Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Означення.Рівняння Відносно Невідомих ...
Означення.Рівняння відносно невідомих називається лінійним, якщо його можна записати у вигляді:
,
де – деякі числа, які називають коефіцієнтами рівняння, а – довільне число, яке називають довільним членом рівняння.
Означення.Системою лінійних рівнянь із невідомими, або лінійною системою, називають систему рівнянь вигляду
(1.6.1)
в якій кожне рівняння є лінійним.
Числа називають коефіцієнтами, а числа – вільними членами системи (1.6.1). Коефіцієнти при невідомих мають два індекси, з яких перший індекс вказує номер рівняння, якому належить даний коефіцієнт, а другий – номер невідомої, при якій цей коефіцієнт стоїть.
Означення. Лінійну систему рівнянь називають однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю. Якщо ж серед вільних членів є ненульові, то лінійну систему називають неоднорідною.
Означення.Розв’язком системи лінійних рівнянь (1.6.1) називають упорядковану сукупність чисел , підставлення яких замість відповідних невідомих , перетворює кожне з рівнянь системи (1.6.1) на тотожність.
Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок.
Система рівнянь називається несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.
Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має тільки один розв’язок.
Система рівнянь називається невизначеною, якщо вона має нескінчену множину розв’язків.
Дві системи вважають еквівалентними, якщо множини їхніх розв’язків однакові.
Зокрема, дві несумісні системи еквівалентні.
Подамо систему (1.6.1) у матричному вигляді.
Матрицю, елементами якої є коефіцієнти при невідомих – називають основною матрицею, а матрицю, доповнену вільними членами – розширеною матрицею системи.
Позначимо через та матриці-стовпці , , складені з невідомих і вільних членів. Тоді систему (1.6.1) можна записати у вигляді
(1.6.2)
Такий запис системи називають матричним.
При розв’язанні системи рівнянь, як правило, насамперед з’ясовують, чи сумісна вона, й потім вже знаходять усі її розв’язки. Питання про сумісність системи вирішується за допомоги наступної теореми.
Теорема Кронекера-Капеллі.Система лінійних рівнянь сумісна тоді й лише тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи.
Якщо ранг основної та розширеної матриць не рівні, то система несумісна й немає сенсу її розв’язувати. Якщо ранги матриць рівні, то система сумісна.
Для сумісних систем лінійних рівнянь можливі такі випадки:
- якщо ранг матриці сумісної системи дорівнює числу невідомих, тобто , то система (1.6.1) має єдиний розв’язок;
- якщо ранг матриці сумісної системи менший від числа невідомих, тобто , то система невизначена й має нескінчену кількість розв’язків.
Розв’язати систему рівнянь (1.6.1) можна різними методами. Розглянемо деякі з них на прикладі стандартної лінійної системи трьох рівнянь з трьома невідомими
(1.6.3)
Правило Крамера. Нехай – визначник матриці , яка складається з коефіцієнтів при змінних, а – визначник матриці, який отримано з матриці заміною -го стовпця на стовпець вільних членів. Тоді, якщо , тоді система (1.6.1) має єдине рішення, яке визначається за формулами:
(1.6.4)
Зауваження. У разі, коли , а серед є ненульові визначники, система (1.6.1) несумісна. В разі однорідної системи і , вона має лише нульовий розв’язок; якщо ж , то система, крім нульового, має також інші розв’язки.
Приклад 1.6.1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера.
УКРАЇНИ... Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла... Кафедра вищої і прикладної математики...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Фоміна Т.О.
Ф 76 Математика для економістів. Метод. вказ. для практ. занять та орг. самост. роботи студ. напряму підготовки «Економіка підприємства» / Т.О. Фоміна; М-во освіти і науки, молоді та спорту України
Поняття числової матриці
Дуже часто для розв’язання економічних задач використовують поняття „матриця”: технологічна матриця, матриця попиту, матриця пропозиції та інші. У багатьох прикладних задачах доводиться зводити чис
Дії над матрицями
Над матрицями, як і над числами, можна робити такі алгебраїчні дії, як додавання, множення матриць, множення матриці на число. Матриці можна також транспонувати.
