рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Программирование
/
Метод наименьших квадратов

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов - раздел Программирование, Курсовая работа по курсу "Вычислительная математика и программирование" по теме "Обработка экспериментальных данных" Эмпирическая Формула В Общем Виде Может Быть Записана В Следующем Виде: ...

Эмпирическая формула в общем виде может быть записана в следующем виде:

= F(X_i, a_j),

(2.13)

где Х_i — независимые переменные; a_j— коэффициенты эмпирической зависимости.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами в смысле приближения к экспериментальным данным (y_i=f(X_i)), будут коэффициенты, найденные из условия:

min{R(a_j)} =

(i=1,2,...,n; j=0,1,...,m)

(2.14)

т.е. минимума суммы квадратов отклонений между экспериментальными и расчетными значениями. В дальнейшем, вместо будем использовать Σ.

При фиксированных значениях Х функция R(a_j) является положительно определенной (заданной и непрерывной в интервале [X₁,X_n]) функцией и, следовательно, имеет экстремум. Необходимым условием существования экстремума функции нескольких переменных является равенство нулю частных производных.

Пусть эмпирическая формула имеет вид

F(X_i,a_j) = a₀+ a₁.X_i + a₂X_i² + ... + a_m.X_i^m

Тогда выражение (2.13) можно записать в следующем виде:

F(a_j) =Σ (a₀+ a₁.X_i + a₂X_i² + ... + a_m.X_i^m – y_i)²

(2.15)

Найдем частные производные функции R(a₀, a₁,...,a_m) по a₀, a₁,...,a_m и приравняем их к нулю. Получим так называемую нормальную систему m+1 уравнений с m+1 неизвестными a₀, a₁,...,a_m :

∂R/∂a₀ = 2∑(a₀ + a₁X_i+ a₂X_i² + ∙ ∙ ∙ + a_mX_i^m- y_i) ∙ 1 = 0 ∂R/∂a₁ = 2∑(a₀ + a₁X_i+ a₂X_i² + ∙ ∙ ∙ + a_mX_i^m- y_i) ∙ X_i = 0 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∂R/∂a_m = 2∑(a₀ + a₁X_i+ a₂X_i² + ∙ ∙ ∙ + a_mX_i^m- y_i) ∙ X_i^m = 0

(2.16)

Решив систему (2.16) известными методами (формулы Крамера, метод Гаусса и др.), найдем коэффициенты a₀, a₁,...,a_m формулы (2.14), которая будет обладать минимальным квадратичным отклонением R(a_j ).

На практике, как правило, при определении коэффициентов с использованием метода наименьших квадратов любую эмпирическую зависимость целесообразно привести к линейному виду. Рассмотрим получение системы нормальных уравнений для этого случая.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Курсовая работа по курсу "Вычислительная математика и программирование" по теме "Обработка экспериментальных данных"

ОДЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ... Химико технологический факультет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод наименьших квадратов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я
по выполнению курсовой работы по курсу "Вычислительная математика и программирование" по теме "Обработка экспериментальных данных" для

Одесса 1999
Методические указания по выполнению курсовой работы по курсу "Вычислительная математика и программирование" по теме "Обработка экспериментальных данных" для студентов 1 кур

СТРУКТУРА КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Курсовая работа состоит из двух частей. При выполнении первой части курсовой работы по заданным экспериментальным данным необходимо: 1) провести корреляционный анализ и установить наличие

Теоретические сведения
Под корреляцией понимается всякая связь между двумя или несколькими исследуемыми явлениями. Она может быть детерминистической или случайной (вероятностной). Первый тип связи

Линейная корреляция
Предположим, известно, что случайные величины Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью (обе линии регрессии прямые). Требуется по опытным данным найти уравнения прямых линий регрессии Х н

Метод наименьших квадратов
Исследование и оптимизация сложных, плохо организованных систем возможны лишь с помощью статистических, вероятностных методов. Исходной точкой для таких исследований является аналог

Требуется определить коэффициент эмпирической формулы
F(Xi,aj) = a + b∙Xi. (2.17) Тогда выражение (2.15) примет вид:

Анализ уравнения регрессии
Дисперсия адекватности модели Sад2 характеризует меру отклонения данных , пол

Представление экспериментальных данных формулами без использования МНК
Для расчетов и оптимизации, как правило, вместо табличных данных и графиков используются формулы, которые отражают закономерности табличного или графического материала. Когда теория процесса отсутс

Выбор эмпирической формулы. Метод выравнивания.
В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости. В других случаях приходится подбир

Метод выбранных точек
Пусть эмпирическая формула имеет вид (2.35) Требуется найти значение коэффициентов а и b. Наносим на координатную плоскость опытные точки (Xi,Yi). Как можно ближе к этим точкам проводим пр

Метод средних
Пусть эмпирическая формула имеет вид (2.35). Подставим в нее в место Х и Y опытные значения Xi и Yi. Так как левая часть формулы обычно не равна правой, получим систему уравне

Постановка задачи интерполирования
Пусть некоторая функция Y=f(Х) задана таблицей (табл. 3.1), т.е. при значениях аргумента X = X0, X1, ..., Xn функция f(Х)

Метод Лагранжа
Пусть при Х = Х0, Х1, Х2, ..., Хn функция f(X)принимает соответственно значения Y0, Y1, Y

Понятие о конечных разностях различных порядков
Для таблицы функцииY = f(X) с постоянным шагом h (т.е. с равноотстоящими узлами интерполяции): Xk

Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
Будем искать многочлен Рn(х) степени п, удовлетворяющий условиям (3.2), в виде

Вторая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
Получим формулу, которой удобно пользоваться для интерполирования (экстраполирования) функции у =f(х) в конце таблицы. Напишем искомый интерполяционный мног

Конечные разности
X y Dy D2y D3y 283,15 1,308

Обратное интерполирование
Пусть функция у = f(х) задана таблично. Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции