Реферат Курсовая Конспект
Метод моментов. - раздел Математика, Предмет теории вероятностей Пусть З-Н Распределения Интервальной Совокупности Х Известен С Точностью До П...
|
Пусть з-н распределения интервальной совокупности Х известен с точностью до параметров . Выберем m каких-либо начальных и центральных моментов , найдем теоретически их зависимость от
и приравняем эти зависимости к соответствующим выборочным моментам
Получим систему m уравнений, для нахождения оценок:
Пример. Пусть (равномерное распределение)
Найти ММ оценки параметров а и b :
Находим:
Общее: и для 47 и 48:
Пусть неизвестная функция генеральной совокупности зависит от некоторого параметра . Нужно по наблюдениям оценить параметр. Для построения оценок используются статистики – функции от выборочных значений.
Примеры статистик..
Эта оценка .
Будет рассматриваться, как приближенное значение параметра .Замечание. Как правило, для оценки параметра можно использовать несколько статистик, получая при этом различные значения параметра . Как измерить «близость» оценки к истинному значению ? Как определить качество оценки? Комментарий: Качество оценки определяется не по одной конкретной выборке, а по всему мыслимому набору конкретных выборок, т.е. по случайному выборочному вектору , поэтому для установления качества полученных оценок моментов , следует во всех этих формулах заменить конкретные выборочные значения на СВ Xi.
;;.
Качество оценки устанавливают, проверяя, выполняются ли следующие три свойства (требования).Требования, предъявляемые к точечным оценкам:
1. Несмещенность, т.е. .
Это свойство желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает существенной, но ее можно поправить так, что она станет несмещенной.
Иногда оценка бывает смещенной, но асимптотически несмещенной, т.е. .
2. Состоятельность, т.е. .
Это свойство является обязательным. Несостоятельные оценки не используются.
3. Эффективность.
а) Если оценки и – несмещенные, то и .
Если , то оценка более эффективна, чем .
б) Если оценки и – смещенные, тогда и .
Если , то оценка более эффективная, чем .
Где – средний квадрат отклонения оценки.
Рассмотрим использование этих свойств на примерах выбора оценок МО и дисперсии:
47. Выборочная дисперсия Докажем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности.
Выполним следующие преобразования
; .
Найдем МО для дисперсии:
.
.
МО не совпадает с s2, а отличается на –s2/n – смещение. Таким образом эта оценка занимает в среднем истинное значение дисперсии на величину s2/n, правда это смещение сходит на нет при n ® ¥.
Чтобы устранить это смещение надо «исправить» дисперсию.
;
;
.
Можно доказать, что статистика S2 является и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности.Замечание. К сожалению, на практике при оценке параметров не всегда оказывается возможным одновременное выполнение требований: несмещенности, эффективности и состоятельности.
48. Выборочное среднее:является несмещенной и состоятельной оценкой МО генеральной совокупности (X1 ,…, Xn ), причем каждое Xi совпадает с m и s2.
а) Несмещенность. По определению выборочного вектора
, причем Xi – независимые в совокупности СВ, тогда вычислим
M[Xсред]=M[(1/n)åXi]=(1/n)M[åXi]=
(1/n)åM[Xi]=(1/n)nm g.
D[Xсред]=D[(1/n)åXi]=(1/n2)D[åXi]=
(1/n2)åD[Xi]=(1/n)ns2=s2/n
б) Состоятельность Воспользуемся неравенством Чебышева:
Применим это неравенство к
При n®¥ ,что и доказывает состоятельность .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: "Предмет теории вероятностей"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод моментов.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов