рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Правило Крамера для решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Правило Крамера для решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Правило Крамера для решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. - раздел Математика, Линейные уравнения Пусть Дана Система Уравнений ...

Пусть дана система уравнений

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ = b₁(1)

a₂₁х₁ + а₂₂х₂ = b₂.

Из коэффициентов при неизвестных можно составить определитель

Будем называть его определителем системы и обозначать символом .

Кроме нам понадобятся ещё два определителя:

Теорема (правило Крамера для системы).

Если определитель системы (1) не равен 0, то система имеет решение и притом единственное. Это решение может быть найдено по формулам:

(2)

Доказательство.

Умножая обе части первого уравнения системы на а₂₂, второго на

–а₁₁, а затем складывая полученные уравнения, имеем

(а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂)х₁ = b₁a₂₂ – b₂a₂₁,

или, что то же самое, Отсюда

Аналогично, умножая обе части первого уравнения на – а₂₁, второго на а₁₁, а затем складывая полученные уравнения, придём к уравнению

(a₁₁a₂₂ – a₂₁a₁₂)x₂ = a₁₁b₂ – a₂₁b₁,

или Отсюда

Т.о., мы показали, что если существует решение данной системы уравнений, то это решение определяется формулами (2). Теперь остаётся проверить, что числа действительно составляют решение системы, т.е. что справедливы равенства

Имеем

что доказывает первое из указанных равенств. Второе проверяется аналогично.

Пример. Решить систему уравнений

3х₁ – 5х₂ = 0

х₁ – 2х₂ = 1.

Имеем

следовательно,

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейные уравнения

На сайте allrefs.net читайте: Линейные уравнения.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Правило Крамера для решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейные уравнения.
Линейным уравнением относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют выражение вида а1 х1 + а2 х2 +…+ а n

Системы линейных уравнений.
Конечную совокупность линейных уравнений относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют системой линейных уравнений. Если перенумеровать уравнения системы, то система л

Матрицы.
Прямоугольная таблица чисел ,

Умножение матрицы на число и сложение матриц.
По определению, чтобы умножить матрицу А на число k, нужно каждый элемент матрицы А умножить на число k. Например,

Умножение матриц.
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ, у которой столько же стр

Определители квадратных матриц.
Определители второго порядка. Правило Крамера. Пусть дана квадратная таблица, состоящая из четырёх чисел:

Определители третьего порядка.
Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка, т.е. таблицу чисел

Определители n-ного порядка.
Рассмотрим квадратную таблицу, составленную из чисел. Такую таблицу называют квадратной матрицей порядка n.Число, стоящее

Разложение определителя по строке или столбцу.
Предыдущая формула мало пригодна для вычисления определителей n-ого порядка: число членов равно n! И с ростом n это число быстро возрастает. Практическое вычисление определителей основано

Свойства определителей n-ого порядка.
Определитель не изменится, если поменять местами строки и столбцы. Поэтому приводимые ниже свойства определителей формулируются для строк, для столбцов свойства аналогичны. 1.Если

Понятие минора. Вычисление определителей n-ого порядка.
Рассмотрим определитель n-ого порядка =

Связь между минорами и алгебраическими дополнениями.
Теорема. Алгебраическое дополнение любого элемента aij определителя равно минору этого элемента.

Правило Крамера для системы nn.
Теорема. Если определитель системы nn

Обратная матрица.
Квадратная матрица называется единичной и обозначается через Е. Легко проверить, что к

Транспонирование матрицы.
Наряду с матрицей А часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Эту матрицу называют транспонированной к А и обозначают через А´ или Ат.

Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А.
Пусть А = - невырожденная матрица, т.е.

Умножение матрицы на вектор.
Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу – вектор-строкой. Если А – матрица размера m × n, вектор-столбец х имеет размерност

Матрично-векторная форма записи системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему линейных уравнений а11 х1 + а12 х2 +…+ а1n

Запись решения с помощью обратной матрицы.
Особое значение имеют системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных – системы nn. В этом случае матрица А является