рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Анализ уравнения регрессии

Анализ уравнения регрессии - раздел Программирование, Курсовая работа по курсу "Вычислительная математика и программирование" по теме "Обработка экспериментальных данных"   Дисперсия Адекватности Модели SАд2 Хара...

 

Дисперсия адекватности модели Sад2 характеризует меру отклонения данных , полученных расчетом по уравнению регрессии (2.17) от реальных экспериментальных результатов yi для i-й точки, в которой проведено измерение. Значение Sад2 находят по формуле:

  Sад2 = , (2.23)

при числе степеней свободы f = n – 2.

После вычисления коэффициентов модели a и b вычисляют дисперсии Sa2 и Sb2,связанные с определением коэффициентов:

  Sb2=; Sa2=, (2.24)

при числе степеней свободы f = n – 2.

После вычисления дисперсий следует проверить статистическую значимость a и b. Эта проверка дает ответ на вопросы о том, проходит ли прямая (2.13) через начало координат или нет, и отличается ли угол ее наклона от 450. Наиболее простым критерием значимости для такой проверки является критерий Стьюдента (t–.критерий). Величина критерия Стьюдента зависит от уровня доверительности Р и числа степеней свободы f , т.е. t = t(Р, f). Часто вместо уровня доверительности пользуются понятием уровень значимости α = 1– Р .

Значения критерия Стьюдента для Р = 0.95приведены в табл.2.4.

Таблица 2.4

Значения критерия Стьюдента для уровня доверительности Р = 0.95

n-k
t 12.7 4.30 2.80 2.45 2.30 2.23 2.03 2.09 2.04

 

где n – число опытов, k – число определяемых из них констант

Доверительные границы a иb для этих коэффициентов вычисляются по формулам:

  a=tα/2,f ∙sa ; b=tα/2,f ∙sb (2.25)

Коэффициенты уравнения значимы, если выполняются условия a>a и b>b.

После определения коэффициентов регрессии и оценки их значимости проверяют адекватность самого уравнения регрессии. Отклонение расчетного значения от экспериментального yi может иметь место либо потому, что избранная модель несовершенна, либо вследствие случайных погрешностей. Поэтому статистическая оценка адекватности производится по F–критерию:

  Fэксп=Sад2/Sy2 (2.2)

при числе степеней свободы числителя n–2, а знаменателя n(m –1). Здесь Sy2 –дисперсия воспроизводимости при измерении величины y или выборочная дисперсия.

Значения критерия Фишера для уровня доверительности Р = 0.95приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5

Значения критерия Фишера для уровня доверительности Р = 0.95

m–1 (m-k) F–критерий при разных n-k
18.50 19.00 19.25 19.33 19.37 19.39 19.43 19.47
10.13 9.55 9.12 8.94 8.84 8.78 8.69 8.60
7.71 6.94 6.39 6.16 6.04 5.96 5.84 5.71
6.61 5.79 5.19 4.95 4.82 4.74 4.60 4.46
5.99 5.14 4.53 4.28 4.15 4.06 3.92 3.77
5.32 4.46 3.84 3.58 3.44 3.34 3.20 3.06

где m – число параллельных опытов

Выборочная дисперсия Sy2 определяется при обработке результатов параллельных измерений yi в каждой точке по формуле:

.

Eсли значение Fэксп , полученное по формуле (2.26), меньше табличного при избранном уровне значимости, то уравнение (2.3) адекватно описывает экспериментальные результаты. Если Fэксп.Fтабл, следует предложить другой вид уравнения и исследовать новое уравнение регрессии.

 

Пример2.3. Зависимость давления насыщенного пара бензола от температуры выражается следующими экспериментальными данными (табл. 2.6)

Таблица 2.6

Давление насыщенного пара бензола при разных температурах

T, K 270.5 280.8 288.6 299.2 315.4 333.8 353.2
P×10—5, Па 0.0267 0.0533 0.080 0.1333 0.2667 0.5333 1.0133

Для этой зависимости определить коэффициенты уравнений линейной регрессии

Р = b + a × T (2.27)

и нелинейной регрессии вида

Р = b × exp (a/T) (2.28)

Произвести анализ адекватности обеих моделей

Для линейной регрессии (Y = a + b × X) определяем коэффициенты нормальных уравнений.

Для этого проводим предварительные вычисления (см. табл. 2.7).

