Особенности оценки параметров нелинейных моделей - раздел Экономика, ЭКОНОМЕТРИКА Нелинейная Модель, А Точнее Нелинеаризуемая Форма Основного Уравнения Экономе...
Нелинейная модель, а точнее нелинеаризуемая форма основного уравнения эконометрической модели, создает существенные трудности при оценке значений ее параметров. Кроме того, некоторые проблемы в этом случае возникают и при определении характеристик качества построенных вариантов модели, включая и показатели точности найденных значений их параметров. В основном появление этих (и некоторых других) проблем обусловлено невозможностью получения решения задачи оценивания параметров в аналитическом виде, как это имело место а случае линейных эконометрических моделей.
Поясним происхождение этих проблем на примере двухфакторной нелинейной модели следующего вида:
Попытаемся использовать при определении оценок a0, a1, a2 ее параметров a0, a1, a2 метод наименьших квадратов при условии, что значения переменных уt, х1t и х2t, t=1, 2,..., Т известны. Сумма квадратов ненаблюдаемых значений ошибки еt, t=1, 2,..., Т; в данном случае может быть представлена в следующем виде:
В соответствии с выбранным критерием искомые значения оценок a0, a1, a2 должны удовлетворять условию минимума функции S2, что приводит к появлению трех уравнений: Учитывая, что S2 определено выражением (11.2), представим эти уравнения в виде следующей системы (аналога системы нормальных уравнений):
Несложно заметить, что уравнения системы (11.3) являются нелинейными относительно неизвестных значений a0, a1 и a2. При этом нелинейность в данном случае усугубляется необходимостью суммирования сложных функций, выраженных отношениями и квадратами зависимой и независимой переменных модели. Решение системы (11.3) можно получить, только используя достаточно сложные итеративные процедуры нахождения ее корней. При этом следует заметить, что для другой формы эконометрической зависимости, отличной от выражения (11.1) будет получена и другая, отличная от вида (11.3) система нелинейных уравнений. Для ее решения возможно придется применять и другую процедуру, учитывающую специфические особенности формы ее уравнений.
Процедура решения таких систем еще более усложняется, если в левой части эконометрической модели стоит не просто переменная уt, а некоторая ее функция g(уt, b), зависящая от некоторого набора параметров b1, b2, ..., bk. Примером такой функции является степенная g(уt, b)= В этом случае заметим, что сумма квадратов ошибки эконометрической модели
при произвольно выбранных значениях оценок ее параметров bk, k=0,1..., aj, j=0,1... может быть представлена в следующем виде:
где ft(a, x)=ft(a0, a1,..., x1t,..., xnt* ) – нелинейный относительно коэффициентов aj и возможно независимых переменных функционал, j=0,1,..., i=1,2,..., n; et – ошибка модели; a=(a0, a1,...); b=(b0, b1,...) – векторы оценок параметров модели (11.4); x – вектор значений независимых переменных, соответствующих значению уt.
В этом случае система нормальных уравнений, решениями которой являются “оптимальные” по МНК оценки, должна включать в себя и уравнения типа:
Аналогичные проблемы возникают и при получении оценок параметров нелинейных эконометрических моделей с использованием метода максимального правдоподобия. Заметим, что при использовании этого метода предполагаются известными тип закона распределения ошибки модели et и возможно некоторые его параметры (как правило, математическое ожидание равное нулю).
Как это было отмечено в главе II, обычно на практике закон распределения ошибки предполагается нормальным. В этом случае при обычном для нелинейных моделей предположении относительно независимости разновременных значений ошибки функция плотности наблюдаемой зависимой переменной уt в момент времени t может быть представлена в следующем виде:
где выражение
является якобианом преобразования; s2=se2 – дисперсия ошибки модели (11.4).
Как было отмечено в разделе 2.5, оптимальные оценки a параметров a модели (11.4) должны обеспечивать максимум логарифма функции правдоподобия, который в данном случае имеет следующий вид:
Уравнения максимального правдоподобия относительно неизвестных оценок параметров модели (11.4) и ее дисперсии s2 в данном случае имеют следующий вид:
Анализируя вид уравнений системы (11.9), можно сделать два вывода.
Во-первых, система уравнений максимального правдоподобия нелинейной эконометрической модели, содержащей в левой части нелинейную функцию зависимой переменной g(уt, b), отлична от соответствующей системы уравнений максимального правдоподобия модели, в новой части которой находятся просто значения зависимой переменной уt. Это отличие обусловлено необходимостью учета якобиана в первом уравнении системы (11.9).
