Реферат Курсовая Конспект
Последовательность независимых испытаний. - раздел Социология, Классическое определение вероятности Пусть A Есть Некоторое Случайное Событие По Отношению К Некоторому Опы...
|
Пусть A есть некоторое случайное событие по отношению к некоторому опыту σ. Обозначим ; , где . В качестве примера рассмотрим опыт, состоящий в бросании игрального кубика, а в качестве A возьмем случайное событие, состоящее в выпадении 6и очков. Очевидно, что в этом примере ; .
Пусть опыт σ повторяется независимо n раз. В каждом испытании событие A может как наступить, так и не наступить. Обозначим через Pn(k) вероятность того, что при n независимых испытаниях событие A произойдет k раз, где k ≤ n.
Теорема(Бернулли).Имеет место формула.
. (1)
Определение. Формула (1) называется формулой Бернулли, а многократное повторение опыта σ, при каждом из которых может наступить с одной и той же вероятностью событие A называется схемой Бернулли.
Задача.Доказать формулу (1).
Пример. Вернемся к первому примеру. Пусть игральный кубик бросается 3 раза. Найти вероятность того, что шестерка выпадет 2 раза.
Ответ дается формулой (1), в которой , , , :
.
Приведем еще две формулы, применяемые в задачах, связанных со схемой Бернулли.
Вероятность не наступления события A в течение n испытаний согласно формуле Бернулли равна
.
Пусть B есть событие, состоящее в том, что в n опытах событие A ни разу не произойдет. Пусть C есть случайное событие, состоящее в том, что в n опытах событие A произойдет хотя бы один раз. Очевидно, что B и C образуют полную группу событий. Поэтому .
По доказанному
.
Следовательно,
.
Определение. Число k = k0, при котором вероятность Pn(k) является наибольшей, называется наивероятнейшим числом наступления события A в n испытаниях.
Теорема.Если и , то число k0 удовлетворяет двойному неравенству
. (2)
Замечание. Если , то имеются два наивероятнейших значения и .
Пример. Игральный кубик бросается 20 раз. Каково наиболее вероятное число выпадений 6и очков.
Решение.
В данном случае , , . Вычислим ; . Поэтому . Так как , то . Следовательно, наиболее вероятное число выпаданий шестерки равно 3.
Замечание. Из последней теоремы следует, что одно из двух целых чисел (а иногда оба), ближайших к числу np, являются наиболее вероятным числом успехов. Число np допускает и другую важную интерпретацию. А именно, np можно рассматривать в определенном смысле как среднее число наступлений события A в n опытах. Этот факт точно формулируется и строго обосновывается в предельных теоремах теории вероятности.
2. Приближенные формулы для Pn(k) при больших значениях n и k.
Часто при решении задач приходится вычислять вероятности Pn(k) при больших значениях n и k, при которых вычисления по формуле Бернулли (1) сложно и громоздко. В этом случае используют приближенные формулы Муавра-Лапласса для случая, когда оба числа p и q не являются малыми. Приведем эти формулы.
Если n велико, то из локальной теоремы Муавра-Лапласса следует приближенная формула
, ,(3)
где .
В конце пособия приведена таблица значений функции φ(x). Заметим, что φ(x) – четная функция, то есть φ(-x) = φ(x). Поэтому в таблице приводятся значения φ (x) только для положительных значений аргумента.
При больших n вероятности Pn(k) близки к 0. Поэтому на практике вычисляют вероятность попадания числа успехов в заданный промежуток.
Пусть k есть число наступлений события A в n опытах. Обозначим через Pn(k1,k2) вероятность того, что .
Если n велико, то из интегральной теоремы Муавра-Лапласса следует приближенная формула
, (4)
где , , (5)
а есть функция Лапласса:
. (6)
Таблица значений функции Ф приведена в конце пособия.
Перечислим без доказательства известные свойства функции Ф(x):
1. Ф(x) – нечетная функция.
2. Ф(x) – возрастает.
3. , .
График функции y = Ф(x) изображен на рисунке
Пример. Вероятность поражения мишени стрелком равна . Какова вероятность того, что при 300 выстрелах мишень будет поражена.
а) ровно 72 раз; б) от 66 до 84 раз?
Решение.
В этом примере n = 300, p = 1.25, q = 1 – 0.25 = 1.75, k = 72. В соответствии с формулами (3) вычисляем
;
По таблице значений φ (x) находим значение φ (–0,4) = φ (0.4) = 0.368. Тогда по формуле (3)
Далее по условию k1 = 66, k2 = 84. По формулам (5) вычислим
, .
Значение функции найдено по таблице.
Замечание. Если одно из чисел p или q близко к 0, то значения Pn(k), вычисленные по приближенным формулам, сильно отличаются от точных значений. В этом случае рекомендуется использовать приближенную формулу Пуассона. Приведем эту формулу.
Пусть вероятность p мала. Тогда
, где .
Тема 4: Случайные величины. Непрерывные и дискретные случайные величины. Закон распределения случайных дискретных величин. Бином распределения, распределение Пуассона.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Классическое определение вероятности... Основные понятия... В жизни часто встречаются ситуации когда результат проводимого опыта испытания наблюдения нельзя предсказать...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Последовательность независимых испытаний.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов