Основные определения и вывод основных уравнений

 

Модальный анализустойчивости требует приведения модели энергосистемы к нормальному виду, т.е. все линеаризованные дифференциальные уравнения должны быть разрешены относительно производных по времени

 

,

где

– вектор переменных состояний системы порядка n;

R – квадратная матрица состояния системы, размером ;

.

Таким образом, для системы порядка n модель имеет вид

 

.

 

Система линейных уравнений малых колебаний для сложной энергосистемы

,

записанная в матричной форме

,

представляет собой модель, содержащую вторые производные переменных состояния по времени (в данном случае углов отклонения роторов от синхронной оси).

На примере одногенератороной системы можно рассмотреть приведение математической модели

к нормальному виду.

Поскольку первая производная угла отклонения по времени является угловой скоростью

,

следовательно,

,

откуда

.

Полученная модель приведена к форме, содержащей только первые производные по времени, за счет введения дополнительных переменных состояния и удвоения ранга матрицы состояния энергосистемы.

Решение системы для любой переменной состояния может быть записано в виде суммы составляющих движения

, (4.1)

где – корень системы,

– амплитуда движения, включающая два сомножителя.

, (4.2)

где – сомножитель, не зависящий от начальных условий и определяемый только параметрами системы;

– сомножитель, зависящий от начальных условий.

Таким образом, с учетом (4.1) и (4.2) переменная состояния определяется из выражения

.

Выражение для определения всей совокупности переменных состояния можно записать в виде системы уравнений

или в матричной форме

. (4.3)

Слагаемые правой части уравнения (4.3) называется модами движения, а входящие в них столбцы – модальными векторами.

Пусть число генерирующих узлов n = 2, переменные состояния – углы отклонения роторов генераторов от синхронной оси.

В данном примере для двухгенераторной электроэнергетической системы

.

Переменная состояния – суперпозиция колебаний различной частоты ротора генератора при нарушении установившегося режима работы энергосистемы (рис. 4.1).

Угол отклонения ротора первого генератора от синхронной оси определяется по формуле

,

где ,– амплитуды колебаний с частотами и для ротора первого генератора;

, – собственные частоты малых колебаний первого и второго генераторов (и );

, – их декременты затухания.

 

Рис. 4.1. Зависимость переменной состояния от времени

 

Для рассматриваемого примера состояние системы устойчиво, так как суперпозиция колебаний обеих частот имеет тенденцию к затуханию (рис. 4.1).

В общем случае выражение для столбца переменных состояния (4.3) может быть записано через квадратную модальную матрицу, столбцами которой являются модальные вектора

.

Поскольку производная от экспоненты

,

 

следовательно, для левой части уравнения модели, приведенной к нормальному виду

,

верно выражение

или же

. (4.4)

Для правой части, в свою очередь, верно выражение

. (4.5)

Таким образом, с учетом (4.4) и (4.5) для каждого -го корня выполняется следующее равенство

,

что при сокращении сомножителей дает уравнение

.

Таким образом, полученное матричное уравнение не зависит от начальных условий и определяется только параметрами системы.

Из матричной алгебры известно, что если для некого числа верно

,

где – квадратная матрица; – столбец; то – собственный вектор матрицы ; – собственное значение .

Собственные значения определяются из условия

.

Раскрытие характеристического определителя

дает характеристическое уравнение

,

решение которого позволяет найти все собственные значения.

Матрица размером имеет n собственных значений.

Собственные вектора определяются из уравнений

,

где – единичная матрица

,

в которое поочередно подставляются все собственные значения.

Каждое собственное значение соответствует определенному собственному вектору матрицы

 

.

Собственное значение может быть действительным корнем (апериодическое движение) или одним из пары комплексно сопряженных корней (колебательное движение с частотой и декрементом затухания ).

Собственный вектор определяет соотношение амплитуд колебаний роторов генераторов с частотой , т.е. форму или же моду j-го движения)

.

 

Модальная матрица определяет совокупность всех мод движения. На рис. 4.2 показан временной срез моды – форма колебательного движения с частотой для энергосистемы, состоящей из пяти генераторных узлов (рис. 4.3). Высота столбца гистограммы над номером некого генератора соответствует значению одного из элементов собственного вектора , а в физическом смысле – это амплитуда колебаний ротора данного генератора с указанной частотой .

 

Рис. 4.2. Форма (мода) j-го движения

 

 

Рис. 4.3. Схема энергосистемы

 

Модальная теория изучает совокупность динамических свойств энергосистемы, на основании определения собственных значений и собственных векторов матрицы состояний энергосистемы.

Для определения собственного вектора необходимо решить следующую систему

.

Однако, так как – это корень из уравнения , следовательно, система данная будет линейно зависима. Для решения этой проблемы необходимо произвольно задать один из компонентов собственного вектора (например, ), исключив тем самым одно из уравнений и решив систему порядка с неизвестным. В таком случае собственный вектор определяется с точностью до константы

.

Пусть математическая модель представлена системой уравнений второго порядка

,

которая при записи в матричной форме имеет вид

,

где элементами столбцов являются переменные состояния, квадратная матрица – матрица состояния.

Собственные значения матрицы состояния определяются из условия

,

которое для данного примера имеет вид

.

Решение характеристического уравнения, полученного при раскрытии определителя, позволяет найти собственные значения , являющиеся его корнями:

.

 

Для определения собственных векторов найденные собственные значения поочередно подставляются в систему уравнений

.

При подстановке первого собственного значения данная система приобретает вид

,

т.е. имеет место система линейно зависимых уравнений

.

В таком случае один из компонентов собственного вектора задается произвольно, например,

тогда

.

Следовательно, первый собственный вектор

.

При подстановке второго собственного значенияимеет место система также линейно зависимых уравнений

.

При аналогичном задании одного из компонентов () второй собственный вектор имеет вид

.

В таком случае решение для переменных состояния

.

Пусть переменные состояния – углы отклонения роторов от синхронной оси в энергосистеме с двумя генераторными узлами

.

Изменение во времени углов отклонения роторов генераторов от синхронной оси показаны на рис. 4.4. Наличие положительного действительного корня, как показано на рис. 4.4, ведет к неограниченному росту углов отклонения, т.е. к апериодическому нарушению статической устойчивости.

 

Рис. 4.4. Зависимости углов отклонения роторов генераторов

от синхронной оси