Теорема. - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра 1. Каждый Вектор, Параллельный Какой-Либо Прямой, Может Быть Разложен По Бази...
1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости.
3. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве.
4. Компоненты вектора в каждом случае определяются однозначно.
Доказательство.
1. Поскольку вектор, параллельный прямой, и вектор, лежащий на прямой, ненулевые, существует число α такое, что положим, что .
2. , вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах .
3. , вектор является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах .
4. Доказательство единственности разложения вектора по определенному базису будем вести от противного.
Пусть и , тогда
.
Пусть – противоречие некомпланарности векторов .
Определение.Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса и некоторой точкой , называемой началом координат. Аффинными координатами точки М называются координаты вектора (относительно базиса ).
Определение. В случае декартовой прямоугольной системы координат базисом являются векторы единичной длины, лежащие на координатных осях и сонаправленные с ними , , , . Векторы взаимно ортогональны и их модули равны единице .
Т.е. векторы являются ортонормированным базисом декартовой системы координат. Базисные векторы имеют координаты , , .
Тогда каждый вектор может, и притом единственным образом, быть разложен по декартовому прямоугольному базису , т.е. существует такая тройка чисел , что справедливо равенство , – декартовы прямоугольные координаты, где , тогда , , где – углы между вектором и осями соответственно (рис. 4.5), а косинусы называются направляющими косинусами вектора.
И . Системы координат: декартовая, полярная.
Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.
В математике часто рассматривают
Вычисление определителя
Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое
Системы координат
1. Декартова система координат.
Рис.1.1
Возьмем в пространстве произвольную точку
Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора
Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.
Для того, что
Матрицы и действия над ними
Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.
Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций)
Определители: вычисление и свойства
Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.
Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется опред
Свойства определителя
Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.
Евклидово пространство.
Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.
Ортонормированный базис.
Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если
Матричный метод решения СЛАУ.
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:
(15.3)
Где
Свойства собственных значений и собственных чисел.
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.
3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.
Кривые второго порядка
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторо
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
. Поверхность
Новости и инфо для студентов