В этом несложно убедиться, рассмотрев систему нормальных уравнений для критерия минимума выражения (11.5). Она в общем случае будет иметь следующий вид:
В том случае, когда в левой части нелинейной эконометрической модели стоят наблюдаемые непреобразованные значения уt, т. е. g(уt, b)=уt, то очевидно, что первые группы уравнений в системах (11.9) и (11.10) отсутствуют, а вторые – совпадают, с учетом того, что et =уt –ft(a,x).
Второй вывод свидетельствует о том, что выражение для оценки дисперсии нелинейной эконометрической модели при любой ее левой части совпадает с аналогичным выражением (2. ), полученным для линейного его варианта. Как непосредственно вытекает из последнего уравнения системы (11.9), оценка дисперсии нелинейной модели определяется следующим выражением:
где еt – оценка ошибки et, полученная при оптимальных оценках параметров модели aj, bk, k=0,1,... j=0,1,...
Сопоставим методы максимального правдоподобия и МНК. Заметим, что в методе максимального правдоподобия важное значение имеет выбор обоснованного (правильного) закона распределения ошибки эконометрической модели. Несоответствие исходной гипотезы относительно типа ее закона распределения и реалий может значительно снизить качество оценок параметров нелинейной эконометрической модели, полученных с использованием ММП. В этой связи МНК использует менее строгие исходные предпосылки относительно распределения ошибки модели et, и многие из желательных свойств оценок (состоятельность, эффективность и несмещенность), полученные с использованием этого метода, как правило, сохраняются (хотя бы приблизительно) и для нелинейных моделей при любом законе распределения ошибки.
Вместе с тем, как было показано ранее, и в случае МНК возникает проблема решения нелинейных (нормальных) уравнений, относительно неизвестных значений параметров модели. Эта проблема усложняется при более сложном характере ошибки e (наличии автокорреляционных связей, гетероскедастичности). Кроме того, численные итеративные процедуры получения решений часто не являются универсальными. Их необходимо корректировать с учетом вида нормальных уравнений, в свою очередь, зависящего (см. выражение (11.3)) от предполагаемой формы эконометрического уравнения ft(a, x).
В этой связи на практике, по-видимому, проще определять искомые значения оценок параметров нелинейных эконометрических моделей, используя достаточно общие для всех их возможных вариантов подходы, основанные на использовании итеративных процедур поиска минимума непосредственно рассматриваемой целевой функции, выраженной в виде суммы квадратов ошибки S2.
В дальнейшем, в целях упрощения изложения без ограничения общности будем полагать, что левая часть нелинейной эконометрической модели содержит только непреобразованные значения уt, т. е. g(уt, b)=уt.
Для произвольного (j-го) варианта эконометрической модели, характеризующегося заданной формой основного функционала ft(aj, x), с известными значениями его параметров, представленными вектором a j=(a0 j, a1 j,..., aп j), сумма квадратов его ошибки с учетом выражения (11.4) может быть представлена в следующем виде:
где еjt – значение ошибки в момент времени t, соответствующее выбранному j-му набору ее параметров, рассматриваемому как оценка “теоретической” ошибки et.
В некоторых исследованиях вместо выражения (11.12) предпочтительнее рассматривать взвешенную сумму квадратов ошибки, определяемую следующим образом:
где рt – весовой коэффициент, учитывающий значимость информации в момент t для оценки коэффициентов модели (см. выражения (3.44), (3.45) раздел 3.2); qt=рt2 – весовой коэффициент, учитывающий значимость квадрата невзвешенной ошибки модели.
В некоторых случаях значения коэффициентов qt и рt могут отражать характер гетероскедастичности ошибки рассматриваемой модели (раздел 3.2).
В качестве оптимальных оценок параметров a0, a1,..., aп модели (11.4) в соответствии с критерием минимума суммы наименьших квадратов ошибки должны быть выбраны значения a0, a1,..., aп, обеспечивающие минимум выражения (11.12) (или (11.13)) по всему множеству наборов таких значений, т. е.
В дальнейшем, без ограничения общности, рассмотрим особенности построения нелинейных эконометрических моделей с использованием выражения (11.12).
При решении задачи минимизации выражения (11.12) на практике необходимо учитывать ряд обстоятельств.
Во-первых, априорно (т. е. до проведения каких-либо расчетов) функция S2(aj) не может быть представлена в аналитической форме записи (например, как многочлен некоторой степени по своим аргументам).
Во-вторых, можно предположить, что эта функция является непрерывной по этим аргументам.
В-третьих, в некоторой области существования минимума она может рассматриваться как выпуклая функция от своих аргументов. В общем случае может допускаться несколько таких непересекающихся областей, на каждой из которых эта функция достигает локального минимума.
При таких, достаточно естественных, условиях задача оценивания параметров нелинейной эконометрической модели является задачей минимизации нелинейного функционала (11.12) в пространстве параметров aj при известных значениях зависимой и независимых переменных уt и хit соответственно, t=1, 2,..., Т; i=0,1,..., n. Для решения такой задачи в предположении о детерминированности исходных данных могут быть использованы хорошо известные методы, в основе которых лежат итеративные процедуры поиска минимума нелинейной функции. В общем случае их можно разделить на две большие группы: методы без производных и методы с производными. К первой группе относится, например, метод прямого поиска, ко второй – метод Гаусса-Зайделя, градиентные методы, метод Макуардта.
В основе приведенной классификации методов лежит достаточно простой признак. Если для реализации метода не требуется рассчитывать значения производных каких-либо функций, то этот метод относится к группе методов без производных. В противном случае, т. е. когда при реализации метода расчет производных необходим, то он относится к группе методов с производными.
При этом заметим, что производные обычно используются при формировании итерационной процедуры поиска минимума функции суммы квадратов ошибки модели по своим аргументам a0, a1,..., aп, основанной на линейной аппроксимации либо формы (функционала) эконометрической модели, либо самой целевой функции, т. е. суммы квадратов ошибки. Вследствие этого методы с производными, в свою очередь, обычно разделяются на две подгруппы. Первую из них составляют методы, предполагающие линеаризацию уравнения модели, а вторую – методы, предполагающие линеаризацию целевой функции. К первой группе, например, относится метод Гаусса-Зайделя, ко второй – градиентные методы, метод Макуардта.
Рассмотрим особенности некоторых из перечисленных методов более подробно.
Все темы данного раздела:
Основные этапы построения эконометрической модели
Построение эконометрической модели является центральной проблемой любого эконометрического исследования, поскольку ее “качество” непосредственно определяет достоверность и обоснованность результато
Особенности обоснования формы эконометрической модели
Основные подходы к решению проблем первого этапа исследования в значительной степени базируются на методах содержательного анализа закономерностей рассматриваемых процессов, подкрепляемых по мере н
Методы отбора факторов
“Оптимальный” состав факторов, включаемых в эконометрическую модель, является одним из основных условий ее “хорошего” качества, понимаемого и как соответствие формы модели теоретической концепции,
Если имеет место соотношение
ti £t*, (1.26)
то влияние фактора хi на переменную у можно признать незначимым (недостаточно значимым
Характеристики и критерии качества эконометрических моделей
Выявление лучшего варианта эконометрической модели обычно осуществляется путем сравнения соответствующих им качественных характеристик, которые можно рассчитать на основе исходной статистической ин
Качество оценок параметров эконометрических моделей
Эконометрическая модель считается построенной, когда определены значения оценок ее параметров. Исходными данными при этом являются наблюдаемые значения (измеренные уровни) зависимого показателя (пе
Процедура оценки параметров по методу наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов (МНК) является одним из наиболее разработанных и распространенных вследствие своей относительной простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометричес
Сумма квадратов значений фактической ошибки модели должна быть минимальной.
Иными словами, найденные с помощью МНК оценки a0, a1,..., an, обеспечивают минимум следующей квадратичной формы на множестве всех других комбин
Детерминированные независимые переменные.
В этом случае матрица Х представляет собой матрицу, состоящую из констант, и элементы матриц (Х¢Х) и (Х
Стохастические независимые переменные.
