Случайные события.

Случайный опыт – это создание заданного комплекса условий и наблюдение результата. Результат интерпретируется как случайное событие(исход).

Пространство элементарных исходов – мн-во простейших(неразложимых в рамках данного опыта на более простые) взаимоисключающих исходов так, что опыт всегда заканчивается появлением одного и только одного элементарного исхода .

Случайное событие – любое подмн-во пр-ва элем. исходов заданного случайного опыта. Если результат опыта , то событие А произошло.

Основные понятия связанные со случайными событиями:

1) Всё пр-во элементарных исходов в называется достоверным событием. Очевидно достоверное событие происходит в любом опыте.

2) Пустое множество Ǿназывается невозможным событием. Очевидно невозможное событие не происходит в опыте.

3) Суммой событий А и В называется событие А+В состоящее из элем исходов входящих в мн-во . Т.о. событие А+В состоит в том что произошло хотябы одно из событий А и В.

4) Произведение А и В это событие сост. из элементарных исходов входящих в мн-во . Т.о. произведение А и В состоит в том что А и В произошли одновременно.

5) Разность событий А и В – событие состоящее из элементарных исходов, входящих в мн-во АВ. Т.о. событие А произошло, а В нет.

6) Событие А влечет за собой В, если А – подмножество В(). Т.о. всякий раз, когда происходит А, происходит и В.

7) Событие состоит из , не входящих в А, называется противоположным А

8) События А и В называются несовместными если нет входяих в А и в В одновременно.

Св-ва:

1)Коммутативность:

А+В=В+А; АВ=ВА.

2)Ассоциативность:

(А+В)+С=А+(В+С); (АВ)С=А(ВС).

3)Дистрибутивность:

(А+В)С=АС+ВС; А+ВС=(А+В)(А+С).

 

№3 Классическое определение вероятности.

События равновероятные, если нет объективных оснований для того, чтобы, одно из них было более или менее вероятным чем другое.

Случайный опыт удовлетворяющий условиям:

а) конечно.

б) все элем. исходы равновозможны

называется классической схемой.

Пусть классическая схема, -число элементарных исходов, - число исходов благоприятствующих событию А. Тогда вероятность события А:

Р(А)= /- формула классической вероятности.

Св-ва:

1)Р(А)>0

2)

3)Если А и В несовместны, (АВ= Ǿ), то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

 

№4 Геометрические вероятности

Пусть случайный опыт состоит в случайном выборе точки на прямой R¹ или плоскости R² или n мерного пространства Rⁿ.

На прямой рассмотрим только мн-ва имеющие длину, на плоскости площадь, в R³-объем, в Rⁿ- обобщенный объем.

Длина, площадь, объем – мера множества .

Пусть случайная точка пропорциональна мере А (mes A) и не зависит от других обстоятельств. Такой случайный опыт называется геометрической схемой.

Пусть геометрическая схема, событие -измеримое мн-во. Тогда вероятностью события А называется число P(A)=mes(A)/mes()

П1. 2 судна должны подойти к причалу для разгрузки в течении суток. Одновременная разгрузка невозможна. Разгрузка любого из них длится 8 часов. С какиой вероятностью одно будет ожидать разгрузки другого?

х- время прихода однеого

y

у – время прихода другого

(х,у) в R²

={(х,у) | }

A = {(х,у) | |x-y|1/3}

mes()=1, mes(A)=5/9;

P(A)=5/9

Cв-ва:

1)Р(А)

2)

3)А и В несовместимы.

 

№5 Понятие об аксиоматической вероятности

Пусть событию А, связанному со случайным опытом сопоставлена P(A). Это означает, что на мн-ве всех событий F определена числовая функция P(A), .

Чтобы вместе с вероятностью событий А и можно было найти А+В, АВ, А-В, , , , Ǿ, нужно чтобы эти события входили в F, т.е. чтобы F было алгеброй событий.

Если конечное или счетное мн-во, то алгеброй событий F будет мн-во всех подмн-в в .

П1. А={ из 4х карточек 1,2,3 и 4 случайно выбирают одну}

Найдем F:

Ǿ

Пусть - множество элем. исходов, F – алгебра событий. Числова функция Р(А), определенная на F, называется вероятностью, если она подчиняется аксиомам:

1) Р(А) , (аксиома неотрицательности)

2) (аксиома нормировки)

3) Для и В , таких что АВ= Ǿ. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (аксиома сложения)

 

1)

2)- вероятность элементарного исхода

В П1 Р

 

№6 Св-ва вероятности

Из основных св-в вероятности:

1) Р(А)

2)

3)АВ= Ǿ => Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Вытекают другие св-ва:

4)

5) Р(Ǿ)=0

6)

7)

8)Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

№7 Условная вероятность и ее свойства. Теорема умножения.

Пусть в случайном опыте Т могут появиться события А и В. Если известно что В произошло то говорят об условной вероятности события А при условии В Р(А/В).

В произошло => реализуется один из N(B) элементарных исходов . Из N(AB) исходов благоприятствуют A

Опр. Пусть (,F,P) – вер. пространства , А, и , тогда усл.вероятностью А наз-тся число :

Замеч. 1)Аналогично , если :

2) Теорема умноженияВер-ть произведения событий равна вер-ти одного из них и умноженной на усл.вер-ть другой.

1.

2.

3.

4)Усл вер-ть обладает всеми св-ми дрю вер-тей.

5) Усл. Вер-ть P(A/B) можно рассм.,как обычную вероятность, определенную на новом про-ве Эл. Исходов

6) Для n событий формула : обобщаеться

 

№8 Независимые события, их свойства. Независимость в совокупности.

Опр. А независимое событие от В , если P(A/B)=P(A)

Свойства:

1) Свойство независимости взаимно, т.е. P(B/A)=P(B)

Т.е. А и В взаимно независимы.

2) Если А и В независимы , то P(AB)=P(A)*P(B) верно и обратное:

Опр. События А1,A2,A3,…,An независимы в совокупности , если любое из них не зависит от каждого из остальных n от всех возможных произведений этих остальных.

Опр. События A1,A2,…,An независимы в совокупности если : P(A1,A2,…,An)=P(A1)*P(A2)…P(An)

Замечание Для независимости в совокупности недостаточно попарной независимости.

№9 Формула полной вероятности.

Пусть события H1,…,Hn могут произойти в случайном опыте Т. Эти события образуют полную группу событийб если H1+H2+…+Hn=

Если к томуже события {Hz} попарно несовместимы (Hi,Hj 0, ij), то они образуют полную группу несовместимых событий , т.е. в каждом опыте происходит одно и только одно из этих событий.

Теорема.

Пусть в случ опыте могут произойти события А,H1,..,Hn, причем {Hi} образуют полную группу несовместимых событий , то

A=A*=A(H1+…+Hn)=AH1+…+AHn

P(A)=P(AH1)+P(AH2)+…+P(AHn)=> теоре. Умножения

P(A)=P(H1)P(A/H1)+…+P(Hn)P(A/Hn)

 

№10 Формула Байеса

Теорема В условиях предыдущей теоремы

 

P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk))/P(A)

По теореме умножения P(A)*P(Hk/A)=P(A*Hk)=P(Hk)P(A/Hk) /: P(A)

P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk)/P(A))

 

№11 Схема Бернулли

Повторные испытания – это проведение n раз одного и тогоже случ опыта или проведение одновременное n одинаковых опытов.

Схема Бернулли – это случ опыт состоящий в n повторных испытаниях, причем

1) z исхода (А-успех, (не)А – неудача)

2) испытания независимы , т.е. P(A) не зависит от исходов в др. испытыниях

3) p и q=1-p не изм от пыта к опыту

Найдем вер-ть pn,m появления ровно m раз успеха в серии из т испытаний.

В силу независимости испытаний вер-ть каждого такого исхода равно Число таких элементарных исходов Потому :