Шпора по Сопромату 2006

1. Основные понятия и допущения. Жесткость – способность конструкции в определенных пределах воспринимать воздействие внешних сил без разрушения и существенного изменения геометрических размеров. Прочность – способность конструкции и ее материалов сопротивляться нагрузкам. Устойчивость – способность конструкции сохранять форму первоначального равновесия.Выносливость – прочность материалов в условиях нагрузок. Гипотеза сплошности и однородности: материал, состоящий из атомов и молекул, заменяют сплошным однородным телом.

Сплошность обозначает, что сколь угодно малый объем содержит в-во. Однородность обозначает, что во всех точках св-ва материала одинаковы. Использование гипотезы позволяет применять сист. координат и для исследования интересующих нас функций использовать матем анализ и описывать действия различными моделями. Гипотеза изотропности: предполагает, что во всех направлениях св-ва материала одинаковы.Анизотропным явл дерево, у к-ого св-ва вдоль и поперек волокон значительно отличаются. 2. Механические хар-ки материала. Под пределом текучести σТ понимается то напряжение, при к-ом происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.

Под пределом упругости σУ понимается такое наибольшее напряжение, до к-ого материал не получает остаточных деформаций. Предел прочности(σВ)– отношение максимальной силы, к-ую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения.Предел пропорциональности (σПР) – наибольшее напряжение, до к-ого материал следует закону Гука. Величина Е представляет собой коэф пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода. Величина G назыв модулем сдвига или модулем упругости 2 рода. (G=0.5E/(1+µ)). µ - безразмерный коэф пропорциональности, называемый коэф Пуассона, хар-ет св-ва материала, определяется экспериментальным путем, для всех металлов числовые значения лежат в пределах 0,25…0,35. 3. Силы. Взаимодействие между частями рассматриваемого объекта хар-ют внутренние силы. Они возникают не только между отдельными взаимодействующими узлами конструкции, но также и между всеми смежными частицами объекта при нагружении.

Внутренние силы определяются методом сечений. Различают поверхностные и объемные внешние силы. Поверхностные силы могут быть приложены к малым участкам поверхности (это сосредоточенные силы, например Р) или к конечным участкам поверхности (это распределенные силы, например q). Они хар-ют взаимодействие конструкции с другими конструкциями или с внешней средой.

Объемные силы распределены по объему тела. Это силы тяжести, магнитного напряжения, силы инерции при ускоренном движении конструкции. 4. Понятие напряжения, допустимое напряжение. Напряжение – мера интенсивности внутренних сил.lim∆R/∆F=p – полное напряжение.

Полное напряжение может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения.

Составляющую вектора полного напряжения по нормали обозначают через σ и назыв нормальным напряжением.Составляющие в плоскости сечения назыв касательными напряжениями и обознач через τ. Допускаемое напряжение – [σ]=σПРЕД/[n] – зависит от марки материала и коэф запаса прочности. 5. Деформация растяжения-сжатия. Растяжение (сжатие) – вид нагружения, при к-ом из шести внутренних силовых факторов (Qx, Qy, Mx, My, Mz, N) пять равны нулю, а N≠0. σmax=Nmax/F≤[&#96 3;]+ - условие прочности при растяжении; σmax=Nmax/F≤[&#96 3;] условие прочности при сжатии.

Математическое выражение з-на Гука: σ=εЕ, где ε=∆L/L0. ∆L=NL/EF – развернутый з-он Гука, где EF – жесткость стержня поперечного сечения. ε – относительная (продольная) деформация, ε’=∆а/а0=∆в /в0 – поперечная деформация, где при нагружении а0, в0 уменьшились на величину ∆а=а0-а, ∆в=в0-в. 6. Геометрические хар-ки плоских сечений. Статический момент площади: Sx=∫ydF, Sy=∫xdF, Sx=ycF, Sy=xcF. Для сложной фигуры Sy=∑Syi , Sx=∑Sxi .Осевые моменты инерции: Jx=∫y2dF, Jy=∫x2dF. Для прямоугольника Jx=bh3/12, Jy=hb3/12, для квадрата Jx=Jу=а4/12. Центробежный момент инерции: Jxy=∫xydF, если сечение симметрично хотя одной оси, Jxу=0. Центробежный момент инерции несимметричных тел будет положительным, если большая часть площади будет находиться в 1 и 3 квадранте.

