Тема 10. Основні закони розподілу випадкових величин

1. Серед дев’яти однотипних виробів п’ять відповідають вимогам стандарту, а решта – ні. Навмання береться шість виробів. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – появу числа виробів, що відповідають стандарту і обчислити для цієї величини М (Х), s (Х).

2. Під час штампування валиків імовірність відхилення кожного валика від стандартного розміру дорівнює 0,15. За робочу зміну робітником було проштамповано 800 валиків. Знайти М (Х), D (X), s (Х) дискретної випадкової величини Х – числа валиків, що не відповідають стандартному розміру.

3. У лабораторних умовах було висіяно 10000 насінин нового сорту ячменю. Імовірність того, що насінина ячменю не проросте в середньому становить 0,2. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – числа зернин ячменю, що проростуть, і обчислити М (Х), s (Х).

4. Радіотелефонна станція отримує цифровий текст. Унаслідок атмосферних завад імовірність спотворення цифри в середньому дорівнює 0,001. Було отримано текст, що налічує 2000 цифр. Визначити М (Х), D (X), s (Х) дискретної випадкової величини Х – числа спотворених цифр в отриманому тексті.

5. В урні міститься 100 кульок, із них 80 білі, а решта чорні. Кульки із урни виймають навздогад по одній із поверненням. Визначити закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа проведених експериментів, якщо вони здійснюються до першої появи чорної кульки. Чому дорівнюють М (Х), D (X), s (Х)?

6. В електромережу містечка увімкнуто для освітлення вулиць у вечірню пору 20000 електролампочок. Імовірність того, що лампочка не перегорить протягом вечірнього часу дорівнює в середньому 0,95. Знайти М (Х), s (Х) дискретної випадкової величини Х – числа електролампочок, що не перегорять протягом вечірнього часу.

7. Для космічного корабля ймовірність зіткнення його з метеоритом малої маси дорівнює 0,001 протягом одного оберту навколо землі. Космічний корабель здійснив 900 обертів. Знайти М (Х), s (Х) для дискретної випадкової величини Х – числа зіткнень космічного корабля із метеоритами малої маси.

8. Монета підкидається доти, доки вона випаде гербом. Знайти М (Х), s (Х) дискретної випадкової величини Х – числа здійснених підкидань.

9. Робітник за зміну обслуговує 14 однотипних верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат за зміну потребує уваги робітника становить 1/7. Знайти М (Х), s (Х) дискретної випадкової величини Х – числа верстатів-автоматів, що потребують уваги робітника за зміну.

10. За одну робочу зміну верстат-автомат виготовляє 400 однотипних деталей. Імовірність, що, виготовлена верстатом, деталь стандартна дорівнює 0,8. Знайти М (Х), s (Х) дискретної випадкової величини Х – числа стандартних деталей, виготовлених верстатом-автоматом за робочу зміну.

11. Серед 12 однотипних телевізорів 8 відповідають вимогам стандарту, а решта – ні. Навмання вибирають 10 телевізорів. Знайти М (Х), s (Х) дискретної випадкової величини Х – числа телевізорів, що відповідають вимогам стандарту серед 10, навмання вибраних.

12. Десять студентів складають залік з курсу «Вища математика». Імовірність того, що студент складе залік, у середньому становить 0,91. Визначити М (Х), D (X), s (Х) дискретної випадкової величини Х – числа студентів, що складуть залік.

13. Визначити М (Х), s (Х) дискретної випадкової величини Х рівномірним законом розподілу, можливі значення якої .

14. Задано.

Визначити Обчислити .

15. Відомо, що випадкові величини Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу зі значеннями параметрів: а_х = – 2, s_х = 4, а_у = 2, s_у = 2. Знайти коефіцієнт кореляції випадкових величин: z = 2x + 3y i t = 2x – 3y.

16. Відомо, що випадкові величини Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу із значеннями парамтрів: а_х = – 1, s_х = 4, а_у = 5; s_у = 3. Знайти кореляційний момент і r_zt для випадкових величин z = 3x – 2y + 5 i t= – 4x – y + 2.

17. Завод виготовляє кульки для підшипників. Номінальний діа­метр кульки d_n = 5,55 мм. Внаслідок неточностей при виготовленні кульок діаметр підшипника є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу із математичним сподіванням а = d_n і серед­нім квадратичним відхиленням s_d = 0,08 мм. Під час контролю всі кульки бракуються, якщо їх діаметр відрізняється від d_n більше, ніж на 0,04 мм. Визначити, який відсоток кульок бракується під час контролю.

18. Задано .Знайти ймовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого математичного сподівання на величину більшу, ніж 36.

19. Випадкова величина Х має закон розподілу N (– 4; 5). Знайти точки перегину кривої розподілу f (x).