В эконометрических исследованиях в качестве значений независимых переменных часто приходится использовать исходные данные, которые нельзя интерпретировать как детерминированные величины, поскольку
Особенности проверки качества оценок МНК
Проверка условий, выполнение которых свидетельствует о “высоком” качестве полученных оценок параметров эконометрической модели (а, следовательно, в значительной степени и самой модели), на практике
Свойства фактической ошибки эконометрической модели
В данном разделе рассматриваются некоторые подходы к проверке наличия стандартных свойств (2.20)–(2.23) у “истинной” ошибки эконометрической модели et на основе анализа соответств
Тестирование свойств фактической ошибки эконометрической модели
На практике справедливость предпосылок (2.21) и (2.22) можно подтвердить или опровергнуть только путем анализа свойств фактической ошибки еt, после оценки ее значений. В таком слу
Оценка дисперсии истинной ошибки модели
На практике вместо дисперсии истинной ошибки se2, значение которой не известно, используется ее оценка, рассчитываемая на основе фактических значений ошибки еt
Особенности проверки обратимости матрицы Х¢Х
Как было отмечено ранее, при наличии достаточно сильной корреляции между двумя или несколькими переменными хi, i=1,2,..., n, могут возникнуть трудности, связа
Оценка последствий неправильного выбора состава независимых переменных модели
В данном разделе рассмотрим особенности влияния на качество параметров эконометрической модели ошибок, допущенных на этапе содержательного анализа при выборе состава независимых переменных (факторо
Оценивание параметров эконометрической модели с учетом ограничений
При нахождении оценок параметров линейной эконометрической модели с использованием МНК предполагалось, что их значения не связаны никакими ограничениями. Вместе с тем, исходные предпосылки, лежащие
Предпосылки метода максимального правдоподобия
Достаточно широкое распространение при оценке параметров моделей получил и метод максимального правдоподобия, базирующийся на критерии (принципе), согласно которому оптимальные оценки параметров об
Процедура получения оценок максимального правдоподобия
Целевая функция типа (2.109) называется функцией максимального правдоподобия. Несложно заметить, что оптимальные значения оценок параметров a0*, a1
Обобщенный метод наименьших квадратов
Рассмотрим основные последствия нарушения условия (2.21) для оценок параметров эконометрической модели, полученных с использованием “классических” методов оценивания, например, МНК.
Как бы
Обобщенный метод максимального правдоподобия
В обобщенном ММП предполагается, что ошибка модели подчиняется нормальному закону распределения с ковариационной матрицей W, определенной выражением либо (3.1), либо (3.4),
Эконометрические модели с коррелирующими ошибками
Причины появления корреляционной зависимости между разновременными значениями ошибки эконометрической модели, вызывающие отличие вида их ковариационной матрицы от диагональной, могут быть разными.
Между ошибками эконометрической модели
Причиной появления ошибки явилось не вполне обоснованное предположение о том, что данные на интервалах (1, Х1) и (Х1, Х2) описы
Эконометрические модели с гетероскедастичными ошибками
Причиной непостоянства дисперсии (гетероскедастичность ошибки) эконометрической модели часто является ее зависимость от масштаба рассматриваемых явлений. В эконометрическую модель ошибка входит как
Метод инструментальных переменных
Для получения несмещенных (по крайней мере состоятельных) оценок параметров эконометрических моделей в ситуациях, когда имеют место (теоретически допускаются) корреляционные взаимосвязи между незав
Рекуррентные методы оценки параметров эконометрических моделей
Использование рекуррентных методов при оценке параметров эконометрических моделей позволяет избежать обращения матрицы X¢X и тем самым, появлени
Метод главных компонент
Метод главных компонент является одним из самых эффективных вычислительных средств, позволяющих оценить коэффициенты эконометрической модели при плохой обусловленности матрицы (X
Изменчивости главных компонент.
Методы оценки коэффициентов моделей с лаговыми независимыми переменными
Эконометрические модели с лаговыми независимыми переменными учитывают влияние на переменную уt уровней объясняющих факторов, относящихся к прошедшим моментам времени t–1,
Проблемы построения моделей с лаговыми зависимыми переменными
Общий вид линейной эконометрической модели с лаговыми зависимыми переменными может быть выражен следующим уравнением:
Основные подходы к оценке коэффициентов эконометрической модели, содержащей лаговые зависимые переменные
Из материала предыдущего раздела вытекает, что эконометрические модели, содержащие в правой части лаговые зависимые переменные, неоднородны по своим свойствам. В основном это обусловлено появлением
Особенности использования инструментальных переменных в оценках параметров моделей
В научных публикациях можно встретить рекомендации выбирать в качестве значений переменной (обозначим их как ) расчетные значения переменно
Стационарные временные ряды
Широкий круг социально-экономических, технических и естественнонаучных процессов часто представляется набором последовательных значений показателя у1, у2,...,
Параметрические тесты стационарности
Из определения стационарного процесса второго порядка, формализованного с помощью выражений (6.2)–(6.4), непосредственно вытекает, что очевидными параметрическими критериями при проверке реального
Непараметрические тесты стационарности
Параметрические критерии проверки стационарности достаточно неудобны в практических исследованиях и весьма ограничены в применении из-за своих достаточно строгих предположений относительно нормальн
Преобразование нестационарных временных рядов в стационарные
Реальные процессы свойством стационарности второго порядка могут и не обладать. Однако с помощью достаточно несложных преобразований часто удается привести наблюдаемый ряд к стационарному процессу.
Модели скользящего среднего
В моделях скользящего среднего текущее значение стационарного случайного процесса второго порядка yt представляется в виде линейной комбинации текущего и прошедших значений ошибки
Модели временных рядов с сезонными колебаниями
Характерной особенностью некоторых социально-экономических процессов, представленных временными рядами, является ярко выраженная периодичность. Например, интенсивность транспортных поездок (особенн
Переход от стационарных моделей к нестационарным
В тех случаях, когда модель авторегрессии и скользящего среднего применялась для описания процесса, приведенного к стационарному, например, с помощью одного из преобразований (6.39)–(6.42), процесс
Объекты исследования финансовой эконометрики
Временные ряды специфических (финансовых) показателей являются объектом исследования одного из самых “древних” направлений эконометрики – финансовой эконометрики, истоки которого лежат в XVI веке.
Гипотезы финансовой эконометрики
Различные классы моделей финансовой эконометрики базируются на тех или иных предположениях относительно корреляционных взаимосвязей, характерных для наблюдаемого временного ряда определенного финан
Тестирование финансовых процессов
Для выявления соответствия свойств реального финансового процесса какой-либо из версий гипотезы случайного блуждания, каждая из которых в свою очередь характеризуется специфической формой ортогонал
Модели ГСБ-1. Броуновское движение
Одной из достаточно широко известных моделей финансовой эконометрики, описывающих процессы с непрерывным временем, удовлетворяющие предпосылкам ГСБ-1, является модель, получившая в научной литерату
Модели финансовых процессов с изменяющейся вариацией (ГСБ-2 и ГСБ-3)
В последние два десятилетия в финансовой эконометрике бурно развивается направление, связанное с разработкой моделей процессов изменения цен, характерной чертой которых является изменяющаяся диспер
Модели процессов со скачками вариации
Для описания процессов с редкими скачками вариации, вызванными в основном экстраординарными событиями, обычно используются модели, в которых дополнительно к выражению (7.101) вводится ограничение н
Модели процессов с зависимой вариацией
Привязка изменений вариации цен к экстраординарным событиям не выглядит достаточно реалистично, хотя бы по той причине, что такого рода события возникают достаточно редко и они не в полной мере объ
Методы оценки параметров модели с изменяющейся вариацией
В общем случае определение параметров оценок моделей с изменяющейся вариацией является более сложной проблемой, чем оценка параметров моделей с постоянной вариацией. Дело в том, что эффекты, обусло
Модели временных рядов финансовых показателей с нелинейными структурами
Обобщая изложенный в главе VII материал, отметим, что в предыдущих разделах были рассмотрены модели с линейной структурой условного математического ожидания, в которых этот показатель был выражен в
Оценки параметров распределения отношения SR
Заметим, что ковариация случайных величин At, At+1 может быть определена на основе следующего выражения:
Параметры распределения выборочной дисперсии
Для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M[X] и дисперсией sx2, выборочная дисперс
Оценка параметров распределений функциональных зависимостей случайных величин
Предположим, что между переменными у и х1, х2,..., xn существует функциональная связь
y=f(
Особенности систем взаимозависимых моделей
При формировании и построении эконометрических моделей в предыдущих разделах предполагалось, что между независимыми переменными х1t,..., хпt и зависимой п
Формы представления систем взаимозависимых эконометрических моделей
Собрав по разные стороны знака равенства переменные уit и хjt и ошибки eit, i=1, 2,..., т; j=1, 2,..., n; представи
Косвенный метод оценки коэффициентов структурной формы систем взаимозависимых эконометрических моделей
В разделе 8.2. было показано, что использование МНК приводит к смещению оценок коэффициентов только структурной формы модели. В силу статистической независимости экзогенных переменных и ошибок стру
Оценивание параметров структурной формы на основе двухшагового МНК с использованием инструментальных переменных
Двухшаговый МНК является одним из наиболее “популярных” методов оценки параметров моделей структурной формы. Причем обычно он используется в случае изолированного рассмотрения каждой из моделей сис
Первый шаг.