Полярный момент инерции: Jρ=∫ρ2dF, ρ2=х2+у2, где ρ – расстояние от центра координат до dF. Jρ=Jx+Jy. Для круга Jρ=πd4/32, Jx=πd4/64. Для кольца Jρ=2Jх=π(D4-d4)/32=&am p;#960;D4(1-α4)/32. Моменты сопротивления: для прямоугольника Wx=Jx/уmax , где уmax – расстояние от центра тяжести сечения до границ по у. Wx=bh2/6, Wx=hb2/6, для круга Wρ=Jρ/ρmax, Wρ=πd3/16, для кольца Wρ=πD3(1-α3)/ 16. Координаты центра тяжести: xc=(x1F1+x2F2+x3F3)/(F1+F2+F3). Главные радиусы инерции: iU=√JU/F, iV=√JV/F. Моменты инерции при параллельном переносе осей координат: Jx1=Jхc+b2F, Jy1=Juc+a2F, Jx1y1=Jхcyc+abF. 7. Деформация сдвига и кручения. Чистым сдвигом называется такое напряженное состояние, когда на гранях выделенного эоемента возникают только касательные напряжения τ. Под кручением понимают вид движения, при к-ом в поперечном сечении стержня возникает силовой фактор Mz≠0, остальные Мх=Му=0, N=0, Qx=Qy=0. Изменение внутренних силовых факторов по длине изображаются в виде эпюры с использованием метода сечений и правила знака.

При деформации при сдвиге касательное напряжение τ связано с угловой деформацией γ соотношением τ =Gγ. dφ/dz=θ – относительный угол закручивания – это угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. θ=МК/GJρ , где GJρ – жесткость поперечного сечения при кручении. τmax=MKmax/Wρ&#880 4;[τ] – условие прочности при кручении круглых стержней. θmax=МК/GJ& #961;≤ [θ] – условие жесткости при кручении круглых стержней. [θ] – зависит от типа опор. 8. Изгиб. Под изгибом понимают такой вид нагружения, при к-ом ось стержня искривляется (изгибается) от действия нагрузок, расположенных перпендикулярно оси. Изгибу подвергаютя валы всех машин от действия сил, пары сил – момента в местах посадки зубчатых колес, шестерен, полумуфт. 1) Изгиб назыв чистым, если в поперечном сечении стержня возникает единственный силовой фактор – момент изгибающий, остальные внутренние силовые факторы равны нулю. Образование деформаций при чистом изгибе можно рассматривать как результат поворота плоских поперечных сечений одно относительно другого. σ=Му/Jx – формула Навье для определения напряжений. ε=у/ρ – продольная относительная деформация.

Диф зависимости: q=dQz/dz, Qz=dMz/dz. Условие прочности: σmax=Мmax/Wx≤[&#9 63;] 2) Изгиб назыв плоским, если силовая плоскость, т.е. плоскость действия нагрузок, совпадает с одной из центральных осей. 3) Изгиб назыв косым, если плоскость действия нагрузок не совпадает ни с одной из центральных осей. Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию σ=0, назыв нейтральной линией сечения, она перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого стержня. 4) Изгиб назыв поперечным, если в поперечном сечении возникает момент изгибающий и поперечная сила. τ=QSxотс/bJx – формула Журавского, τmax=QmaxSxmax/bJx≤[& amp;#964;] – условие прочности.

Полная проверка прочности балок при поперечном изгибе заключается в определении размеров поперечного сечения по формуле Навье и дальнейшей проверки по касательным напряжениям.

Т.к. наличие τ и σ в сечении относится к сложному нагружению, то оценку напряженного состояния при совместном их действии можно вычислить, используя 4 теорию прочности σэкв4=& #8730;σ2+3& amp;#964;2≤[σ]. 9. Напряженное состояние.

Исследуем напряженное состояние (НС) в окрестностях точки А, для этого выделим бесконечно малый параллелепипед, к-ый в увеличенном масштабе поместим в сист координат.

Действия отброшенной части заменяем внутренними силовыми факторами, интенсивность к-ых можно выразить через главный вектор нормальных и касательных напряжений, к-ые разложим по трем осям – это компоненты НС точки А. Как бы сложно не было нагружено тело, всегда можно выделить взаимно перпендикулярные площадки, у к-ых касательные напряжения равны нулю. Такие площадки назыв главными.

