МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
<Школа естественных наук>
КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ
Аналитическая геометрия и алгебра
Самолето и вертолето строение
г. Владивосток
Лекция 1
Конечные суммы и их свойства. Вычисление определителя
Свойства конечных сумм
1);
2);
3),
где двойная сумма может быть записана как ;
4) ;
5) , (замена индекса). Причем - взаимно однозначная функция.
Иногда требуется записать сумму всех слагаемых кроме одного или двух. Если пропущено слагаемое с номером , это записывается в виде
Лекция 2
Операции над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Определение.Два комплексных числа называются равными, если у них совпадают действительные и мнимые части, т.е., если и .
1.Сложение и вычитание
Действие сложения и вычитания комплексных чисел и производится по правилу сложения и вычитания двучленов
.
Группируя отдельно действительную и мнимую части, получим формулу:
(2.10)
2.Умножение.
Действие умножение комплексных чисел и производится по правилу умножения двучленов
раскроем скобки
используя формулу (2.2) и группируя действительные и мнимые слагаемые, получим выражение:
(2.11)
3.Деление.
Чтобы преобразовать дробь в комплексное число, необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряжённое к знаменателю, в числителе произвести действие умножения, а для знаменателя воспользоваться формулой (2.9)
:
(2.12)
Лекция 3
Лекция 4
Векторная алгебра. Понятие вектора, координаты, модуль вектора. Линейные операции над векторами. Базис
Цель: Изучить понятие вектора, равенства векторов, как определяются координаты вектора его модуль, линейные операции над векторами и их свойства, понятие базиса.
Определение. Направленный отрезок (упорядочивающий пару точек) будем называть вектором и обозначать , , где точку называют началом вектора, а – его концом (рис.4.1).
Необходимо знать, что в печатных изданиях часто векторные величины и векторы обозначают жирным шрифтом, без стрелки
|
|
Рис. 4.1
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, модулем или абсолютной величиной вектора и обозначают , .
Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой эти векторы параллельны, пишут . Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (направлены в одну сторону), и противоположно направленными. Обозначается соответственно , .
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору т.к. не имеет направления.
Свойство.Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует действительное число такое, что .
Определение. Два вектора считаются равными, если выполнено три условия: 1) их модули равны, 2) они параллельны, 3) направлены в одну сторону.
О равенстве векторов стоит поговорить отдельно, т.к. оно существенно отличается от равенства чисел. Два равных числа могут рассматриваться как одно и тоже. С векторами все иначе.
Из курса физики известно, что сила может быть изображена вектором. Но, силы изображаемые равными направленными отрезками производят, вообще говоря различные действия. Так сила действующая на упругое тело изображается направленным отрезком, который не может быть никуда перенесен из данной точки. Т.е. он характеризуется направлением и точкой приложения и называется приложенным вектором.
Сила действуещая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором, который может быть перенесен не в любую точку пространства, а лишь вдоль прямой на которой он лежит.
Все остальные равные вектора (множество направленных отрезков, равных данному) называются свободными векторами, с которыми мы и будем работать.
Линейные операции над векторами
Определение. Суммой называется вектор , который может быть найден по следующим правилам (рис.4.2).
Свойства сложения векторов:
1) , (коммутативность);
2) , (ассоциативность);
3) прибавление нулевого вектора к любому другому не меняет последнего ;
4) вектор, противоположный вектору , обозначается . Их сумма дает нулевой вектор .
Правило треугольника Правило параллелограмма
Рис. 4.2
Определение. Разность есть сумма (рис.4.3).
Рис.4.3
Определение. Произведением вектора на вещественное число называется любой вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
а) вектор коллинеарен вектору ;
б) ;
в) векторы и направлены одинаково если и противоположно направлены если
Лекция 5
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр) равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
(5.3)
где - угол между векторами . Обозначают скалярное произведение как .
Т.к. , то скалярное произведение можно вычислить по формуле
или (5.4)
Физический смысл скалярного произведения: работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения. .
Лекция 6
Векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов, основные свойства. Условия ортогональности, коллинеарности, компланарности векторов.
Цель: Изучить векторное и смешанное произведение векторов, их свойства, методы вычисления, условия ортогональности, компланарности и коллинеарности векторов.
Определение. Векторным произведением двух векторов , обозначают называется вектор удовлетворяющий трем условиям:
1) Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах
(6.1)
2) Вектор ортогонален перемножаемым векторам: т.е. ортогонален плоскости построенного на этих векторах параллелограмма
3) составляют правую тройку векторов (рис.6.1).
Рис. 6.1
Свойства двойного векторного произведения
1) ;
2) ;
3) .
О размерностях векторных величин
В приложениях математики рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил, которые имеют определенные размерности. Напомним основные правила действий с размерностями:
1) сумма имеет ту же размерность, что и слагаемые, и складывать можно векторные величины одинаковых размерностей;
2) при умножении вектора на скалярную величину их размерности перемножаются;
3) модуль векторной величины имеет ту же размерность что и вектор;
4) скалярное и векторное произведение имеют размерность равную произведению размерностей сомножителей.
Лекция 7
О пересечении двух линий
Пусть даны две линии и , заданные соответствующими уравнениями: и . Для нахождения всех точек пересечения и следует решить систему
Общее уравнение прямой
Раскрывая в уравнении (7.1) скобки и обозначив получим общее уравнение прямой:
(7.2)
Если и определяют одну и ту же прямую, то существует такое действительное , что , , , т.е. коэффициенты пропорциональны.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть – полное уравнение. Перенесем свободный член вправо и, в случае если , поделим на него . В сокращенных уравнениях мы уже ввели обозначения , тогда получим уравнение в отрезках:
(7.3)
Здесь отрезки отсекаемые прямой на соответствующих координатных осях (рис.7.2)
Рис.7.2
Уравнение прямой через точку и направляющий вектор
Определение: Всякий ненулевой вектор с координатами параллельный указанной прямой называют направляющим вектором этой прямой (рис. 7.3). Выберем на прямой произвольную точку и построим вектор . Т.к. векторы , то из условия коллинеарности векторов имеем пропорцию:
(7.4)
Которая дает нам каноническое уравнение прямой.
Рис.7.3
Уравнение прямой проходящей через две точки
Через любые две несовпадающие точки , можно построить прямую. Пользуясь условием параллельности векторов и (рис.7.4), где получаем:
(7.5)
уравнение прямой, проходящей через две точкии .
Рис.7.4.
Параметрическое уравнение прямой
Рассмотрим каноническое уравнение прямой (7.4) Оно описывает пропорциональность координат. Введем коэффициент пропорциональности и распишем два равенства ,
. (7.6)
Полученное уравнение называется параметрическим уравнением прямой .
Если - время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то можно считать, что параметрическое уравнение прямой определяет значение движения материальной точки по прямой с постоянной скоростью .
Уравнение прямой через точку с заданным угловым коэффициентом
Из канонического уравнения прямой: , получаем , где отношение координат направляющего вектора дает угловой коэффициент прямой , тогда уравнение
(7.7)
Есть уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом .
Определение: Угловой коэффициент прямой, есть отношение координат нормального или направляющего векторов и равен тангенсу угла наклона прямой относительно положительного направления оси .
Лекция 8
Общее уравнение плоскости
Раскроим скобки в уравнении (8.4) и обозначим константу . Получим уравнение:
(8.5)
– общее уравнение плоскости.
Если и определяют одну и ту же плоскость, то существует действительное число , такое, что , , , .
Уравнение плоскости в отрезках
Если дано полное уравнение плоскости , тогда с помощью преобразований аналогичных уравнению прямой можно получить уравнение плоскости в отрезках (рис.8.2):
. (8.6)
Рис 8.2
где - отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей , и соответственно (рис. 8.2), могут быть меньше нуля.
Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки
Даны три точки: , , .
Чтобы произвольная точка пространства принадлежала плоскости, т.е. , необходимо и достаточно, чтобы
Рис. 8.3
векторы были компланарны (рис. 8.3), следовательно, смешанное произведение векторов должно равняться нулю . Записывая данное равенство в координатной форме получим уравнение плоскости проходящей через три точки:
(8.7)
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности
И перпендикулярности плоскостей
Пусть даны две плоскости: и , где - угол между нормальными векторами плоскостей, тогда .
Если то и .
Если то и .
Лекция 9
Уравнение прямой в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве, разные задачи
Цель: изучить уравнения прямой в пространстве и их характеристики, методы определения взаимного расположения прямой и плоскости.
Прямая как пересечение двух плоскостей
Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух непараллельных плоскостей (рис.9.1)
(9.1)
Рис. 9.1
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки
Пусть даны две точки в пространстве: и .
Произвольная точка тогда и только тогда, когда (рис. 9.3) (или можно воспользоваться каноническим видом (9.2)).
Рис. 9.3
Условие коллинеарности векторов в координатной форме дадут уравнение:
(9.3)
- уравнение прямой, проходящей через две точки.
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Возьмем каноническое уравнение прямой и приравняем его к произвольному параметру : .
Раскрывая пропорции, получим параметрическое уравнение прямой в пространстве
(9.4)
Если принять параметр за время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью (такое движение происходит по инерции).
Лекция 10
Свойства суммы матриц
1) (коммутативность);
2)(ассоциативность).
Определение. Произведением матрицы на число l, называется матрица , элементы которой определяются по формуле:
(10.2)
( .).
Свойства операции транспонирования матриц
1);
2);
3) .
Определение.Действительная квадратная матрица , удовлетворяющая условию , называется ортогональной матрицей, .
Определение. Следом – квадратной матрицы называется сумма всех её диагональных элементов: .
Лекция 11
Свойство 5. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.
Свойство 6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
=.
нижний треугольный верхний треугольный
определитель определитель
Определение. Минором -ого порядка матрицы называется детерминант матрицы порядка , образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов. Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка, сколькими способами можно выбрать номера строк и столбцов. Если матрица квадратная, то каждому минору – ого порядка сопоставляется дополнительный минор, который по определению есть определитель матрицы порядка (), составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания строк и столбцов.
Лекция 12
Пример: Столбцы
,
являются линейно зависимыми, т.к. существуют такие числа, и , при которых линейная комбинация данных векторов обращается в нуль:
Свойства линейно зависимых строк и столбцов:
1) Система, содержащая нулевой столбец (строку), является линейно зависимой.
2) Система из столбцов (строк) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов (строк) раскладывается в линейную комбинацию остальных столбцов (строк) системы.
3) Если система столбцов (строк) содержит линейно зависимую подсистему, то она также линейно зависима.
4) Любая подсистема линейно независимых столбцов (строк) также линейно независима.
Метод нулей и единиц
Элементарными преобразованиями матрицу можно привести к виду, когда ее строки будут содержать нули и не более одной единицы. Т.е. часть строк и столбцов представляют собой единичную матрицу (остальные содержат только нули). Тогда ранг матрицы равен количеству единиц.
В данных преобразованиях (. и .) Ненулевые строки и столбцы есть базисные строки и столбцы. Минор построенный на данных строках и столбцах является базисным минором.
Лекция 13
Примеры конкретных линейных пространств.
1. – -мерное координатное пространство или совокупность строк содержащих – вещественных чисел. Операция сложения и умножения на число определены следующим образом:
а);
б).
Аксиомы 1-8 проверяются элементарно.
2.Множество всех положительных вещественных чисел. Под суммой [x+y]=x*y (будем понимать произведение), а под умножением [λ*x]=xλ, тогда нулевым элементом множества будет являться 1, а противоположным x, , тогда аксиомы 1-8 легко проверяются.
3.Множество всех положительных вещественных чисел , где сумма и умножение на число определяются стандартным образом [x+y]=x+y, [λx]= λx не является линейным пространством.
4.Аналогично множество всех многочленов степени не является линейным пространством, т. к. сумма может оказаться степени < .
Определение. Линейной комбинацией элементов пространства называются выражения вида , где , говорят что - линейно зависимы, если , такие что , а .
- неявляющиеся линейно зависимыми называют линейно независимыми.
Определение.Совокупность линейно независимых элементов пространства называется базисом этого пространства, если для существуют (вещественные числа), такие, что справедливо равенство , где - координаты (коэффициенты) в базисе пространства .
Теорема.При сложении любых двух элементов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются; при умножении произвольного элемента на любые числа α все координаты этого элемента умножаются на α.
