть a=1, 2, ..., b=1, 2, ...— порядковые номера каких-либо колонок в таблицах (f₁) и (f₂), соответственно. В соответствии с определением соотношения импликации условимся писать (a)®(b), если в колонке b все разряды, содержащие 0 или 1, совпадают с соответствующими разрядами колонки а. Если (a)®(b) и (b)®(a), то будем писать (a) = (b), так как в этом случае колонки a и b полностью совпадают. Проделаем следующие операции.

1. Сравним поразрядно колонку a таблицы (f₁) с колонкой b таблицы (f₂):

а) если (a) = (b), то колонки a и b вычеркиваются из таблиц (f₁) и (f₂) и одновременно одна из этих колонок, например а, заносится в таблицу результатов (f₁f₂); далее переходим к сравнению колонки a +1 таблицы (f₁) с первой (b= 1) колонкой таблицы (f₂);

 

 

Рис. 7.1

 

б) если то колонка а вычеркивается из таблицы (f₁) и заносится в таблицу результатов (f₁f₂), колонка b сохраняется в таблице (f₂); далее переходим к сравнению колонки a +1 таблицы (f₁) с первой сохранившейся колонкой таблицы (f₂);

в) еслито колонка b вычеркивается из таблицы (f₂) и заносится в таблицу результатов (f₁f₂), колонка а сохраняется в таблице (f₁); переходим к сравнению колонок a+1 с первой колонкой таблицы (f₂);

г) еслито переходим к сравнению колонки a таблицы (f₁) с колонкой b + 1 таблицы (f₂).

Эти операции производятся до тех пор, пока не будут перебраны все возможные пары значений a=1, 2, ... и b=1, 2, т. е. пока каждая колонка таблицы (f₁) не будет сравнена со всеми колонками таблицы (f₂). В результате часть колонок (может быть, ни одной) из таблицы (f₁), (f₂) будет перенесена в таблицу (f₁f₂), а таблицы (f₁) и (f₂) упростятся и примут вид (f₁¢) и (f₂¢).

2. Перемножим таблицы (f₁¢) и (f₂¢). Сначала умножается колонка а¢ таблицы f₁¢на колонку b¢ таблицы (f¹₂). Если колонки a¢ и b¢ несравнимы, т. е. хотя бы в одном из одинаковых разрядов колонок a¢ и b¢ встречаются комбинации чисел 0 и 1 или 1 и 0, то их не перемножают и переходят к умножению колонки a¢ таблицы (f₁¢) нз колонку b¢+1 таблицы (f₂). Если колонки a¢ и b¢ сравнимы, то их перемножают поразрядно по правилам: 0×0 = 0, 0×´ = ´×0 = 0, 1×´ = ´×1 = 1, 1×1 = 1, ´ • ´ = ´. Результаты умножения представляются в виде колонки, аналогичной колонкам-сомножителям, которая записывается в таблицу (f₁f₂). Далее умножается колонка a¢ таблицы (f₁¢) на колонку b¢ + 2 таблицы (f₂¢). Операции повторяются до тех пор, пока каждая колонка таблицы f₁¢ не будет умножена на каждую колонку таблицы (f₂¢).

Таблица результатов (f₁f₂) представляет произведение функций f₁(А_1, А₂, ...; Ω_1, Ω₂, ...) и f₂(А_1, А₂, ...; Ω_1, Ω₂, ...) в ДНФ.

Алгоритм приведения булевой функции к тупиковой ДНФ. Для упрощения таблицы (f₁f₂), представляющей собой произведение двух булевых функций, каждую колонку а таблицы сравнивают с каждой последующей колонкой a + l этой же таблицы по следующим правилам:

а) если сопоставляемые колонки полностью совпадают: (a) = (a + l), то одна колонка, например колонка а, сохраняется в таблице, а другая колонка, например a + l, отбрасывается; переходим к сравнению колонки а с колонкой a + l +1;

б) если (a)®( a + l), то колонка а отбрасывается, а колонка a + l сохраняется; переходим к сравнению колонки a +1 с колонкой a + 2;

в) если (a + l)®(a), то колонка a + l отбрасывается, а колонка a сохраняется; переходим к сравнению колонок a и a + l +1;

