Уравнение касательной и нормали к плоской кривой

у1

у0

Пусть дана кривая L, заданная уравнением . Возьмем на ней фиксированную точку М_о(х₀;у₀)_. Если точка М₁(х₁;у₁) тоже принадлежит кривой L, то прямая М₀ М₁ называется секущей. Будем перемещать М₁ вдоль L так, чтобы

М₁ стремилась к совпадению с М₀ . Предельное положение секущей М₀ М₁ (если оно существует) при

М₁ →М₀ называется касательной к кривой L в точке М₀.

Обозначим:

Т.к. М₁ →М_{0, ,} где k – угловой коэффициент касательной.

В этом и заключается геометрический смысл производной функции:

- производная функции равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику данной функции в точке с абсциссой , а также тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.

Уравнение касательной, проведенной к кривой, заданной графиком , в точке М_о(х₀;у₀) с конечным угловым коэффициентом запишется так:

Из вышеизложенного видно, что наличие в точке графика функции касательной, непараллельной оси ординат (т.к. ), эквивалентно дифференцируемости функции в соответствующей точке.

Кроме касательной к графику функции в некоторой точке М_о(х₀;у₀)_, рассматривается и другая прямая, проходящая через эту точку. Прямая, перпендикулярная касательной к кривой и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Из определения нормали следует, что её угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной равенством, выражающим условие перпендикулярности двух прямых. Тогда уравнение нормали запишется так:

Если же , то нормаль параллельна оси ординат.

Пример1. Напишите уравнение касательной и нормали к линии в точке

М

1/4

1/2

В рассматриваемом примере

Найдем

Подставим полученные значения в уравнения

касательной и нормали.

Пример2. Определите угол наклона касательной, проведенной к кривой в точке с абсциссой

Т.к. , то следует найти производную.

*Составьте уравнение касательной и нормали к графику в точке

а)

б)

в)

*Найдите углы, которые образуют касательные к кривым, проведенные в точке пересечения с осью абсцисс

а)

б)

*В какой точке графика функции касательная наклонена к оси Ох под углом ?

а)

б)

*Является ли прямая касательной к графику функции

*Найдите точки, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

*Найдите уравнение прямой, проходящей через точку Р(0;2), касающейся графика функции и пересекающей в двух различных точках параболу