На основании выражения
=X×(X¢&t
Второй шаг.
Заметим, что матрица значений независимых переменных структурной формы модели (8.49) может быть представлена в виде объединения матриц Y1 и Х
Оценки параметров системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием трехшагового МНК
Как было отмечено в предыдущем разделе, наличие корреляционных связей между ошибками различных эконометрических моделей, входящих во взаимозависимую систему, ведет к потере свойства эффективности о
Этап 3.
С помощью обобщенного МНК (выражение (8.79)) определяются “окончательные” оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей, которые теоретически при нали
Причины изменчивости структуры модели
В предыдущих разделах учебника рассматривались эконометрические модели, значения коэффициентов которых предполагались постоянными на всем рассматриваемом временном интервале t=1,2,..., Т
Тестирование изменчивости структуры эконометрической модели
Основная идея тестирования изменчивости коэффициентов эконометрической модели, имеющей систематический характер, состоит в проверке свойства случайности кумулятивной суммы ее ошибок при увеличении
Стандартизованных ошибок модели
Таким образом, для любого r для эконометрической модели с постоянной структурой с п независимыми переменными имеет место следующее вероятностное условие, определяющее
Эконометрические модели с переключениями
Эконометрические модели линейного типа с переключениями, т. е. со скачкообразными изменениями коэффициентов в точках t1, t2,... tп–1
Эконометрические модели с эволюционными изменениями коэффициентов
Модель с эволюционными изменениями коэффициентов в общем случае имеет следующий вид:
где ai(t), i=0,..., n – оценки коэффициентов мод
Эконометрические модели с ошибками в переменных
В общем случае следует разделять три ситуации, связанные с ошибками переменных эконометрической модели: ошибки имеют место у зависимой переменной, у независимых переменных и у тех и других вместе в
Модели с фиктивными независимыми переменными
Фиктивные переменные вводятся в эконометрическую модель обычно с целью учета воздействия качественных аспектов на закономерности развития рассматриваемых процессов. К таким аспектам, например, отно
Модели с дискретными зависимыми переменными
Как следует из рассмотренного в предыдущих разделах материалов, в эконометрических исследованиях обычно предполагается, что результирующий показатель yt, является количественной в
Модели бинарного выбора
Модели бинарного выбора широко используются в экономических и социальных исследованиях, особенно в экономике труда, при проведении анализа на микро-уровне. Покажем их специфические свойства на прим
Двумерные и многомерные probit-модели.
Probit-модели могут быть могут быть использованы для определения вероятностей сложных событий, выражаемых в виде комбинаций некоторых наборов простых событий, каждое из кото
Многомерные модели бинарного выбора с цензурированием.
Бывают ситуации, когда наблюдаемые переменные в двумерной probit-модели цензурируют одна другую. Например, при оценке возможности кредитования Бойз (Boyes et al., 1989) анализировал данные п
Модели множественного выбора
От многомерных probit-моделей отличаются модели множественного выбора. Многомерные probit-модели предполагают принятие нескольких решений, каждое из которых заключается в выборе одног
Гнездовые logit-модели (nested logit-models).
Как было отмечено, в условной logit-модели ошибки обычно предполагаются гомоскедастичными. Для практики это предположение часто является слишком строгим. Например, в случае выбора одного из
Модели счетных данных
В практических исследованиях достаточно часто приходится сталкиваться с зависимыми переменными, которые представляют собой результаты подсчетов. Примерами таких переменных являются число выданных з
Отрицательная биномиальная модель.
Как уже отмечалось, в пуассоновской модели предполагается, что математическое ожидание и дисперсия числа событий уt равны друг другу. Это свойство существенно ограничивает ее прим
Модель преодоления препятствий (hurdle-model).
Данные модели предназначены для описания процессов, нулевые уровни (значения) которых выражают принципиально другое содержание, по сравнению с положительными, которые, как и в рассмотренных ранее м
Модели с ограниченными зависимыми переменными
В практике социально-экономических исследований на микро-уровне достаточно часто возникают ситуации, когда зависимая переменная является количественной и непрерывной, т. е. удовлетворяет предпосылк
Модели усеченных выборок
Предположим, усеченное распределение является частью неусеченного распределения, которая находится выше или ниже определенного порогового значения.
