Реферат Курсовая Конспект
Прямая в пространстве. - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Прямая В Пространстве Может Быть Задана: 1). Общими Уравнениями ...
|
Прямая в пространстве может быть задана:
1). Общими уравнениями
,
что равносильно её заданию как линии пересечения двух плоскостей;
2). Каноническим уравнением
,
прямая проходит через точку параллельно направляющему вектору ;
3). Параметрическими уравнениями
.
Заметим, что направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение нормальных векторов и , т.е.
.
Угол между прямыми есть угол между направляющими векторами
.
Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле:
.
Условие параллельности прямой и плоскости:
.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .
Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:
и .
Две прямые лежат в одной плоскости, если компланарны векторы , т.е. их смешанное произведение равно 0, т.е.
.
Если , то прямые являются скрещивающимися.
Примеры:
1. Составьте уравнение плоскости, зная что точка служит основанием перпендикуляра, проведённого из начала координат к этой плоскости.
Решение: По условию задачи вектор является нормальным вектором плоскости и точка принадлежит плоскости.
Воспользуемся уравнением:
2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки: и и перпендикулярной плоскости .
Решение: Вектор нормали к плоскости параллелен искомой плоскости.
Выберем на плоскости текущую точку . Векторы - компланарны. Тогда
3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось и образующей с плоскостью угол .
Решение: Плоскость, проходящая через ось задаётся уравнением , где А и В одновременно в ноль не обращаются. Пусть , тогда . Обозначим , тогда уравнение плоскости примет вид .
Нормальный вектор данной плоскости , искомой плоскости .
По формуле косинуса угла между двумя плоскостями имеем:
.
Откуда получаем две плоскости:
4. В пучке, определяемом плоскостями и , найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку .
Решение: Уравнение пучка плоскостей имеет вид:
или
.
Для того, чтобы выделить из пучка плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты этой точки в уравнение пучка
откуда имеем .
Тогда уравнение плоскости, содержащей точку М, найдём, подставив соотношение в уравнение пучка
Так как (иначе , а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение: .
Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности нормальных векторов:
.
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:
или (в силу того, что )
5. Даны координаты вершин пирамиды
Найти угол между ребром и гранью .
Решение: Найдём вектор нормали к грани , как векторное произведение и .
.
Найдём координаты вектора .
Найдём угол между вектором нормали и :
Искомый угол между вектором и плоскостью равен .
6. Даны плоскость , прямая и точка .
а). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и параллельной плоскости .
В качестве вектора нормали к искомой плоскости можно взять - нормаль . Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид: .
б). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и параллельной . В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять - направляющий вектор . Тогда уравнение прямой:
в). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной .
В качестве вектора нормали к исходной плоскости можно взять - направляющий вектор и уравнение плоскости будет
г). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной .
Направляющим вектором искомой прямой можно взять - нормаль . Отсюда получим уравнение прямой
д). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую .
Запишем уравнение в параметрической форме: Придав два различных значения, например, найдём две точки прямой.
Точки принадлежат искомой плоскости. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки:
.
е). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскостям и .
В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение и - нормальных векторов и .
.
Зная точку М, через которую проходит плоскость, и вектор нормали , составим уравнение искомой плоскости:
.
ж). Найти точку пересечения прямой и плоскости .
Воспользуемся параметрическими уравнениями прямой .
Подставим эти уравнения в уравнение плоскости .
.
Подставим найденное значение t в параметрические уравнения прямой
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости
з). Найти расстояние от точки М до плоскости .
Нормируем уравнение плоскости
7. Найти каноническое уравнение прямой, если она задана в виде:
Решение: Чтобы составить каноническое уравнение нужно знать точку, через которую проходит эта прямая и направляющий вектор.
Для нахождения произвольной точки прямой примем её координату (можно взять любое другое значение) и подставим в систему
Итак, точка .
Прямая задана как пересечение плоскостей, векторы нормалей и перпендикулярны прямой. Поэтому в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение
.
Тогда каноническое уравнение прямой:
.
8. Найти расстояние от точки до прямой : .
Составим уравнение плоскости ,
проходящей через точку перпенди-
кулярно .
Найдём точку пересечения прямой и плоскости .
Перейдём к параметрическим уравнениям прямой :
Подставим их в уравнение плоскости:
Таким образом, точка .
Искомое расстояние
ТЕМА 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Тверской государственный технический университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Прямая в пространстве.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов