Свойства определителя - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра Все Свойства Определителя Следуют Из Определения Определителя И Свойств Конеч...
Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.
Свойство 1. Равноправность строк и столбцов. Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами
(11.4)
Т.е. .
Для доказательства этого свойства достаточно вычислить определители в левой и правой частях равенства и убедиться в равенстве полученных при этом членов.
В связи с этим свойством в дальнейшем вместо слов «строка» или «столбец» будем говорить просто «ряд», подразумевая их равноправность.
Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определителя его модуль сохраняет прежнее значение, а знак меняется на противоположный
Пример: .
Для доказательства этого свойства достаточно вычислить по правилу треугольника определители, стоящие в правой и левой частях равенства.
Следствие 1: Определитель с двумя одинаковыми рядами равен нулю.
Действительно, при перестановке двух одинаковых рядов абсолютное значение определителя не изменится, а, с другой стороны, в силу свойства 2 изменит знак на противоположный, т.е. , значит , следовательно, .
Следствие 2. Сумма произведений элементов какого либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.
Действительно, все такие разложения представляют из себя определители, содержащие два одинаковых ряда:
Свойство 3. Общий множитель элементов какого либо ряда можно выносить за знак определителя.
.
Действительно, поскольку определитель можно вычислить, раскладывая его по элементам строки (столбца), вычислим определитель, раскладывая его по элементам строки, умноженной на число , тогда каждое слагаемое будет содержать множитель, который может быть вынесен за скобку.
Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то определитель равен нулю.
Следствие 2. Если все элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.
Действительно,
Свойство 4. Линейное свойство определителя. Если в определителе -го порядка некоторая -ая строка представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей. Первый определитель будет иметь в -ой строке первые из упомянутых слагаемых , элементы в остальных строках будут такими же, как и в исходном определителе, а второй определитель в -ой строке будет иметь вторые из упомянутых слагаемых, а остальные строки будут совпадать с исходным определителем, т.е.
.
Это свойство следует из определения определителя, если разложить его по элементам -ой строки, а затем воспользоваться распределительным законом суммы.
Определение.Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
1) умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца);
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Свойства определителя
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
И . Системы координат: декартовая, полярная.
Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.
В математике часто рассматривают
Вычисление определителя
Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое
Системы координат
1. Декартова система координат.
Рис.1.1
Возьмем в пространстве произвольную точку
Теорема.
1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.
2. Любые два коллинеарных вектора линейно зав
Теорема.
1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой п
Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора
Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.
Для того, что
Матрицы и действия над ними
Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.
Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций)
Определители: вычисление и свойства
Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.
Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется опред
Евклидово пространство.
Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.
Ортонормированный базис.
Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если
Матричный метод решения СЛАУ.
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:
(15.3)
Где
Свойства собственных значений и собственных чисел.
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.
3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.
Кривые второго порядка
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторо
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
. Поверхность
Новости и инфо для студентов