Предмет теории вероятностей

№1 Предмет теории вероятностей. Статистическая вероятность.

Предмет теории вероятностей.

1)Детерминированная: При повторении заданного опыта в неизменных условиях, событие А происходит всякий раз. П1. Опыт: К проводнику сопротивлением R приложено напряжение U. А={течет ток… 2) Вероятностная: При повторении опыта в неизменных условиях событие А может произойти или нет. Такие события и опыт…

Статистическая вероятность.

P*(A) – статистическая вероятность. Используется при составлении частотных словарей, разработке клавиатуры и т.д.   №2 Случайные события и связанные с ними понятия. Алгебраические операции над событиями.

Случайные события.

Пространство элементарных исходов – мн-во простейших(неразложимых в рамках данного опыта на более простые) взаимоисключающих исходов так, что опыт… Случайное событие – любое подмн-во пр-ва элем. исходов заданного случайного… Основные понятия связанные со случайными событиями:

Случайные велечины

Опр. Пусть (,F,P) – вер. Пространство, соответствующее случ опыту Т. Числовая функция X=X(w), определенная на наз-тся случ величиной для числа x… Опр. Функцией распределения (Вер-тей) случ величины x наз функция :… Св-ва Fx(x)

Другие свойства

2 0<=Fx(x)<=1 3 Fx(-)=0 , Fx(+)=1 4 Fx(x) в t точках aГR непр слева

Теорема Пуассона

Случайная величина X со знач 0,1,2,…,k и вер-ми pk=p{X=k}= , >0 имеем распр-е Пуассона с пар (X~Pn()) З-и Pn() описывает явления с большим числом испытаний и малой вер-тью успеха… Мат ожидание :

Непр. Случайная. Величина.

Fx(x)=P{X<x}= Св-ва fx(x) : 1 P{a<=X<b}=

Математическое ожидание

M[x]= -> M[x]=m

Дисперсия

Найдем для x~N(m, ) P{a<x<b} P{a<x<b}= В частном случае P{/X-m/<l}=2Ф(l/)-1

Следствия из центральной предельной теоремы.

Пусть выполняются условия центральной предельной теоремы и . Тогда при 2) Нормальное приближение для Пусть . При

Предмет и основные понятия математической статистики. Первичная обработка.

Математическая статистика – это наука о методах обработки результатов измерений с целью изучения случайных явлений.

Опр. Совокупность результатов измерений (1) случайной величины называют выборкой объемаиз генеральной совокупности

1) Основная задача математической статистики по выборке (1), максимально используя содержащуюся в ней информацию, сделать определенное заключение о генеральной совокупности .

2) Выборку (1) можно рассматривать:

(a) Апостериорно (после измерений). Тогда (1) – это конкретных чисел

(b) Априорно (до измерений). Тогда – это случайные величины с тем же законом распределения, что и .

 

Первичная обработка выборки.

2. Эмпирическая (выборочная) функция распределения. Пусть – число элементов выборки , удовлетворяющих неравенству 3. Разобьём отрезок на промежутки , точками деления .

Точечные оценки параметров распределения.

Замечания: 1. При априорном рассмотрении – случайной величины также является случайной… 2. Оценку считают «хорошей», если она обладает свойствами:

Несмещенность выборочного среднего и дисперсии (m неизвестно)

– несмещенная оценка m – несмещенная оценка  

Несмещенность выборочной дисперсии (m неизвестно)

Эффективность точечной оценки.

Замечания: 1) В отличие от несмещенности и состоятельности, эффективность зависит от… 2) Для проверки эффективности можно использовать неравенство Крамера-Рао: , где ) – информация Фишера

Метод моментов.

и приравняем эти зависимости к соответствующим выборочным моментам

Распределение отношения выборочных дисперсий 2 норм генер совокупностей.

Найдем закон распределения отношения выборки дисперсий распределение Фишера Т.о.

Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.

Для определения точности оценки в статистике пользуются доверительными интервалами. Для определения надежности оценки в статистике пользуются доверительной… Опр. Доверительным интервалом для параметра называется интервал , содержащий истинное значение параметра с заданной…

Доверительный интервал для оценки МО при НЕизвестной дисперсии

В литературе по статистике показано, что Y имеет распределение Стьюдента с n–1 степенью свободы . По заданной доверительной вероятности , используя таблицы распределения… .

Доверительный интервал для оценки МО при известной дисперсии

Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ Х, где . В качестве оценки для m возьмем . Предположим, что известна. Рассмотрим статистику . Статистика .

Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном МО.

В литературе по математической статистике доказано, что имеет распределение . По таблице распределения определяются квантили и .

Проверка статистических гипотез

Опр. Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения СВ Х. Гипотеза Н называется простой, если… Если распределение СВ Х известно и по выборке наблюдений необходимо проверить… Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н0. Обязательно на ряду с Н0 рассматривают одну из…

Ошибки 1 и 2 рода

    55. Критерий и его применение.