20. Випадкова величина Х має закон розподілу N (– 0; 6). При якому значенні s імовірність буде найбільшою?

21. Випадкова величина Х має закон розподілу N (4; 6). Знайти таке значення s, щоб = 0,9906.

22. Випадкове відхилення розміру деталі від номіналу при її виготовленні на верстаті має нульове математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення, що дорівнює 8 мк. Скільки необхідно виготовити цих деталей, щоб із ймовірністю 0,99 серед них була хоча б одна деталь, що відповідала вимогам стандарту, якщо для такої деталі допустиме відхилення її розміру від номіналу було б не більше, ніж на 4 мк.

23. Заряд мисливського пороху зважують на терезах, що мають середню квадратичну похибку зважування 0,5 мг. Номінальна маса порохового заряду 4,5 г. Визначити ймовірність пошкодження мисливської рушниці при пострілі, якщо максимально допустима вага порохового заряду 4,9 г.

24. Вимір відстані до об’єкта супроводжується систематичною і випадковою помилками. Систематична помилка становить 25 м у бік зниження відстані, а випадкова помилка має нормальний закон розподілу із значенням s = 50 м. Знайти: 1) ймовірність вимірювання дальності з похибкою, що за абсолютною величиною не перевищує 100 м; 2) імовірність того, що виміряна відстань не перевищить справжньої.

25. Виріб вважається найвищої якості, якщо відхилення його розмірів від номіналу за абсолютною величиною не перевищує 2,28 мм. Відхилення розміру виробу від номіналу має нормальний закон розподілу зі значенням s = 2,4 мм, а систематична похибка відсутня. Визначити середнє число виробів вищої якості, якщо виготовлено 8 деталей.

26. Якої ширини має бути поле допуску розміру деталі, щоб із імовірністю, не більшою за 0,0027, виготовлена деталь із контрольованим розміром виявилась за межами поля допуску, коли відомо, що відхилення розміру є випадковою величиною, з нормальним законом розподілу з параметрами а = 0; s = 12,5 мк?

27. За заданою щільністю ймовірностей

Визначити , якщо .

28. Задано

.

Обчислити .

29. Система (Х, Y) має нормальний закон на площині, кореляційна матриця якої . Записати аналітичний вираз щільності ймовірностей для цієї системи, коли відомі значення а_х = 0, а_у = – 2. Обчислити , якщо .

30. За заданою кореляційною матрицею нормального закону на площині і значеннями а_х = – 4, а_у = 2 записати аналітичний вираз для і обчислити

31. Випадкова величина Х має закон розподілу N(– а; s). Визначити m_k.

32. За заданим законом розподілу випадкової величини Х N(2; 4) записати логарифмічний закон розподілу для Y і визначити М (Y); D (Y).

33. За заданим законом розподілу випадкової величини Х N(4; 2) записати аналітичний вираз для урізаного ліворуч нормального закону розподілу f (y) і визначити М (Y), D (Y).

34. Випадкова величина Х має закон розподілу

Визначити F(x) і обчислити

35. Задано

Визначити назву цього закону і обчислити

36. Неперервна випадкова величина Х має гамма-розподіл зі значеннями параметрів Визначити , якщо .

37. За заданою щільністю ймовірностей

Знайти

38. Неперервна випадкова величина Х має експоненціальний закон розподілу ймовірностей зі значенням Визначити , якщо .

39. Неперервна випадкова величина Х має бета-розподіл зі значеннями параметрівЗнайти аналітичний вираз для f (x) i F(x) i обчислити M (X); D (X).

40. Неперервна випадкова величина Х має розподіл Вейбулла із значеннями параметрівЗаписати аналітичний вираз для f (x) i F(x) i обчислити M (X); D (X).

41. Неперервна випадкова величина Х має розподіл c² із k = 8 ступенями свободи. Записати формулою f (x) i F (x) i обчислити M (X), D (X), s (X).

42. Випадкова величина Х має розподіл c² із k = 6 ступенями свободи. Знайти , якщо .

43. Неперервна випадкова величина Х має розподіл c із k = 5 ступенями свободи. Записати формули для f (x) i F(x) i обчислити M (X), D (X).

44. Випадкова величина Х має розподіл c із k = 7 ступенями свободи. Знайти , якщо .

45. Випадкова величина Х має розподіл Стьюдента із k = 8 ступенями свободи. Записати формули для f (x) i F(x) i обчислити M (x), D (x).

46. Випадкова величина Х має розподіл Стьюдента із k = 10 ступенями свободи. Знайти , якщо .

47. Випадкова величина Х має розподіл Фішера із k₁ = 6, k₂ = 10 ступенями свободи. Записати формули для f (x) i F(x) i обчислити M (X); D (X); s (х).