Доказательство. Пусть базис ,
и - два элемента .
Тогда в силу аксиом 1-8 ,
.
Определение.Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n-линейно независимых элементов, а любые () элементы уже являются линейно зависимыми, – называют размерностью и обозначают . Линейное пространство называют бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.
Теорема. Если , то любые - линейно независимых элементов этого пространства образуют базис.
Если линейное пространство имеет базис, состоящий из элементов, следовательно, .
Определение (понятие линейного подпространства). Подмножество и удовлетворяющее условиям:
1. если , то ;
2. если ;
называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства R.
Определение. Линейной оболочкой элементов называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т. е. множество элементов вида , где (любые действительные числа), линейную оболочку принято обозначать как , ясно, что . равна максимальному числу линейно независимых элементов (которые составляют базис линейной оболочки).
Определение (новое определение ранга матрицы). Ранг произвольной матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы.
Лекция 14.
Лекция 15
Свойства обратной матрицы
1) ;
2) ;
3) если - неособенные матрицы одного порядка.
Определение.Действительная квадратная матрица , удовлетворяющая условию , называется ортогональной матрицей, .
Определение. Следом – квадратной матрицы называется сумма всех её диагональных элементов: .
Лекция 16.
Понятие линейного оператора. Основные свойства. Собственные числа и собственные векторы. Квадратичные формы.
Цель: Изучить понятия линейного оператора и его собственных чисел и собственных векторов, методы их нахождения.
Определение. Пусть и – линейные пространства размерности и соответственно, – будем называть оператором, действующим из и
, или , говорят что y – образ элемента x, а x – прообраз y.
Определение. Оператор , действующий из в называется линейным, если для и выполняются соотношения:
1. .
2. .
Если (комплексная плоскость), то – называют линейным функционалом. Если совпадает с , то – называют линейным преобразованием пространства.
Определение.Произведение λ на называется оператор λA определяемый равенством . , где нулевой оператор,
, противоположный оператор. - I – тождественный или единичный оператор.
Определение.Произведением оператора на называется оператор, для которого верны следующие соотношения :
1);
2);
3);
4);
5).
Определение.Операторназывается обратным для если, , обозначают .
Определение. Ядром линейного оператора называется множество всех элементов пространства , для которых : .
Определение.Образом линейного оператора называется множество элементов таких что : .
Определение.Рангом линейного оператора называется число равное .
Теорема. Пусть и пусть , тогда .
Матричная запись линейных операторов.
Фиксируем в линейном пространстве базис пусть – произвольный элемент и (разложение по базису ).
Пусть – линейный оператор . Тогда имеем ,
…,. . Пусть образы базисных векторов, тогда , т. е. , j=1,…,n, .
Рассмотрим матрицу линейного оператора в заданном базисе , это матрица столбцами которой являются координаты базисных векторов . Причем единственный линейный оператор , матрицей которого в заданном базисе будет матрица .
, - оператор.
При этом соотношения , , с одной стороны связывают образ с координатами прообраза , с другой стороны, описывают действие линейного оператора заданного матрицей A. При изменении базиса матрица линейного оператора A также изменится.
Пусть задан базис в пространстве и - новый базис, а U – матрица перехода от базиса , тогда матрица линейного оператора в двух базисах связаны следующим соотношением: , т. к. , и , .
Определение. Число λ называется собственным значением если существует ненулевой вектор такой, что , при этом называется собственным вектором оператора . Т.к. , , тогда чтобы однородная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы . Многочлен называется характеристическим многочленом .
Чтобы найти собственные числа нужно решить уравнение .
Чтобы найти собственный вектор , соответствующий собственному числу необходимо решить систему .
Свойство самосопряженного линейного оператора
1. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.
2. Если A – самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора ортогональны.
Определение. Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени относительно n переменных . Квадратичную форму всегда можно представить в виде:, (), где - симметрическая матрица (т.е. ).
Если – вещественная симметричная матрица, то форма называется вещественной, – самосопряженная.
В дальнейшем будем рассматривать вещественные квадратичные формы.
Теорема. Для каждой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет канонический вид (т.е. представляет сумму квадратов) или такой вид в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид.
Лекция 17
Лекция 18