Плотность непрерывной случайной переменн
Модели цензурированных выборок
Напомним, что в случае цензурирования зависимой переменной yt вместо ее значений выше (или ниже) определенного уровня рассматривается сам этот уровень.
Например, если спр
Цензурированная модель (tobit-модель).
Для описания зависимости цензурированной переменной yt от влияющих на нее факторов обычно используется так называемая tobit-модель.
Tobi
Модели случайно усеченных выборок (selection-model)
Предположим, что переменные у и z имеют двумерное распределение с коэффициентом корреляции r. Найдем распределение у по случайной выборке (у, z) условии, ч
Метод максимального правдоподобия
Из-за специфических свойств моделей с дискретными и ограниченными зависимыми переменными, метод максимального правдоподобия имеет некоторые особенности. Покажем их на примере моделей бинарного выбо
Метод максимального счета (MSCORE)
Рассмотрим особенности метода максимального счета, применяемого наряду с методом максимального правдоподобия для оценки параметров модели бинарного выбора.
Этот метод использует критерий,
Метод прямого поиска
Использование метода прямого поиска при нелинейном оценивании имеет определенные как преимущества, так и недостатки по сравнению с другими методами. Его преимущества обусловлены достаточно несложно
Методы оценки параметров, основанные на линейной аппроксимации модели
В основе этой группы методов лежит идея представления нелинейного функционала эконометрической модели f(a, x) в произвольной точке
Методы, предполагающие линеаризацию целевой функции
В основе методов оценки параметров эконометрической модели, предполагающих линеаризацию целевой функции, т. е. суммы квадратов ошибки модели S2(a,
Качественные характеристики оценок параметров нелинейных эконометрических моделей
Помимо определения точечных значений оценок параметров нелинейных эконометрических моделей в эконометрических исследованиях большое внимание уделяется и поиску их интервальных характеристик, по вел
Особенности эконометрического прогнозирования
Прогнозирование является одной из основных сфер практического применения эконометрических моделей. Эконометрические прогнозные исследования, начало которым было положено в конце 20-х годов ХХ-го ст
Методы оценки дисперсии прогноза при детерминированном прогнозном фоне
Рассмотрим, не прибегая к излишней математической строгости, сначала общий подход к оценке дисперсии прогноза . Без ограничения общности предположим, что прогнозы получены с использованием линейной
Методы оценки дисперсии прогноза при случайном прогнозном фоне
При случайном прогнозном фоне обычно предполагается, что значения независимых факторов в будущие моменты времени T+k являются случайными величинами, которые можно представить в виде с
Оценка точечных прогнозов.
Из выражения (12.35) следует, что прогнозное значение показателя уT(1), т. е. на один шаг вперед, может быть определено как условное математическое ожидание переменной уT
Проблемы оценки дисперсий прогнозов.
Вместе с тем оценка дисперсий таких прогнозов представляет собой достаточно сложную проблему, корректное решение которой в аналитическом виде еще не получено. Раскроем суть этой проблемы с учетом р
Оценки дисперсий прогнозов при детерминированных параметрах моделей.
В этой связи, в научной литературе обычно рассматриваются методы оценки дисперсий прогнозов процессов, представленных в виде временных рядов, не учитывающие ошибки оценок коэффициентов, описывающих
Модель СС(1).
Прогнозируя на момент Т+1 на основе модели СС(1)
получим следующее прогнозное значение рассматриваемой переменной y:
Поскольку матема
Модель АРСС(1,1).
Модель АРСС(1,1), являющуюся комбинацией рассмотренных выше моделей АР(1) и СС(1), представим в следующем виде:
Несложно заметить, что прогнозное значение п
Программа дисциплины
“ЭКОНОМЕТРИКА”
Составители: д.э.н., профессор ТИХОМИРОВ Н.П.
к.э.н., доцент ДОРОХИНА Е.Ю.
I.Организационно-методический раздел
YII.Модели финансовой эконометрики
Объекты изучения финансовой эконометрики. Первичный и вторичный финансовые рынки. Временные ряды финансовых показателей. Особенности сбора, обработки и анализа исходной информации. Ее источники. Аг
В прогнозировании социально-экономических процессов
Примеры моделей. Построение прогнозной процедуры и проблема верификации прогноза. Оценка точности прогноза. Доверительный интервал прогноза. Интерпретация параметров модели. Методы оценки доверител
Новости и инфо для студентов