Евклид: жизнь и сочинения

Евклид жизнь и сочиненияСпроситесвоего коллегу, или знакомого, или ученика Какая древняя книга оказаланаибольшее влияние на развитие европейской цивилизации Не думаю, что ответыбудут отличаться большим разнообразием, но вряд ли кто-нибудь вспомнит о Началах Евклида. А ведь именно по этой книге или по е обработкам училисьвсе творцы современной математики Декарт и Ферма, Ньютон и Лейбниц, Колмогорови Понтрягин Всех не перечислишь.Нельзясказать, что в течение многих веков не появлялись другие своды математическихзнаний, но все они забывались и вновь вытеснялись Началами Евклида.

С 1482 г.она издавалась более 500 раз на самых различных языках.Можнос уверенностью утверждать, что все современные так называемые точные наукивыросли из древнегреческой науки, т.е. из Началах Евклида самого древнегосвода математических знаний, дошедшего до нашего времени. Таккто же был Евклид? Исследователь, энциклопедист, методист? Увы, о жизни этогознаменитого уч ного сохранилось крайне мало сведений.Годы его жизни относят кпромежутку времени приблизительно между 365 и 300 гг. до н.э.Известно,что Евклид был приглаш н в Александрию цар м Птолемеем I Сотером для организации математической школы ипреподавал там математику. Известно, что он учился в платоновской Академии вАфинах.Итак,какие же труды Евклида нам известны?Кроме Начал до нас дошли, хотя и в сильно искаж нном виде, трактаты Оптика и Катоптрика . В Оптике Евклид формулирует и доказывает правило угол паденияравен углу отражения , а в Катоптрике он выводит, опираясь на это правило,законы отражения от выпуклых и вогнутых зеркал.

В этих трактатах содержитсяпервое в истории изложение геометрической оптики. Кроме того, Евклидупринадлежит сочинение по математической астрономии Явления , ему такжеприписывается сочинение Сечение канона по теории музыки.Вовсех этих произведениях Евклид сначала постулирует некоторые свойстваисследуемых объектов например, то, что свет распространяется по прямой инеобходимые математические сведения, а затем на этой основе дедуктивно строитизлагаемую теорию.Евклидупринадлежат сочинения о конических сечениях т.е. эллипсе, гиперболе, параболе и О поверхностных местах , которые до нас дошли.Варабском переводе нам известно сочинение Евклида О делении фигур Ноглавным трудом Евклида, несомненно, являются Начала в 13 книгах . Онсобрал и систематизировал современную ему математику, строго дедуктивно изложиве в этом объ мном труде.Нижеописаны наиболее интересные, с точки зрения современной математики, достиженияЕвклида и его предшественников, изложенные в Началах .Теорема Евклида.

Предложение,о котором ид т речь, изложено в IX книге Начал . Оно формулируется так множество простых чисел бесконечно.Доказательствоочень просто если бы множество всех простых чисел было конечным, то,перемножив их все и добавив единицу, мы получили бы новое число, которое неделится ни на одно из известных простых чисел и, следовательно, простое.Алгоритм Евклида.Всем известен алгоритм Евклида нахождения общей мерыотрезков.

Он состоит в следующем.Пустьесть два отрезка неравной длины A и В, прич м,например, А больше В. Отложим отрезок В на отрезке А столько раз, сколькополучится рис. 1 .ТогдаА n0B C1, где C1 lt В.Теперьбер м отрезки В и C1 и повторяем с ними ту же операцию В n1C1 C2, где C2 lt C1 рис. 2 . А С1 В В В n0 раз рис. 1 В С1 С1 С2 n1 раз. рис. 2 Повторяя эту операцию много раз, мы либо когда-нибудьполучим нулевой отрезок-остаток Cm nm 1Cm 1 0 отрезок Cm 1окажется общей мерой отрезков А и В, либо процесс откладывания отрезков никогдане закончится.

В последнем случае говорят, что отрезки А и Внесоизмеримы т.е. не имеют общей меры . Числа n0, n1, называются неполными частными .Если обнаружена общая мера величин А и В и она равнанекоторой величине D, то А 955 D, B 956 D и отношение А и В есть отношение 955 к 956 .Интересно, что Евклид построил алгоритм отдельно длячисел т.е. натуральных чисел и отдельно для отрезков величин . Итак, алгоритм Евклида позволяет не только находитьобщую меру НОД двух чисел, сокращать на НОД дроби, но и округлять рациональные числа.

Теория отношений Евдокса.

В Началах изложена другая теория отношений,созданная Евдоксом.

Она отвечала на вопрос как можно сравнивать отношениячисел и что происходит с ними в результате арифметических операций?Два отношения a b и c d считаютсяравными, если для любых натуральных чисел М, N выполняются условия aM gt bN cM gt dN, aM bN cM dN,aM lt bN cM lt dN.Такой подход к сравнению отношений был революционнымпрорывом в построении теории действительного числа пока только длярациональных положительных чисел .Теория иррациональностей.

Видимо, именно алгоритмЕвклида прив л пифагорейца к установлению несоизмеримости стороны и диагоналиквадрата т.е. иррациональности числа 8730 2 . Это открытие существенноповлияло на дальнейшее развитие и математики, и философии.Оно показало, чтоложен основной принцип пифагорейцев вс есть число . Они считали, что всякуювеличину можно выразить числом натуральным или отношением чисел, но оказалось,что диагональ квадрата со стороной 1 не выражалась отношением чисел.Теэтет Афинский развил этот подход и доказал, чтоквадратные корни из квадратных чисел рациональны, а из неквадратных иррациональны.

Кроме того, кубические корни из кубических чисел рациональны, аиз некубических иррациональны.Более того, он классифицировал некоторые типыиррациональностей, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.Геометрическая алгебра.

Важным достижением античной математики стало созданиетак называемой геометрической алгебры, зачатки которой имелись ещ у вавилонян.Мы знаем, что в Древней Греции не было возможностизаписывать буквами алгебраические формулы и уравнения. Кроме того, большиепроблемы возникали при операциях с натуральными числами.Античные математикиобошли эту проблему, переведя все алгебраические выражения первой и второйстепени на геометрический язык. Все построения были планиметрическими.Видимо, именно алгебраическими потребностямиобъясняется столь бурное развитие планиметрии в античности.

Платоновы тела.В последней, XIIIкниге Начал описываются построение и свойства правильных многогранников тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра.И Евклид не просто описал правильные многогранники, нои исследовал их свойства.Он наш л отношения длин р бер всех правильныхмногогранников к диаметру описанной около многогранника сферы.Более того, он предложил способы построения правильныхмногогранников, вписанных в сферу данного диаметра.Учение о гармонии.Ещ пифагорейцы знали, что если высоты звука относятсякак небольшие целые числа, то сочетание звуков будет приятным, гармоничным.Так, отношение высот 1 2 да т музыкальный интервал, называемый октавой,отношение 2 3 да т квинту, 3 4 кварту.

Для того чтобы повысить на квинтузвук, например, колеблющейся струны, надо уменьшить е длину на 1 3, заставивзвучать оставшиеся 2 3 струны, при этом частота колебаний струны увеличится в1 2 3 раза. А для повышения звука на кварту надо извлечь звук из 3 4 струны,т.е. частота колебаний будет в 4 3 раза выше частоты колебаний основного тона.Исходя из этого, можно построить музыкальную шкалу.Первым точными расч тами музыкальной шкалы стал АрхитТарентский.

Евклид продолжил его традицию и изложил учение о гармонии в Сечении канона и частично в Началах . Список используемой литературы.Научно-теоретический иметодический журнал Математика в школе 4 2001. Издательство Школа-Пресс.