Означення.
Дії над матрицями
Над матрицями, як і над числами, можна робити такі алгебраїчні дії, як додавання, множення матриць, множення матриці на число. Матриці можна також транспонувати.
Означення.
Визначники квадратних матриць
Визначники матриць часто вживаються при розв’язанні задач у багатьох розділах вищої математики, наприклад, в лінійній алгебрі при розв’язанні систем лінійних рівнянь, в аналітичній геометрії при об
Деякі правила обчислення визначників
1. Правило трикутника.
Наведене правило обчислення визначників третього порядку (1.2.3) називається правилом трикутника. Його можна представити наступною схемою:
Ранг матриці
Розглянемо матрицю розмірності (1.1.1). Якщо в цій матриці викреслити довільно
Методи обчислення рангу матриці
Метод обвідних мінорів.Ранг матриці визначається в наступній послідовності:
1. Якщо серед елементів матриці є хоча б один відмінний від нуля елемент, то знаходимо нену
Обернена матриця
Означення. Матриця називається оберненою для квадратної матриці
Матричні рівняння.
Означення.Матричними рівняннями називаються рівняння виду:
, або
Розв’язання
Знайдемо визначник системи за формулою (1.2.3)
Система має єдине рішення, тому що
Розв’язання
Виключимо невідому із усіх рівнянь, крім першого. Для цього помножимо перше рівняння на 3 і віднімемо отримане рівняння від другого; потім п
Технологічна матриця
Нехай підприємство, що має видів ресурсів виготовляє з них видів продукції. Припуст
Основні методи інтегрування
Основними методами інтегрування є безпосереднє інтегрування за допомогою основних властивостей невизначеного і визначеного інтеграла і таблиці інтегралів, метод підстановки (заміни змінної) і інтег
Метод невизначених коефіцієнтів
Через те, що інтегрування багаточлена не представляє труднощів, то досить навчитися інтегрувати правильні раціональні дроби. Сформульована нижче теорема дозволяє звести інтегрування будь-якого прав
Розв’язання.
а)Розкладемо підінтегральний вираз за схемою (2.4.2) з невизначеними коефіцієнтами
.
Звідси:
Невласні інтеграли
Розрізняють невласні інтеграли I– го і II– го роду.
Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним інтервалом інтегрування
Диференціальні рівняння першого порядку
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї змінної і похідні різних порядків даної функції.
У загальному
називається лінійним, якщо його можна записати у вигляді:
,
– деякі числа, які називають коефіцієнтами рівняння, а 
– довільне число, яке називають довільним членом рівняння.
лінійних рівнянь із 
невідомими, або лінійною системою, називають систему рівнянь вигляду
(1.6.1)
називають коефіцієнтами, а числа 
– вільними членами системи (1.6.1). Коефіцієнти при невідомих мають два індекси, з яких перший індекс вказує номер рівняння, якому належить даний коефіцієнт, а другий – номер невідомої, при якій цей коефіцієнт стоїть.
, підставлення яких замість відповідних невідомих 
– називають основною матрицею, а матрицю, доповнену вільними членами 
– розширеною матрицею системи.
та 
матриці-стовпці 
, 
, складені з невідомих і вільних членів. Тоді систему (1.6.1) можна записати у вигляді
(1.6.2)
основної матриці системи дорівнює рангу 
розширеної матриці цієї системи.
, то система (1.6.1) має єдиний розв’язок;
, то система невизначена й має нескінчену кількість розв’язків.
(1.6.3)
– визначник матриці 
, яка складається з коефіцієнтів при змінних, а 
– визначник матриці, який отримано з матриці 
-го стовпця на стовпець вільних членів. Тоді, якщо 
, тоді система (1.6.1) має єдине рішення, яке визначається за формулами:
(1.6.4)
, а серед 
Новости и инфо для студентов