Линейное НС – когда σ2=σ3=0, плоское НС – когда σ3=0, объемное НС – когда σ1≠0, σ2≠0, σ3≠0. σ1, σ2,σ3 – главные напряжения. Напряжения на наклонных площадках при ПНС: τβ=-τ&#94 5;=0,5(σ2-σ1)sin&# 945;, σα=0.5(σ1+&am p;#963;2)+0.5(σ1-σ2)co s2α, σβ=σ1sin2&amp ;#945;+σ2cos2α. 10. Теории прочности.

В случае ЛНС оценка прочности выполняется по условию σmax=σ1≤[&am p;#963;]=σпред/[n]. При наличии σ1>σ2>σ 3 в случае НС опред экспериментальным путем опасное сост трудоемко из-за большого кол-ва экспериментов при различных сочетаниях напряжений.

Поэтому используют критерий, позволяющий выделить преимущественное влияние одного из факторов, к-ый будет назван критерием и будет положен в основу теории. 1) первая теория прочности (наибольших нормальных напряжений): напряженное сост равнопрочны по хрупкому разрушению, если у них равны растягивающие напряжения (не учит σ2 и σ3) – σэкв=& #963;1≤[&am p;#963;]. 2) вторая теория прочности (наибольших растягивающих деформаций-т Мариотта): н6апряжен сост равнопрочны по хрупкому разрушению, если у них равны наибольшие растягивающие деформации. εmax=ε1≤[&am p;#949;], ε1=(σ1-μ(&amp ;#963;2+σ3))/E, σэкв=σ1-μ(&am p;#963;2+σ3)≤[&#9 63;]. 3) третья теория прочности (наиб касат напряжений – Кулон): напряж сост равнопрочны по появлению недопустимых пластич деформаций, если у них равны наиб касат напряжения τmax=0.5(σ1-σ 3)≤[τ]=[σ]/2 , σэкв=σ1-σ3&am p;#8804;[σ] σэкв=√σ2+4&a mp;#964;2≤[σ]. 4) четвертая теория удельной потенциальной энергии формоизменения (энергетическая): при деформировании потенц энергия расход на изменение формы и объема U=Uф+UV напряжен сост равнопрочны по появлению недопустимых пластич деформаций, если у них равны удельные потенц энергии изменения формы.

Uэкв=Uф. С учетом обобщенного з-на Гука и матем преобразований σэкв=√(σ12+& amp;#963;22+σ32-σ1&amp ;#963;2-σ2σ3-&#963 ;3σ1)≤[σ], σэкв=√(0,5[(&#963 ;1-σ2)2+(σ1-σ 3)2+(σ3-σ2)2] )≤[τ]. В случае ПНС σэкв=√σ2+3&a mp;#964;2. 5) пятая теория прочности Мора (обобщ теория предельных сост): опасное предельное сост опред двумя главными напряженияи, наиб и наим σэкв=σ1-кσ3&a mp;#8804;[σ], где к-коэф неравнопрочности, к-ый учитывает способность материала неодинаково сопротивляться растяжению и сжатию к=[σр]/[σсж]. 11. Энергетические теоремы.

Перемещение при изгибе – в инженерных расчетах встречаются случаи, когда балки, удовлетворяя условию прочности, не обладают достаточной жесткостью.

Жесткость или деформативность балки опред перемещениями: θ – угол поворота, Δ – прогиб.

Под нагрузкой балка деформируется и представляет собой упругую линию, к-ая деформируется по радиусу ρА. Прогиб и угол поворота в т А образован касательной упругой линией балки и осью z. Рассчитать на жесткость значит опред максимальный прогиб и сравнить его с допустимым. Метод Мора – универсальный метод опред перемещений для плоских и пространственных систем с постоянной и переменной жесткостью, удобен тем, что может быть запрограммирован.

Для опред прогиба рисуем фиктивную балку и прикладываем единичн безразмерную силу. Δ=1/EJx*∑∫M M1dz. Для определения угла поворота рисуем фиктивную балку и прикладываем единичн безразм момент θ=1/EJx*∑∫M M’1dz. Правило Верещагина – удобно тем, что при постоянной жесткости интегрирование можно заменить алгебраическим перемножением эпюр изгибающих моментов грузового и единичного сост балки.

Явл осн методом, к-ый применяется при раскрытии СНС. Δ=1/EJx*∑ωpM 1c – правило Верещагина, в к-ом перемещение обратно пропорционально жесткости балки и прямо пропорционально произведению площади грузового сост балки на ординату центра тяжести. Особенности применения: эпюру изгиб моментов делят на элементарные фигуры, ωp и M1c берутся с учетом знаков, если на участке одновременно действуют q и Р или R, то эпюры необходимо расслаивать, т.е. строить отдельно от каждой нагрузки или применять различные приемы расслоения. 12. Статически неопределимые системы.

СНС назыв те сист, у к-ых уравнений статики недостаточно для определения реакций опор, т.е. связей, реакций в ней больше, чем необходимо для их равновесия.

Разность между общ числом опор и кол-вом независимых уравнений статики, к-ые можно сост для данной сист назыв степенью статической неопределимости S. Связи, наложенные на сист сверхнеобходимых назыв лишними или дополнительными.

Введение дополнительных опорных закреплений приводит к уменьшению изгибающих моментов и максимального прогиба, т.е. повышается прочность и жесткость конструкции.

Для раскрытия статич неопределимости дополнительно условие совместимости деформации, к-ое позволяет опред дополнительные реакции опор, а затем решение по опред эпюр Q и М выполняется как обычно.

Основная система получается из заданной- путем отбрасывания лишних связей и нагрузок.

Эквивалентная система – получается путем нагружения основной системы нагрузками и лишними неизвестными реакциями, заменяющими действия отброшенной связи.

Используя принцип независимости действия сил, находим прогиб от нагрузки Р и реакции х1. σ11х1+Δ1р=0 – каноническое уравнение совместности деформации, где Δ1р – перемещение в точке приложения х1 от силы Р. Δ1р – Мр*М1, σ11-М1*М1 – это удобно выполнить методом Верещагина.Деформационная проверка решения – для этого выбираем другую основную систему и опред угол поворота в опоре, должна быть равна нулю, θ=0 - М∑*М’. 13. Циклическая прочность.

В инженерной практике до 80% деталей машин разрушаются по причине статической прочности при напряжениях гораздо меньших, чем σв в тех случаях, когда напряжения являются знакопеременными и циклически изменяющимися. Процесс накопления повреждений при циклически измен. напряжениях называется усталость материала.

Процесс сопротивления усталостному напряжению наз циклической прочностью или выносливостью.Т-период цикла. σmax τmax это нормальные напряжения. σm, τm – среднее напряжение; r-коэффициент ассиметрии цикла; факторы, влияющие на придел выносливости: а) Концентраторы напряжения: проточки, галтели, шпонки, резьба и шлицы; это учитывается эффективным коэффиц конц напряжений, которые обозначаются Кσ=σ-1/σ-1к Кτ=τ-1/τ-1к ; б)Шероховатость поверхности: чем грубее выполнена механическая обработка металла, тем больше пороков металла имеется при литье, тем придел выносливости детали будет ниже. Любая микро трещина или углубление после резца может явиться источником усталостной трещины.

Это учитывается коэф влияния качества поверхности. КFσ КFτ - ; в) Масштабный фактор влияет на придел выносливости, с увеличением размеров детали вероятность наличия пороков увеличивается, следовательно чем больше размеры детали, тем хуже при оценке ее выносливости это учит коэф влияния абсолютных размеров поперечного сечения.

Кdσ Кdτ. Дефектный коэф: KσD=[Kσ/Kdσ-1 /KFσ-1]/Kv ; Kv – коэф упрочнения зависит от вида термообработки. 14. Устойчивость.Переход системы из устойчивого состояния в неустойчивое называется потерей устойчивости, а соответствующая ей сила называется критической силой Ркр В 1774 г Э. Эйлер провел исследование и определил математически Ркр. По Эйлеру Ркр – сила необходимая для самого малого наклонения колонны.

Ркр=П2*Е*Imin/L2; Гибкость стержня λ=ν*L/imin; Критическое напряжение σкр=П2Е/λ2. Придельная гибкость λ зависит только от физико-механических свойств материала стержня и она постоянна для данного материала.