Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Означення.Диференціальне Рівняння Першого Порядку Називаєтьс...
Означення.Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо воно може бути представлене у вигляді:
, (2.8.1)
де – деяка функція (однієї змінної).
Поняття однорідного диференціального рівняння пов'язане з однорідними функціями.
Означення.Функція називається однорідноюстепені , якщо для довільного числа виконується рівність:
Однорідні рівняння за допомогою підстановки приводяться до рівнянь зі змінними, що розділяються.
Приклад 2.8.1.Розв’язати рівняння: .
Розв’язання. Через те, що , рівняння має вигляд (2.8.1) при . Нехай , звідси і . підставимо в перетворене рівняння:
,
.
Одержимо рівняння зі змінними, що розділяються:
.
Розділимо обидві частини рівності на і помножимо на (, тобто , але слід зазначити, що є рішенням вихідного рівняння).
.
Інтегруючи останню рівність, одержуємо:
,
,
.
Повертаючись до початкових змінних, одержимо:
, звідки
( при одержуємо розв’язок диференціального рівняння).
Означення.Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд:
(2.8.2)
де й – деякі (неперервні) функції змінної .
Розглянемо один з можливих способів розв’язання рівняння: будемо шукати рішення у вигляді , тим самим шуканими стають функції і , одна з яких може бути обрана довільно, а інша – повинна визначатися з рівняння (2.8.2). Тобто використовується в рішенні заміна .
Приклад 2.8.2.Розв’язати рівняння: .
Розв’язання. Розділивши ліву і праву частини на приходимо до лінійного неоднорідного рівняння:
.
Нехай , , тоді рівняння прийме вид:
або .
Користуючись тим, що одну з допоміжних функцій (наприклад ) можна вибрати довільно, підберемо її так, щоб вираження в дужках обернулося в нуль, тобто в якості візьмемо одне із частинних рішень рівняння зі змінними, що розділяються.
або ; звідки: .
Якщо проінтегруємо обидві частини рівності, знайдемо частинне рішення цього рівняння, наприклад, при , звідки .
При вихідне рівняння звернеться в рівняння:
або .
Розв’язуючи це рівняння зі змінними, що розділяються, одержуємо . Тоді остаточно маємо:
Фоміна Т.О.
Ф 76 Математика для економістів. Метод. вказ. для практ. занять та орг. самост. роботи студ. напряму підготовки «Економіка підприємства» / Т.О. Фоміна; М-во освіти і науки, молоді та спорту України
Поняття числової матриці
Дуже часто для розв’язання економічних задач використовують поняття „матриця”: технологічна матриця, матриця попиту, матриця пропозиції та інші. У багатьох прикладних задачах доводиться зводити чис
Дії над матрицями
Над матрицями, як і над числами, можна робити такі алгебраїчні дії, як додавання, множення матриць, множення матриці на число. Матриці можна також транспонувати.
Означення.
Дії над матрицями
Над матрицями, як і над числами, можна робити такі алгебраїчні дії, як додавання, множення матриць, множення матриці на число. Матриці можна також транспонувати.
Означення.
Визначники квадратних матриць
Визначники матриць часто вживаються при розв’язанні задач у багатьох розділах вищої математики, наприклад, в лінійній алгебрі при розв’язанні систем лінійних рівнянь, в аналітичній геометрії при об
Деякі правила обчислення визначників
1. Правило трикутника.
Наведене правило обчислення визначників третього порядку (1.2.3) називається правилом трикутника. Його можна представити наступною схемою:
Ранг матриці
Розглянемо матрицю розмірності (1.1.1). Якщо в цій матриці викреслити довільно
Методи обчислення рангу матриці
Метод обвідних мінорів.Ранг матриці визначається в наступній послідовності:
1. Якщо серед елементів матриці є хоча б один відмінний від нуля елемент, то знаходимо нену
Обернена матриця
Означення. Матриця називається оберненою для квадратної матриці
Матричні рівняння.
Означення.Матричними рівняннями називаються рівняння виду:
, або
Розв’язання
Знайдемо визначник системи за формулою (1.2.3)
Система має єдине рішення, тому що
Розв’язання
Виключимо невідому із усіх рівнянь, крім першого. Для цього помножимо перше рівняння на 3 і віднімемо отримане рівняння від другого; потім п
Технологічна матриця
Нехай підприємство, що має видів ресурсів виготовляє з них видів продукції. Припуст
Основні методи інтегрування
Основними методами інтегрування є безпосереднє інтегрування за допомогою основних властивостей невизначеного і визначеного інтеграла і таблиці інтегралів, метод підстановки (заміни змінної) і інтег
Метод невизначених коефіцієнтів
Через те, що інтегрування багаточлена не представляє труднощів, то досить навчитися інтегрувати правильні раціональні дроби. Сформульована нижче теорема дозволяє звести інтегрування будь-якого прав
Розв’язання.
а)Розкладемо підінтегральний вираз за схемою (2.4.2) з невизначеними коефіцієнтами
.
Звідси:
Невласні інтеграли
Розрізняють невласні інтеграли I– го і II– го роду.
Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним інтервалом інтегрування
Диференціальні рівняння першого порядку
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї змінної і похідні різних порядків даної функції.
У загальному
Новости и инфо для студентов