Тема 11. Граничні теореми теорії ймовірностей

1. Імовірність появи випадкової події в одному експерименті є величиною сталою і дорівнює 0,3. Із якою ймовірністю можна стверд­жувати, що відносна частота цієї події при 100 експериментах буде знаходитись у межах [0,2; 0,4].

2. Випадкова подія А може здійснитися при одному експерименті із імовірністю р. Експеримент повторили n раз. Яка ймовірність того, що при цьому виконується нерівність .

3. Яке повинна мати значення величина e у нерівності Чебишова, щоб , коли відомо, що D (Х) = 4.

4. Із якою надійністю середнє арифметичне вимірів певної величини відповідає істинному виміру цієї величини, якщо було здійснено 500 вимірювань із точністю 0,1 і при цьому дисперсії випадкових величин – результатів вимірювання – не перевищують 0,3.

5. Скільки необхідно провести вимірів діаметра втулки, щоб середнє арифметичне цих вимірів відрізнялося від істинного розміру діаметра втулки не більше як 0,05 із надійністю 90%, якщо дисперсії випадкових величин (результатів вимірів) не перевищують 0,2.

6. Імовірність того, що за час t із ладу вийде один конденсатор, дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що за час t із 100 конденсаторів із ладу вийде:

1) не менш як 28 конденсаторів;

2) від 14 до 26 конденсаторів?

7. При відливанні відливок, із яких потім виготовляють на верстатах деталі, одержують у середньому 20% браку. Скільки необхідно запланувати відливок, щоб із імовірністю не меншою за 0,95 була забезпечена програма випуску деталей, для виготовлення яких необхідно 50 бездефектних відливок.

8. Здійснюється вибіркове обстеження партії електроламп для визначення тривалості їх горіння. Скільки необхідно перевірити елек­тролампочок, щоб із імовірністю не меншою за 0,9876 можна було стверджувати, що середня тривалість горіння лампочки для всіх n штук перевірених відхилялось від її середньої величини не більше ніж на 10 годин, якщо середнє квадратичне відхилення тривалості горіння лампочок дорівнює 80 годин.

9. Випадкова величина – середнє арифметичне 10000 незалежних випадкових велечин, що мають один і той самий закон розподілу, і середнє квадратичне відхилення кожної із них дорівнює 2. Яке максимальне відхилення величини від його математичного сподівання можна очікувати із імовірністю 0,9544?

10. Верстат із програмним управлінням виготовляє за робочу зміну 900 виробів, із яких в середньому 1% складає брак. Знайти наближено ймовірність того, що за зміну буде виготовлено не менше 810 доброякісних виробів, якщо вони виявляються доброякісними незалежно один від одного.

11. Кожна із 40 незалежних випадкових величин має гамма-розподіл із значенями параметрів a = 2, l = 10. На підставі центральної граничної теореми теорії ймовірностей записати наближено закон розподілу для випадкової величини..

12. У касі певного закладу в наявності є 4000 гривень. У черзі знаходиться n = 30 робітників. Сума X, яку потрібно виплатити кожному, є випадковою величиною із математичним сподіванням, рівним 200 грн. і середнім квадратичним відхиленням s = 60 грн. Знайти ймовірність того, що суми, котра є в касі, не вистачить усім людям, які стоять у черзі.

13. Зберігається умова задачі 12, тільки в черзі стоїть n = 15 робітників і сума Х, яку повинен одержати кожний із них, є випадковою величиною із значеннями M (X) = 150 грн., s (Х) = 60 грн. Яка ймовірність того, що суми вистачить усім людям?

14. Залізничний состав складається із 30 вагонів. Маса кожного з них є випадковою величиною Х із математичним сподіванням M(X) = 400 т і середнім квадратичним відхиленням s(Х) = 20 т. Локомотив може нести масу не більшу за 12100 т. Якщо маса составу перевищує допустиму, то необхідно причеплювати другий локомотив. Знайти ймовірність того, що одного локомотива не досить для перевезення составу.

15. Маємо 100 ідентичних елементів, що складають певний технічний комплекс. Час безвідмовної роботи кожного i-го елементу є випадковою величиною Ті, що має експоненціальний закон розподілу із параметром l = 40 і однаковим для всіх елементів. Випадкові величини T1, T2, T3, ..., T100 є незалежними між собою. У разі відмови в роботі i-го елемента миттєво здійснюється переміщення на i + 1-й справний елемент. Загальний час безвідмовної роботи комплексу дорівнює сумі Ti, а саме . Знайти наближено ймовірність того, що комплекс безвідмовно пропрацює не менш як 20 год.

16. Провести апроксимацію нормального закону із параметрами а, s за допомогою суми n незалежних випадкових величин Х1, Х2, ..., Хn, кожна із яких має рівномірний закон розподілу на проміжку [0; 1]

17. Верстат-автомат виготовляє за робочу зміну n = 1000 виробів, із яких брак у середньому становить 5%. На скільки доброякісних виробів k має бути розрахований бункер для доброякісних виробів, щоб імовірність його переповнення за зміну не перевищувала 0,001.

18. Скільки потрібно кинути гральних кубиків, щоб з ймовірністю меншою за 0,3, можна було чекати, що на жодній із граней, які випали, не з’явиться шість очок?

19. Ймовірність влучити в мішень для стрілка при одному пострілі дорівнює 0,8. Скільки пострілів повинен зробити стрілок, щоб із ймовірністю, меншою за 0,4, можна було сподіватися, що не буде жодного промаху?