Перпендикуляр

Ход урока. Деятельность учителя Деятельность ученика – Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась? – Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых.А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве? – Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей». – В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек, в частности перпендикулярность прямых.

По аналогии с изучением темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии. – Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. – Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»? – А какие задачи решали? – Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков.Что нам предстоит сделать теперь? – А что значит привести знания в систему? – Правильно.

А как будет звучать тема сегодняшнего урока? – Хорошо. Цели мы уже сформулировали.Запишем тему. –Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями. – Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы. – Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе. – Выделить основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить основные типы задач и методы их решения. – Перпендикулярность прямых и плоскостей. – Перпендикулярность каких объектов мы изучили? – Будем работать с таблицей. < Открывает заголовок таблицы 1> – Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью.

Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными? – Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает соответствующий рисунок> – Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали? – Сформулируйте ее. < Открывает рисунок> – Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости.

Начнем с определения. < Открывает рисунок> – В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте и формулируйте их. <Открывает соответствующие рисунки> – В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней. А как вы думаете почему? –Молодец! Рассмотрим последнюю часть.

Какие две плоскости называются перпендикулярными? –Какие факты можно отнести в эту часть? – Правильно.Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их – заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости.

При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока <показывает столбцы> и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность – мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей.Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7. –Хорошо.

Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …». <Аналогичная работа проводится для оставшихся двух случаев> – Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. – Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 . – Они могут пересекаться и скрещиваться. – Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей. <Формулируют> – Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. – Признак перпендикулярности прямой и плоскости <формулирует>. – Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости <формулирует> . – Теорема о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой <формулирует>. – Потому что она доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости. – Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 . –Признак перпендикулярности двух плоскостей. &#61485; Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если &#61485; одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна; &#61485; одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости; &#61485; одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой. <Ученики формулируют следующие эвристики: Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если &#61485; прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости; &#61485; прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости; &#61485; данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой.

Две плоскости перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости. > –Давайте теперь поработаем с задачей.

Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства. – Работаем в парах.

Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй – перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд – пары перпендикулярных плоскостей.

Даю вам 5 минут. – Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. <Записи на доске делает ученик> –Хорошо.Послушаем теперь второй ряд. –Третий ряд, пожалуйста. <Работают> < Ученики называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое использовали> – DO&#61534;AB (DO&#61534;ABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости , DO, в частности, перпендикулярно АВ) – DO&#61534;AC, DO&#61534;BC (аналогично) – DC&#61534;AB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме). –DO&#61534;ABC(по условию). –AB&#61534;COD,CO&#61534;ADB(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). –DAB&#61534;ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) –DOC&#61534;ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) –DOC& #61534;ADB (по признаку перпендикулярности плоскостей). – Мы знаем, что изученная тема позволяет ввести метрические характеристики пространства: расстояния между объектами и углы между ними. Давайте повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. <Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве»> <Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице> –Что называется расстоянием от точки до прямой? –Какие еще расстояния можете назвать? – Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний. – То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в таблице. – Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали.<Открывает заголовок: «Углы в пространстве»> – Опишите это понятие. <Открывает соответствующий рисунок> – Какие еще углы вы знаете? – Решение задач на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников. – Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой. – От точки до плоскости.

Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной плоскости. – Расстояние между параллельными прямыми.

Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой. – Между параллельными прямой и плоскостью.

Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости. – Между параллельными плоскостями – расстояние от произвольной точки одной из плоскостей к другой. – Между скрещивающимися прямыми– расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой. – Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию.

Затем включали его в треугольник. – Угол между прямыми. – Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними. – Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. – И угол между плоскостями – это наименьший двугранный угол, образованный при их пересечении. – Вернемся к задаче.

Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем использовать тот же рисунок.

Две минуты вам на размышление. – Начнем с первого задания. – Как вычислять угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай. –Второй ряд, пожалуйста. –И последний угол? –Дорешаете дома. –Следующее задание.

Найдите расстояния от т. D до пл. АВС, от С до АDВ, от А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку. –Отлично! Теперь найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС. Эту задачу будем решать на новом рисунке. –Итак, начнем. –Далее. Прежде чем вычислять, нужно правильно построить искомый отрезок.Пусть кто-нибудь выйдет к доске и построит его. – Мы не знаем как изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В какой еще плоскости расположена прямая ВС? – Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости? – То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной.

Что отсюда следует? – А через какую точку пройдет проекция наклонной? – Значит нужно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать? – А если бы мы и о треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС? – Как найти DК? – Как найти расстояние от D до АС? Постройте его на доске. – Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача №7. – Назовите их и докажите. –Как их найти? – Так как ОD&#61534;АВС, то АО – проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно &#61648;DАО – угол между DА и АВС. – Его можно найти из прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ. –Угол между DВ и АВС – это &#61648;DВО. –Угол между DС и АВС – это &#61648;DСО. – Так как DО – перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО – искомое расстояние. – Мы доказывали, что СО&#61534;DАВ, значит СО–расстояние от С до DАВ. –АВ&#61534;DОС, то АО–расстояние от А до DОС. Так как DО перпендикулярно АВ, то DО – расстояние между D и прямой АВ. –АВС. – Наклонной. – Она должна быть перпендикулярной к проекции. – Через точку О, так как она проекция точки D. – Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М–середина ВС, тогда АМ – медиана правильного &#8710;АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК параллельно АМ, тогда ОК&#61534;ВС, и ОК–проекция DК на АВС. При этом DК&#61534;ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому DК–расстояние от точки D до прямой ВС. – Произвольно. – Его можно найти из треугольника DОК. DО известно, ОК равно половине АМ, так как ОК – средняя линия &#8710;АМВ. – Аналогично, причем DL равно DК. – Они уже построены. – &#61648;DКО – линейный угол двугранного угла при ребре ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК перпендикулярна ВС. Аналогично, &#61648;DLО – линейный угол двугранного угла при ребре АС. – Например, &#61648;DКО можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO равен углу DКО. – Это все задания, которые мы планировали решить на уроке. – А теперь подведем итоги сегодняшней работы.

Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве.

Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. – Какие типы задач нами были рассмотрены? –Как вы думаете какое значение имеет данная тема в курсе стереометрии? –на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями. –позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами. – Что вы теперь умеете делать? – Необходимо помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить вычисления. – Мы умеем доказывать перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как то находить расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между прямой и плоскостью, между плоскостями. Дома оформить решение последней задачи и подготовиться к контрольной работе.

Расстояния в пространстве (Таблица 1) От точки до прямой Между параллельными прямыми От точки до плоскости Между парал–лельными прямой и плоскостью Между параллельными плоскостями Между скрещивающимися прямыми AM &#61534; &#945; AM &#61534; &#945; AM &#61534; &#946; AM &#61534; &#946; Решение треугольников Углы в пространстве Между прямыми Между наклонной к плоскости и плоскостью Между плоскостями 0&#61616; < &#966; &#8804; 90&#61616; 0&#61616; < &#966; < 90&#61616; 0&#61616; < &#966; &#8804; 90&#61616; Решение треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей Перпендикулярные прямые Перпендикулярные прямая и плоскость Перпендикулярные плоскости Записи на доске и в тетрадях Перпендикулярность прямых и плоскостей Дано: &#8710;АВС &#61485; равносторонний, О &#61485; середина АВ, ОD &#61534; АВС. АВ=6см, ОD=3см. 1. Найти пары перпендикулярных прямых.

Решение. а) DO&#61534;AB, DO&#61534;AC, DO&#61534;BC (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). б) DC&#61534;AB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме). 2. Найти пары перпендикулярных прямой и плоскости.

Решение. а) DO&#61534;ABC(по условию). б)AB&#61534;COD, CO&#61534;ADB (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). 3. Найти пары двух плоскостей.

Решение.

DAB&#61534;ABC, DOC&#61534;АВС, DOC&#61534;ADB (по признаку перпендикулярности плоскостей). 4.Найти углы между DA, DB, DC и плоскостью ABC. Решение.

Так как ОD&#61534;АВС, то АО – проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно &#61648;DАО – угол между DА и АВС. 5. Найдите расстояния от т. D до плоскости АВС, от С до АDВ, от А до DОС. 6. Найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.