Система нормальных уравнений имеет вид:

7 × а + 2.141×10 3× b = 2.106×10 5 2.141×10 3 × а + 6.609×10 5 × b = 7.052×10 7 (2.29)

Решив систему (2.29) находим значения коэффициентов

a = – 2.806 × 105

b = 1016

Линейная регрессия имеет вид:

P = – 2.806 × 105 + 1016 T, (2.30)

где Р – давление, Па; Т – температура, К.

 

Таблица 2.7

Данные для расчета коэффициентов нормальных уравнений

I X = T Y = P X×Y X2
1 270.5 2670 722200 73170
2 280.8 5330 1496700 78849
3 288.6 8000 2308800 83290
4 299.2 13330 3988300 89521
5 315.4 26670 8411700 99477
6 333.8 53330 17801500 111422
7 353.2 101330 35789700 125174
S 2141.5 2.106×105 7.052×107 6.609×105

 

Рассчитываем по уравнению (2.30) давление пара в каждой точке (табл. 2.8).

Таблица 2.8

Расчетное давление пара (по уравнению (2.30))

I X = T Y = P Y– (Y–)2
1 270.5 2670 –5800 8470 71.74×106
2 280.8 5330 4700 630 0.040×106
3 288.6 8000 12600 –4600 21.16×106
4 299.2 13330 23400 –10070 101.40×106
5 315.4 26670 39800 –13130 172.40×106
6 333.8 53330 58500 –5170 26.73×106
7 353.2 101330 78200 –23130 535.00×106
S       928.43×106

Дисперсия адекватности модели (по формуле 2.23)

Sад = (928.43×106)/(7–2) = 185 ×106

Выборочную дисперсию Sy2 определяем по точности измерения давления dy = ± 2% и, следовательно, по среднему отклонению

Dy = ± 0.02×Y ср = ± 0.02×SYi / 7 = ± 0.02× 210660 / 7 = ± 602 Па

При минимальном количестве параллельных измерений в каждой точке m = 2 дисперсия воспроизводимости составит:

Sy2= = 0.725∙106

Критерий Фишера по формуле (2.26)

Табличное значение критерия Фишера () находим по числу степеней свободы числителя () и знаменателя ()

,

где = 7, количество экспериментальных точек ;

= 2, количество найденных коэффициентов модели ;

= 2, количество параллельных измерений в каждой точке, принимаем минимальное значение = 2.

По табл.2.5 F5,1 = 229.5.

Так как Fэкс > Fтабл,, то линейная модель неадекватна результатам эксперимента. Это видно и по величинам вычисленных значений , которые значительно отличаются от экспериментальных.

При выполнении курсовой работы возможны варианты адекватности линейной модели.

 

Рассмотрим теперь уравнение нелинейной регрессии. Заданную нелинейную зависимость (2.28) необходимо предварительно привести к линейному виду. Логарифмируя формулу (2.28), получим:

lg P = lg b + a×lg e/T (2.31)

Обозначив Y= lgP; a0 = lgb; a1= a×lge; X= 1/T, получим следующую линейную зависимость:

Y = a0 + a1×X (2.32)

Вычисленные значения Y= lgP; X= 1/T приведены в табл. 2.9.

Таблица 2.9

Определение коэффициентов системы нормальных уравнений

I X = 1/T Y = lgP X2 X×Y
0.003697 -1.5735 1.367×10-5 -5.817×10-3
0.003561 -1.2733 1.268×10-5 -4.534×10-3
0.003465 -1.0969 1.201×10-5 -3.801×10-3
0.003342 -0.8752 1.117×10-5 -2.925×10-3
0.003171 -0.5740 1.006×10-5 -1.820×10-3
0.002952 -0.2730 0.8714×10-5 -0.806×10-3
0.002831 0.005738 0.8015×10-5 0.01624×10-3
S 0.02302 -5.6602 7.632×10-5 -0.01969

Система нормальных уравнений имеет вид:

7×a0 + 0.02303×a1= -5.6602 (2.33)
0.02303×a0 + 0.7632×10-4×a1 = -0.01969

Решив систему (2.33), находим значение коэффициентов a0 = 4.998 и a1 = -1767.4.

Поскольку, в силу введенных нами обозначений a0 = lgb, то b = 99471.8; a1= a×lge, то a =lgа = –1767.4/0.4343= -4069.5.

Тогда искомая зависимость примет вид:

p = 99471.8×e-4069.5/T (2.34)

где р – давление насыщенного пара, бар (1 бар = 105Па).

Рассчитываем по уравнению (2.34) давление пара в каждой точке (табл. 2.10).

Адекватность модели проверяем аналогично предыдущему варианту.

Дисперсия адекватности модели (по формуле 2.23)

Sад = (6.2476×10-3)/(7–2) = 1.2495 ×10-3

Среднее отклонение при измерении давления (в барах) составит:

∆y = ± 602×10-5 = ± 6.02×10-3 бар

Выборочная дисперсия воспроизводимости

Sy2 = =7.248×10-5

Критерий Фишера по формуле (2.26)

Таблица 2.10

Расчетное давление пара (по уравнению (2.34))

I X = T, K Y = P, бар Y– (Y–)2
1 270.5 0.0267 0.0291 –0.0024 0.00576×10-3
2 280.8 0.0533 0.0505 0.0028 0.00784×10-3
3 288.6 0.0800 0.0748 0.0052 0.0270×10-3
4 299.2 0.1333 0.1233 0.010 0.100×10-3
5 315.4 0.2667 0.2477 0.0190 0.361×10-3
6 333.8 0.5333 0.6039 –0.0706 4.984×10-3
7 353.2 1.0133 0.9857 0.0276 0.762×10-3
S       6.2476×10-3

 

Табличное значение критерия Фишера () остается такое же F5,1 = 229.5.

В данном случае Fэкс < Fтабл,, поэтому исследуемая нелинейная модель может быть принята как адекватная.

При выполнении курсовой работы возможен вариант неадекватности и нелинейной модели.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Курсовая работа по курсу "Вычислительная математика и программирование" по теме "Обработка экспериментальных данных"

Одесский государственный политехнический университет.. химико технологический факультет..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Анализ уравнения регрессии

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я
  по выполнению курсовой работы по курсу "Вычислительная математика и программирование" по теме "Обработка экспериментальных данных" для

Одесса 1999
Методические указания по выполнению курсовой работы по курсу "Вычислительная математика и программирование" по теме "Обработка экспериментальных данных" для студентов 1 кур

СТРУКТУРА КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Курсовая работа состоит из двух частей. При выполнении первой части курсовой работы по заданным экспериментальным данным необходимо: 1) провести корреляционный анализ и установить наличие

Теоретические сведения
Под корреляцией понимается всякая связь между двумя или несколькими исследуемыми явлениями. Она может быть детерминистической или случайной (вероятностной). Первый тип связи

Линейная корреляция
Предположим, известно, что случайные величины Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью (обе линии регрессии прямые). Требуется по опытным данным найти уравнения прямых линий регрессии Х н

Метод наименьших квадратов
  Исследование и оптимизация сложных, плохо организованных систем возможны лишь с помощью статистических, вероятностных методов. Исходной точкой для таких исследований является аналог

Метод наименьших квадратов
Эмпирическая формула в общем виде может быть записана в следующем виде:  

Требуется определить коэффициент эмпирической формулы
  F(Xi,aj) = a + b∙Xi. (2.17) Тогда выражение (2.15) примет вид:

Представление экспериментальных данных формулами без использования МНК
Для расчетов и оптимизации, как правило, вместо табличных данных и графиков используются формулы, которые отражают закономерности табличного или графического материала. Когда теория процесса отсутс

Выбор эмпирической формулы. Метод выравнивания.
  В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости. В других случаях приходится подбир

Метод выбранных точек
Пусть эмпирическая формула имеет вид (2.35) Требуется найти значение коэффициентов а и b. Наносим на координатную плоскость опытные точки (Xi,Yi). Как можно ближе к этим точкам проводим пр

Метод средних
Пусть эмпирическая формула имеет вид (2.35). Подставим в нее в место Х и Y опытные значения Xi и Yi. Так как левая часть формулы обычно не равна правой, получим систему уравне

Постановка задачи интерполирования
Пусть некоторая функция Y=f(Х) задана таблицей (табл. 3.1), т.е. при значениях аргумента X = X0, X1, ..., Xn функция f(Х)

Метод Лагранжа
Пусть при Х = Х0, Х1, Х2, ..., Хn функция f(X)принимает соответственно значения Y0, Y1, Y

Понятие о конечных разностях различных порядков
Для таблицы функцииY = f(X) с постоянным шагом h (т.е. с равноотстоящими узлами интерполяции):   Xk

Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
  Будем искать многочлен Рn(х) степени п, удовлетворяю­щий условиям (3.2), в виде  

Вторая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
  Получим формулу, которой удобно пользоваться для ин­терполирования (экстраполирования) функции у =f(х) в конце таблицы. Напишем искомый интерполяционный мног

Конечные разности
  X y Dy D2y D3y 283,15 1,308

Обратное интерполирование
  Пусть функция у = f(х) задана таблично. Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному зна­чению функции

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги