Линейные уравнения
Линейным уравнением относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют выражение вида
а1 х1 + а2 х2 +…+ а n хn= b,
где а1 , а2 , а n , b – числа.
а11 х1 + а12 х2 +…+ а1n хn= b1,
а21 х1 + а22х2 +…+ а2 n хn= b2, (1)
,
состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей размера
m × n . Числа а11 ,а 12, …, аmn называются её элементами. Часто вместо подробной записи используют сокращённую:…
Например,
Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij ) называется…
Запишем матрицы А и В в виде
А = , В =
Пусть дана квадратная таблица, состоящая из четырёх чисел:
.
Такие таблицы называют матрицами размера 2 2 или квадратными матрицами второго порядка.
а11х1 + а12х2 = b1 (1)
a21х1 + а22х2 = b2.
Из коэффициентов при неизвестных можно составить определитель
.
Понятия элемента, строки, столбца вводятся для матрицы совершенно так же, как… Определение. Определителем матрицы называется число
.
Выберем какие-либо n элементов так, чтобы они находились в разных строках и в… Рассмотрим какой-то допустимый набор из n элементов. Расположим элементы этого набора в определённом порядке: сначала…
Практическое вычисление определителей основано в первую очередь на формулах разложения определителя по строке (столбцу).
Рассмотрим определитель n-ого порядка
.
Поэтому приводимые ниже свойства определителей формулируются для строк, для столбцов свойства аналогичны.
1.Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель… Для доказательства достаточно разложить определитель по элементам данной строки.
= .
Выделим некоторый элемент aij.Если вычеркнуть из определителя
i-тую строку и j–тый столбец (т.е. строку и столбец, в которых расположен элемент aij), то останется некоторый…
Aij = (-1)i+jMij.
Иначе говоря, всегда справедливо одно из равенств Aij = Mij, причём знак +…
где каждый из определителей получается из определителя заменой… Пример. Решить систему уравнений 33
называется единичной и обозначается через Е.
Легко проверить, что какова бы ни была матрица А
Пример. Транспонированной к матрице
А =
является матрица
Пусть А = - невырожденная матрица, т.е.
Теорема. Если А – невырожденная матрица, то
А-1 =
Если А – матрица размера m × n, вектор-столбец х имеет размерность n , а вектор-строка y – размерность m, то определены произведения Ах и уА,… Пример. Даны матрица А и векторы х и у:
А = , х = , у = (2, 1, -3).
а11 х1 + а12 х2 +…+ а1n хn= b1,
а21 х1 + а22х2 +…+ а2 n хn= b2, (1)
Используя эту матрицу, можно решить уравнение (2): умножая обе части уравнения (2) слева на матрицу А-1, получаем
А-1(Ах) = А-1В
или, согласно сочетательному закону умножения матриц,