г) если сопоставляемые колонки совпадают во всех разрядах, кроме одного, и в этом разряде одна колонка содержит 0, а другая — 1, то обе колонки отбрасываются и заменяются одной колонкой, которая совпадает в общей части разрядов со сравниваемыми колонками, а в том разряде, где содержались 0 и 1, ставится знак ´;

д) если сопоставляемые колонки a и a + l несравнимы только в i-м разряде, а содержимое остальных разрядов таково, что для колонок (a)¢ и (a + l)¢, получающихся из (a) и (a + l) вычеркиванием i-гo разряда, выполняется (a + l)¢®(a)¢, то колонки a и a + l сохраняются, но в i-м разряде колонки a + l записывается знак ´ ; переходим к сравнению колонки а с колонкой a + l +1.

Процедура сокращения производится над всеми колонками таблицы (f₁f₂) последовательно несколько раз до тех пор, пока дальнейшие упрощения по указанным правилам станут невозможны. Каждая колонка полученной таблицы соответствует одному слагаемому, которое входит в булеву функцию (f₁f₂), записанную в тупиковой ДНФ.

Алгоритм получения отрицания булевой функции. Пусть требуется найти отрицание f(А_1, А₂, ...; Ω_1, Ω₂, ...)булевой функции f(А_1, А₂, ...; Ω_1, Ω₂, ...), записанной в ДНФ. Как и раньше, будем предполагать, что функция f(А_1, А₂, ...; Ω_1, Ω₂, ...) представлена в виде таблицы (f), колонки которой образованы из чисел 0, 1 и знака ´ . Проделаем следующие операции:

1. Заменим числа, содержащиеся в разрядах колонок таблицы (f), их отрицаниями по правилу `0=1, `1=0, `´= ´. Полученную таблицу обозначим f*.

2. Преобразуем каждую i-ю колонку таблицы (f*) в таблицу (f*_mi) из m_i колонок. Пусть i-я колонка таблицы (f*) содержит m_i разрядов с числами 0 или 1, а в остальных разрядах этой колонки стоит знак ´. Все колонки таблицы (f*_mi) имеют только один разряд с числом 0 или 1 в соответствии с содержимым данного разряда в i-й колонке таблицы (f*), а в остальных разрядах колонок таблицы (f_mi) стоит знак ´.

3. Последовательно перемножим все таблицы (f*_mi)×(f*m₂)´(f*m₃),..., пользуясь алгоритмом получения произведения булевых функций.

4. Подвергнем результат произведения операциям упрощения в соответствии с алгоритмом приведения булевой функции к тупиковой ДНФ. Полученная таблица будет представлять собой отрицание функции f(А_1, А₂, ...; Ω_1, Ω₂, ...)в форме простейшей суммы произведений.

Ниже будут рассмотрены задачи распознавания объектов и явлений (процессов), для решения которых используется изложенный аппарат алгебры логики.

 

§ 7.3. Распознавание состояний научно-технического прогресса*

*Этот параграф был написан В.А. Скрипкиным в годы существования СССР и плановой экономики, управляемой Госпланом СССР. Однако и в нынешних условиях рыночной экономики задачи, рассмотренные в этом параграфе, ни в коей мере не потеряли своей значимости, а от их эффективного решения во многом зависят, в конечном счете, рост внутреннего валового продукта (ВВП) нашей страны и непосредственно связанное с ним повышение благосостояния нашего народа. В условиях рыночной экономики основной целью каждого производственного объединения (холдинга, финансово-промышленной группы, корпорации, компании и т. д.) является повышение эффективности производства. При этом одним из важнейших направлений повышения эффективности промышленного производства является реализация в рамках производственных объединений в каждой конкретной ситуации максимально достижимого научно-технического прогресса (НТП).

 

Организация управления НТП основывается на возможности распознать достигнутое состояние материально-технического базиса, наметить очередные рубежи в виде некоторой совокупности целей, выделить из этой совокупности те цели, которые непосредственно связаны с НТП, выбрать систему мероприятий, реализующих поставленные цели, и привести в действие организационно-правовой, экономический и социальный механизмы, обеспечивающие выполнение мероприятий, а тем самым и достижение нового запланированного состояния базиса.

Определение и структуризация целей НТП и соответствующей системы мероприятий, обеспечивающих достижение целей, составляют важнейший этап в организации управления НТП. НТП как интегральный процесс совершенствования материально-технического базиса общества складывается из множества процессов, протекающих в отраслях народного хозяйства и регионах. Это означает, что глобальные цели НТП могут быть представлены через взаимоувязанные в масштабе страны цели НТП в отдельных отраслях и регионах. В свою очередь, отрасль как народнохозяйственная система состоит из промышленных или производственных объединений и предприятий. Соответственно этому цели НТП отрасли расчленяются на цели НТП в объединениях и на предприятиях, согласованные в общем плане развития отрасли.

Изложим возможный методический подход к распознаванию состояний и организации управления НТП, основанный на использовании аппарата алгебры логики, на примере систематизации целей и мероприятий, относящихся к верхнему уровню системы управления народным хозяйством (перенесение результатов на уровень отрасли, объединения или предприятия проводится по аналогии).

Существенной особенностью НТП на уровне экономики страны и в масштабе всякой производственно-хозяйственной организации является многоцелевая направленность. Это объясняется тем, что каждая производственно-хозяйственная организация имеет не одну, а множество экономических целей (повышение фондоотдачи оборудования, снижение материалоемкости продукции, повышение производительности труда и др.) и, кроме того, функционирует одновременно в нескольких различных по характеру системах (производственно-экономической, политической, социальной, экологической). Вследствие этого наряду с экономическими целями производственно-хозяйственные организации имеют и такие цели, как социальное развитие самой организации и того региона, где расположена организация, сохранение или оздоровление окружающей среды, политическая направленность производственной деятельности и др.

Цели НТП для экономики страны в целом определяются глобальными социально-экономическими и политическими задачами, стоящими перед обществом (удовлетворение растущих материальных, социальных и духовных потребностей народа, повышение обороноспособности страны и др.), и в совокупности представляют собой перечень тех условий, выполнение которых необходимо для скорейшего решения глобальных общегосударственных задач.

К целям НТП первого уровня можно отнести: А₁ — повышение эффективности общественного производства; А₂ — интенсивное развитие производственно-технического потенциала экономики страны; А3 — скорейшее достижение научно обоснованного уровня и структуры материального потребления народа; А₄ — рост научно-технического потенциала страны; A₅ — сохранение и оздорвление окружающей среды.

Цели первого уровня относятся к компетенции высших государственных органов управления народным хозяйством — экономикой страны — правительство РФ, Министерства, Комитеты — и выдвигаются соответствующими организациями. Приведенные выше формулировки целей А₁ ..., А₅ следует рассматривать как более или менее правдоподобный пример, служащий для конкретной иллюстрации предлагаемого подхода.

Условимся наряду с приведенной трактовкой смысла символа A_i i=l, ..., 5 как формулировки соответствующей цели интерпретировать его также, как высказывание вида «цель А_i достигнута», тогда как `A_i будет означать высказывание «цель А_i не достигнута».

Пусть A_i и A_j обозначают формулировки или высказывания относительно двух каких-либо целей первого уровня. Сложную цель, составленную из двух совместно достигаемых целей A_i и A_j, будем записывать в виде А_i × A_j, т. е. как логическое произведение высказываний А_i и A_j. Применительно к целям НТП первого уровня общая сложная цель, составленная из пяти совместно достигнутых целей А₁ ..., А₅, будет представлена как А₁×А₂ ´ А₃×А_4×А₅.

Назвав цели НТП первого уровня А₁ ..., А₅ и допустив, что каждая из целей A_i может быть либо достигнута, либо не достигнута, мы, по существу, уже определили понятие состояния материально-технического базиса, обусловленное НТП, которое задается набором реализованных исходов для целей А₁, ..., А₅.

В общем случае цели НТП каждого уровня не являются независимыми. Связь между целями выражается в виде логических соотношений, которые ставят возможности достижения одних целей в зависимость от возможностей достижения других целей. Так, если принять, что оздоровление окружающей среды невозможно без роста научно-технического или производственно-технического потенциала, то данная зависимость выразится соотношением А₅®А₂×А₄, или

 

(7.20)

 

Полагая, что достижение научно обоснованного уровня и структуры материального потребления невозможно без повышения эффективности общественного производства и роста производственного, технического и научного потенциала, надо записать или

 

(7.21)

 

И наконец, согласившись с тем, что повышение эффективности общественного производства неосуществимо без интенсивного роста производственно-технического потенциала, а достижение этой последней цели, в свою очередь, невозможно без роста научно-технического потенциала страны, необходимо зафиксировать это утверждение в виде соотношений А₂®`А<sub>1,</sub> `А₄-®`А₂,или

 

(7.22)

Перемножив соотношения (7.20) — (7.22), получим

 

(7.23)

 

Сокращенный в соответствии с (7.23) базис b_с[А₁ ..., А₅] имеет вид

 

(7.24)

 

На основании (7.24) заключим, что из 32 возможных комбинаций исходов для целей А₁ ..., A₅ допустимыми (совместными со связями) являются только следующие 11:

 

(7.25)

 

Каждый из исходов (7.25) можно рассматривать как возможную точку в фазовом пространстве переменных А₁ ..., А₅.

Достижение каждой из целей НТП первого уровня А₁ ..., А₅, а следовательно, и переход от одной точки к другой в фазовом пространстве (7.25) обеспечивается рядом целевых мероприятий, выполняемых высшими государственными органами управления народным хозяйством с участием нижестоящих систем и производственно-хозяйственных организаций. К таким целевым мероприятиям, привязанным к соответствующим целям A_i можно отнести: а₁ — повышение технического уровня и темпов развития отраслей народного хозяйства, определяющих НТП в экономике топливно-энергетического комплекса, металлургии и машиностроения, химической промышленности, промышленного строительства, транспорта; а₂ — достижение оптимальных пропорций в развитии фондооснащенности комплексов отраслей народного хозяйства; а₃ — разработку и организацию выполнения комплексных программ совершенствования экономики территориального размещения производства, его специализации, межотраслевого кооперирования, концентрации, внедрении НОТ; а₄ — разработку предложений, апробирование и осуществление мероприятий по совершенствованию системы управления экономикой страны; а₅ — улучшение условий труда, техническое перевооружение отраслей с тяжелыми и вредными условиями труда, электрификацию, комплексную механизацию, автоматизацию производства; Об — повышение качества и надежности продукции производственно-технического назначения на основе системы госстандартов и метрологического обеспечения; а₇ — освоение новых производственных мощностей в отраслях народного хозяйства на базе строительства предприятий и оснащения их новой техникой; а₈ — реконструкцию и техническое перевооружение действующих предприятий, модернизацию оборудования, технологии; a₉ — освоение и массовый выпуск новых видов продукции производственно-технического назначения с улучшенными характеристиками или традиционной продукции со сниженной себестоимостью; a₁₀ — развитие новых экономически эффективных отраслей народного хозяйства; а₁₁ — подготовку кадров, повышение квалификации ИТР, рабочих и служащих; а₁₂ — высвобождение (относительное) рабочей силы за счет модернизации оборудования или технологии, научной организации труда; а₁₃ — массовое производство новых видов товаров и услуг для населения; а₁₄ — повышение качества и надежности продукции народного потребления; а₁₅ — снижение себестоимости продукции народного потребления; а₁₆ — прогрессивное развитие жилищного строительства; а₁₇ — эффективное проведение фундаментальных исследований в системах РАН, высшей школы и отраслевых НИИ; а₁₈ — подготовку научных кадров высшей квалификации; a₁₉ — совершенствование системы межотраслевой научно-технической информации; а₂₀ — определение основных направлений развития науки и техники, разработку долгосрочных комплексных программ, пятилетних и годовых планов развития НТП в народном хозяйстве страны; а₂₁ — организацию контроля за внедрением в производство важнейших достижений науки и техники; а₂₂ — проведение работ в рамках международного научно-технического сотрудничества, обмен информацией, покупку—продажу лицензий; а₂₃ — разработку межотраслевых комплексных программ и планов развития народного хозяйства регионов (экономических районов), предусматривающих сохранение экологических систем или замену их на соответствующие устойчивые экосистемы; а₂₄ — правовое, организационное и материально-техническое обеспечение мероприятий по оснащению производств очистными сооружениями, контроль за правильным применением химических удобрений, пестицидов и т. п.; а₂₅ — организацию межведомственного контроля за выполнением мероприятий по охране и восстановлению окружающей среды, включая озеленение отвалов, возобновление лесов и т. д.

Мероприятия а₁ ..., а₂₅ выполняют роль управлений, переводящих систему из одного возможного состояния в другие на множестве точек (7.25). В самом общем случае связи между целями А₁ ..., А₅ и мероприятиями а₁ ..., а₂₅, согласующиеся с выбранным разбиением мероприятий по целям, можно представить системой соотношений

 

(7.26)

 

Первое из соотношений (7.26) утверждает, что если цель А₁ достигнута, то выполнено хотя бы одно из мероприятий а₁, ..., а₆ или любая их комбинация в виде логического произведения представляющих их высказываний. Смысл второго соотношения (7.26) очевиден: выполнение комплекса мероприятий а₁ ..., а₆ в совокупности обеспечивает достижение цели А₁. Остальные соотношения (7.26) интерпретируются аналогично.

На основе более глубокого анализа зависимости между A_i и a_j можно установить дополнительные к (7.26) соотношения, конкретизирующие условия достижения целей А₁ ..., А₅, а также выявить логические связи между мероприятиями а₁ ..., а₂₅. Например, если принять, что без повышения уровня и темпов развития отраслей народного хозяйства, определяющих НТП в экономике (а₁) или без достижения оптимальных пропорций в развитии фондооснащенности отраслей (а₂) невозможно повысить эффективность общественного производства (A₁), то придем к соотношению

 

(7.27)

 

Согласившись с тем, что без технического перевооружения отраслей с тяжелыми и вредными условиями труда (д₅) не удастся достичь оптимальных пропорций в развитии фондооснащенности отраслей (а₂), запишем соотношение

 

(7.28)

 

Аналогично можно утверждать, что

 

(7.29)

 

т. е. если не осваиваются новые производственные мощности (а₇), или не проводится модернизация оборудования (а₈), или не подготавливаются кадры (а₁₁), то не обеспечивается интенсивное развитие производственно-технического потенциала народного хозяйства (А₂). Так как развитие новых отраслей (а₁₀), освоение новой техники (а₇), модернизация оборудования (а₈) и выпуск новой продукции (а₉) не могут не сопровождаться подготовкой и переподготовкой кадров (а₁₁), то должно выполняться соотношение

 

(7.30)

 

Кроме того, верно соотношение

 

(7.31)

 

т. е. высвобождения рабочей силы (а₁₂) не происходит, если не обновляется оборудование или технология (а₈). Точно так же можно утверждать, что

 

(7.32)

 

т. е. если новые производственные мощности осваиваются (а₇) или модернизируется техника и технология (а₈), или развиваются новые отрасли (а₁₀), но при этом отсутствует массовый выпуск новой продукции производственно-технического назначения (a₉), то не произойдет роста производственно-технического потенциала народного хозяйства (А₂). По-видимому, не должно вызывать возражений утверждение

 

(7.33)

 

— научно обоснованный уровень материального потребления (А₃) не обеспечивается, если не организовано массовое производство новых видов товаров и услуг (а₁₃), или не повышается качество и надежность продукции народного потребления (а₁₄), или не снижается себестоимость продукции (a₁₅), или не развернуто жилищное строительство (а₁₅). Учитывая шестое из соотношений (7.26), можно заменить (7.33) зависимостью

 

(7.34)

 

Далее, очевидно, что без фундаментальных исследований (а₁₇) или без подготовки научных кадров высшей квалификации (а₁₈) невозможно повысить научно-технический потенциал страны (А₄), поэтому

 

(7.35)

 

Также верно

 

(7.36)

 

т. е. если отсутствуют кадровые ученые (а₁₈) или если не налажена система внутреннего обмена научно-технической информацией (а₁₉) и не проводятся работы по международному обмену научно-технической информацией (а₂₂), то не будет обеспечено проведение фундаментальных исследований (а₁₇).

В отношении цели А₅ — оздоровления окружающей среды, по аналогии с целью А₃, примем

 

(7.37)

 

иначе говоря, разработка комплексных целевых программ и на их основе планов развития экономических регионов, учитывающих требования сохранения экологических систем регионов (а₂₃), правовое, организационное и материально-техническое обеспечение запланированных мероприятий (а₂₄) и контроль за их исполнением (а₂₅) в совокупности образуют полный набор мер, обеспечивающих достижение цели А₅.

Причинно-следственные связи (7.26), (7.27), (7.29), (7.32), (7.34), (7.35) и (7.37) являются аналогом уравнений, определяющих последующие состояния управляемой динамической системы, тогда как зависимости (7.28), (7.30), (7.31) и (7.36) выполняют роль ограничений, наложенных на управления а_1, ..., а₂₅.

Система соотношений (7.23) — (7.37) позволяет решать следующие задачи.

Задача 1. Относительно каждого мероприятия из набора а₁, ..., ..., а₂₅ ила какой-либо части этих мероприятий известно, выполнены данные мероприятия или нет. Требуется распознать состояние НТП, т. е. определить, какие выводы можно сделать относительно того, достигнуты или не достигнуты цели А₁, ..., А₅.

С формальной точки зрения, по заданной булевой функции f(a₁ ..., a₂₅)=l требуется определить неизвестную булеву функцию F(A_1, ..., A₅), связанную с / соотношением f(a_1, ..., a₂₅)®F(A₁,..., A₅) при условии, что на элементы a_j, A_i наложены связи (7.23) — (7.37).

Для определения значений истинности элементов а₁ ..., а₂₅ при решении данной задачи необходимо привлекать специально выбранные социально-экономические показатели, входящие в народнохозяйственные планы и используемые в системе государственной отчетности, в частности, например, установление значения истинности а₂ — достижения оптимальных пропорций в развитии фондооснащенности отраслей — может потребовать проведения ретроспективного анализа динамики структурных сдвигов в отраслях народного хозяйства.

Задача 2. Требуется определить, какие выводы можно сделать относительно того, выполнены или не выполнены мероприятия а₁, ..., а_25. С формальной точки зрения по заданной булевой функции X(A_1, ..., A₅) при наличии зависимостей (7.23) — (7.37) требуется найти неизвестную булеву функцию х(а₁, ..., а₂₅), связанную с X соотношением Х(А₁, ..., A₅)®x(a₁, ..., а₂₅); известны реализованные исходы для целей А₁, ..., A₅.

Задача 3. Задано обусловленное НТП состояние базиса, которого необходимо достичь, т. е. задана булева функция Y(A_1, ..., ..., А₅) в виде одного из 11 приведенных в (7.25) логических произведений, составленных из А_i и А_k, в виде логической суммы данных произведений. Требуется определить совокупность мероприятий, которые должны быть выполнены, чтобы обеспечить достижение состояния Y(A_1, ..., А₅), т. е. требуется найти неизвестную булеву функцию у(a₁ ..., а₂₅), связанную с Y соотношением у(а₁, ..., a₂₅)®Y(A_1, ..., А₅) при наличии зависимостей (7.23)-(7.37).

Специфический вид исходных зависимостей, проявляющийся в слабо выраженных связях между отдельными наборами элементов а_j при большом числе этих элементов, указывает на то, что стандартный способ решения задач 1 — 3, основанный на построении сокращенного базиса b_с[а₁, ..., а₂₅; A_1, ..., А₅], в данном случае неэффективен. Существенно упростить вычисления, необходимые для нахождения функций F(A_1, ..., А₅), х(а_1, ..., а₂₅), у(а₁ ..., а₂₅) в задачах 1—3, можно при независимом решении уравнений, относящихся к каждому из элементов А₁ ..., A₅. В соответствии с этим перемножим между собой следующие соотношения: первые два из (7.26) и (7.27), (7.28), третье и четвертое из (7.26) и (7.29) — (7.32), седьмое и восьмое из (7.26) и (7.35), (7.36), в результате получим

 

(7.38)

 

Уравнения (7.38) совместно с (7.23), (7.34), (7.37) эквивалентны исходным соотношениям (7.23) — (7.37). Следствием уравнений (7.38), (7.23) являются соотношения

 

(7.39)

(7.40)

 

(7.41)

 

Опираясь на соотношения (7.39) — (7.41) и (7.34), (7.37), можно находить решения задач 1—3. Например, если в задаче 1

 

 

Если в задаче 2 функция Х=`А<sub>3</sub> × `А₅, то

 

 

т. е. цели А₃ и А₅ не достигнуты из-за того, что не выполнены какие-либо из мероприятий а₁₃ и а₂₃, а₁₃ и а₂₄ и т. д. Если в задаче 3 Y= A₁×A₂×A₃×A₄×А₅, то

 

 

т. е. для достижения состояния, представленного функцией Y, достаточно дополнительно добиться выполнения совокупности мероприятий a₁₃ — a₁₆ и т. п.